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周五
1.(2024·萍乡模拟)已知随机变量ξ~N(2，9)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a+2)，则a等于( )
A.3 B.2
C.1 D.0
答案 C
解析 因为随机变量ξ~N(2，9)，
所以P(ξ≤1)=P(ξ≥3)=P(ξ≥a+2)，所以a+2=3，故a=1.
{ ex+a,xa，所以-1a，所以a> ，
3
(1 )
所以实数a的取值范围是(-1，0)∪ ，+∞ .
3
3.(多选)(2024·承德模拟)对于给定的数列{a }，如果存在实数p，q，使得a =pa +q对任意n∈N*成立，我
n n+1 n
们称数列{a }是“线性数列”，则下列说法正确的是( )
n
A.等差数列是“线性数列”
B.等比数列是“线性数列”
q(1-pn-1
)
C.若p≠1且a =q，则a =
1 n 1-pD.若p≠1且a =q，则{a }是等比数列{qpn-1}的前n项和
1 n
答案 AB
解析 若数列{a }为等差数列，则a -a =d，即a =a +d，
n n+1 n n+1 n
满足“线性数列”的定义，故A正确；
a
n+1
若数列{a }为等比数列，则 =q，即a =qa ，
n a n+1 n
n
满足“线性数列”的定义，故B正确；
设a -k=p(a -k)，k∈R，p≠1，
n+1 n
q
则k-pk=q，解出k= ，
1-p
q ( q )
则a - =pn-1 a - ，
n 1-p 1 1-p
q(1-pn
)
因此a = ，故C错误；
n 1-p
若p=0且q≠0，则a =q，
n
数列{qpn-1}的前n项和为0，显然D错误.
4.(2024·衡阳联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一
象限)，∠AFO=120°(O为坐标原点)，|AF|=4，则|BF|= .
4
答案
3
p
解析 作抛物线的准线x=- ，记准线与x轴的交点为T，过A，B作准线的垂线，垂足分别为P，Q，
2
过A，B作x轴的垂线，垂足分别为H，M，如图所示.设∠AFH=θ，
在△AFH中，由抛物线定义可得|FH|=|TH|-p=|AP|-p=|AF|-p，
|FH| |AF|-p
则cos θ= = ，
|AF| |AF|
p
解得|AF|= ；
1-cosθ
在△BFM中，由抛物线定义可得|MF|=p-|TM|=p-|BQ|=p-|BF|，
|MF| p-|BF|
则cos ∠MFB=cos θ= = ，
|BF| |BF|p
解得|BF|= .
1+cosθ
p
由题可知θ=60°， =4，解得p=2，
1-cos60°
2 4
则|BF|= = .
1+cos60° 3
5.(2024·泰安模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD，PC=PB=√2AB.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
2√7 PE
(2)在棱PC上是否存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不
7 EC
存在，请说明理由.
(1)证明 因为AB=BC=DC=DA=AP=PD，PC=PB=√2AB，
所以PD2+DC2=PC2，AP2+AB2=PB2，
所以DC⊥PD，AB⊥AP，
又AB=BC=DC=DA，
所以四边形ABCD为菱形，
所以AB∥DC，DC⊥AP，
又AP，PD 平面PAD，
AP∩PD=P，⊂
所以DC⊥平面PAD，
又DC 平面ABCD，
所以平⊂面PAD⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)得DC⊥平面PAD，
因为DA 平面PAD，
所以DC⊂ ⊥DA，
故四边形ABCD为正方形.
不妨设正方形ABCD的边长为2，
取AD的中点为O，连接PO.
因为△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又PO 平面PAD，
平面P⊂AD∩平面ABCD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，⃗OA，⃗DC，⃗OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，√3)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(-1，2，0).
⃗AB=(0，2，0)，⃗BC=(-2，0，0)，⃗PB=(1，2，-√3)，
2√7
假设存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ，
7
PE
设 =λ(λ>0)，E(x ，y ，z )，
EC 0 0 0
PE
由 =λ，得⃗PE=λ⃗EC，
EC
即(x ，y ，z -√3)=λ(-1-x ，2-y ，-z )，
0 0 0 0 0 0
λ 2λ √3
解得x =- ，y = ，z = ，
0 λ+1 0 λ+1 0 λ+1
( λ 2λ √3 )
所以E - ， ， ，
1+λ 1+λ 1+λ
(-1-2λ 2 √3 )
所以⃗BE= ，- ， .
1+λ 1+λ 1+λ
设平面AEB的法向量为n=(x ，y ，z )，
1 1 1
{ n·⃗AB=2y =0,
1
则 (-1-2λ)x -2y +√3z
n·⃗BE= 1 1 1=0,
1+λ
可取n=(√3，0，1+2λ).
设平面BCE的法向量为m=(x ，y ，z )，
2 2 2
{ m·⃗BC=-2x =0,
2
则
m·⃗PB=x +2y -√3z =0,
2 2 2
可取m=(0，√3，2)，
|n·m|
则|cos〈n，m〉|=
|n||m|
|2+4 λ|
=
√7×√3+(1+2λ) 2√ (2√7) 2
= 1- ，
7
解得λ=1或λ=-2(舍去)，
2√7 PE
所以在棱PC上存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ，且 =1.
7 EC
