文档内容
第一周
[周一]
1．(2022·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a－c)sin C＝
asin A－bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝5，c＝2，D为边BC的中点，求cos 2∠ADC的值．
解 (1)在△ABC中，由(a－c)sin C＝asin A－bsin B及正弦定理得(a－c)c＝a2－b2，
即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
而06.635，
所以有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．
[周三]
3．(2022·中卫模拟)如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，DE⊥AB于E，将△AED
沿DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如图2.
(1)求三棱锥C－A′BD的体积；
(2)在线段A′D上是否存在一点F，使EF∥平面A′BC？若存在，求的值；若不存在，说
明理由．
解 (1)因为在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，DE⊥AB，
故AE＝EB＝2，ED＝2，
所以在四棱锥A′－EBCD中，A′E⊥ED，A′E⊥EB，
又ED∩EB＝E，所以A′E⊥平面EBCD，且A′E＝AE＝2，
因为BC＝CD＝4，∠BCD＝60°，则S ＝×4×2＝4，
△BCD
所以V ＝V ＝×A′E×S ＝×2×4＝.
C－A′BD A′－BCD △BCD
故三棱锥C－A′BD的体积为.(2)设线段A′D的中点为F，线段A′C的中点为G，连接EF，FG，GB，如图所示，
则FG∥DC，FG＝DC＝2，
又由(1)得，EB∥DC，EB＝2，
所以FG∥EB，FG＝EB，
所以四边形EBGF为平行四边形，故EF∥BG，EF＝BG，
又EF⊄平面A′BC，BG⊂平面A′BC，
所以EF∥平面A′BC，此时点F为A′D的中点，
故在线段A′D上存在一点F，使EF∥平面A′BC，且＝1.
[周四]
4．已知f(x)＝4ex－3x2－cx－4(x∈R，c∈R)．
(1)当c＝3时，求f(x)在(0，f(0))处的切线方程；
(2)设f(x)≤xex＋x3－6x2在[0，＋∞)上恒成立，求实数c的取值范围．
解 (1)当c＝3时，f′(x)＝4ex－6x－3，
∵f′(0)＝4－3＝1，f(0)＝0，
∴切线方程为y＝x.
(2)∵f(x)≤xex＋x3－6x2，
∴cx≥－xex＋4ex－x3＋3x2－4.
①当x＝0时，显然成立；
②当x>0时，c≥，
令h(x)＝，
则h′(x)＝
＝
＝.
令φ(x)＝(x－2)ex＋2x2＋x＋2，
则φ′(x)＝(x－1)ex＋4x＋1，
令p(x)＝(x－1)ex＋4x＋1，
则p′(x)＝xex＋4>0，
∴p(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵φ′(0)＝0，∴φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵φ(0)＝0，
∴φ(x)>0，
则令h′(x)>0，得02，
∴h(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴h(x) ＝h(2)＝e2，
max
∴c∈[e2，＋∞)．
[周五]
5.(2022·长沙模拟)如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点D在椭圆上，
1 2
DF⊥FF，＝2，△DFF 的面积为.
1 1 2 1 2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相
互垂直并且分别过不同的焦点，求圆的半径．
解 (1)设F(－c,0)，F(c,0)，其中c2＝a2－b2，
1 2
由＝2，
可得|DF|＝＝c，
1
从而 ＝|DF||FF|＝c2＝，
1 1 2
故c＝1，
从而|DF|＝，
1
由DF⊥FF，
1 1 2
得|DF|2＝|DF|2＋|FF|2＝，
2 1 1 2
因此|DF|＝，
2
所以2a＝|DF|＋|DF|＝2，
1 2
故a＝，b2＝a2－c2＝1，
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，
设P(x，y)，P(x，y)是两个交点，
1 1 1 2 2 2
y>0，y>0，FP，FP 是圆C的切线，
1 2 1 1 2 2
且FP⊥FP，
1 1 2 2
由圆和椭圆的对称性，
易知x＝－x，y＝y，|PP|＝2|x|，
2 1 1 2 1 2 1由(1)知F(－1,0)，F(1,0)，
1 2
所以F1P1＝(x＋1，y)，
1 1
F2P2＝(－x－1，y)，
1 1
再由FP⊥FP，得－(x＋1)2＋y＝0，
1 1 2 2 1
由椭圆方程得1－＝(x＋1)2，
1
即3x＋4x＝0，
1
解得x＝－或x＝0，
1 1
当x＝0时，P，P 重合，此时题设要求的圆不存在，
1 1 2
当x＝－时，过P，P 分别与FP，FP 垂直的直线的交点即为圆心C，
1 1 2 1 1 2 2
由FP，FP 是圆C的切线，且FP⊥FP，知CP ⊥CP ，
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2
又|CP |＝|CP |，
1 2
故圆C的半径|CP |＝|PP|＝|x|＝.
1 1 2 1
[周六]
6．[坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极
坐标方程为2ρcos＝3，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的参数方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
解 (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则ρ2＝2ρsin θ，
则其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，半径为1，
则圆C的参数方程为(θ为参数)．
(2)因为直线l的极坐标方程为2ρcos＝3，
则2ρ－3＝0，
整理得ρcos θ＋ρsin θ－3＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，
由(1)得圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(0,1)，半径为1，
则圆心(0,1)到直线l的距离为＝1，
故直线l与圆C相切．
6．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－1|＋2|x＋1|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)∀x∈R，∃x∈(3，＋∞)，使得f(x)－2≥x＋－m，求实数m的取值范围．
1 2 1 2
解 (1)函数f(x)＝
不等式f(x)≤5可化为或或
解得－2≤x<－1，
解得－1≤x≤1，
解得12，当－1≤x≤1时，2≤f(x)≤4，当x>1时，f(x)>4，
因此，当x＝－1时，f(x) ＝2，
min
当x>3时，x＋＋2－m＝x－3＋＋5－m≥2＋5－m＝11－m，
当且仅当x－3＝，即x＝6时取“＝”，
因为∀x∈R，∃x∈(3，＋∞)，使得f(x)－2≥x＋－m⇔f(x)≥x＋＋2－m，
1 2 1 2 1 2
则有f(x)的最小值大于等于x ＋＋2－m在x∈(3，＋∞)上的最小值，即有2≥11－m，解得
1 2 2
m≥9，
所以实数m的取值范围是[9，＋∞)．
