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周四
1.(2024·荆州模拟)设z∈C，则z+z=0是z为纯虚数的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 对于复数z，若z+z=0，则z不一定为纯虚数，可以为0；
反之，若z为纯虚数，则z+z=0，
所以z+z=0是z为纯虚数的必要不充分条件.
2.(2024·聊城模拟)已知圆柱OO 的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的
1
S
底面圆面积与圆柱OO 的侧面积分别为S，S ，半球O与圆柱OO 的体积分别为V，V ，则当 的值最小
1 1 1 1 S
1
V
时， 的值为( )
V
1
4√2
A. B.√3
3
3√3
C. D.√2
4
答案 A
解析 设圆柱底面圆半径为r，高为h，球的半径为R，
1 4 2π
则R2=h2+r2，S=πR2，S =2πrh，V= · πR3= R3，V =πr2h，
1 2 3 3 1
S πR2 h2+r2
所以 = =
S 2πrh 2rh
1
h r √ h r
= + ≥2 · =1，
2r 2h 2r 2h
当且仅当r=h时等号成立，此时R=√2r，
2π 2π
V R3 (√2r) 3 4√2
所以 = 3 = 3 = .
V 3
1 πr2h πr2·rx+1
3.(多选)(2024·广州模拟)已知函数f(x)=ln x- ，则( )
x-1
A.f(x)的定义域为(0，+∞)
5
B.f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为
2
(1)
C.f +f(x)=0
x
D.f(x)有两个零点x ，x ，且x x =1
1 2 1 2
答案 BCD
x+1 2
解析 由题意，f(x)=ln x- =ln x-1- ，
x-1 x-1
对于选项A，易知x>0且x≠1，故选项A错误；
1 2
对于选项B，因为f'(x)= + ，
x (x-1) 2
1 2 5
则f'(2)= + = ，故选项B正确；
2 (2-1) 2 2
1
+1
(1) x
对于选项C，因为f =-ln x-
x 1
-1
x
x+1
=-ln x+ ，
x-1
(1)
所以f +f(x)=0，故选项C正确；
x
2
对于选项D，由选项A可知f(x)=ln x-1- ，
x-1
易知f(x)在(0，1)和(1，+∞)上单调递增，
2 2
因为f(e)=ln e-1- =- <0，
e-1 e-1
2 2 e2-3
f(e2)=ln e2-1- =1- = >0，
e2-1 e2-1 e2-1
x +1
所以∃x ∈(e，e2)，使得f(x )=ln x - 0 =0，
0 0 0 x -1
0
1 1 1 1
又因为 < < ，则0< <1，
e2 x e x
0 0
( 1 )
结合选项C，得f =-f(x )=0，
x 0
01 1
即 也是f(x)的零点，则x =x ，x = ，故x x =1，故选项D正确.
x 1 0 2 x 1 2
0 0
x2 y2
4.(2024·晋中模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，C上一点P满足|⃗PF |=|⃗PF
a2 b2 1 2 1 2
|=|⃗PF +⃗PF |=2，则⃗F F ·⃗F P= .
1 2 1 2 1
答案 6
解析 由已知有4=(⃗PF +⃗PF ) 2 =⃗PF 2 +⃗PF 2 +2⃗PF ·⃗PF =4+4+2⃗PF ·⃗PF ，故⃗PF ·⃗PF =-2，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所以⃗F F ·⃗F P=⃗F F ·⃗PF =(⃗PF -⃗PF )·⃗PF =⃗PF 2 -⃗PF ·⃗PF =4+2=6.
1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2
5.(2024·沈阳模拟)某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与.
(1)组委会从火炬手中随机抽取了100名进行信息分析，得到如下表格.根据小概率值α=0.1的独立性检验，
试判断火炬手的年龄满或未满50周岁与性别是否有关联；
性别
年龄
合计
满50周岁
未满50周岁
男
15
45
60
女
5
35
40
合计
20
80
100
(2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足
球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
n(ad-bc) 2
参考公式：χ2= ，n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
附表：α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
解 (1)零假设为H ：火炬手的年龄满或未满50周岁与性别没有关联.
0
100×(15×35-5×45) 2
根据2×2列联表中的数据，可得χ2= ≈2.34<2.706=x ，
0.1
20×80×40×60
所以根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，
0
所以可以认为H 成立，即认为火炬手的年龄满或未满50周岁与性别没有关联.
0
(2)设A表示火炬手为男性，B表示火炬手喜欢足球，
P(AB)
则P(A|B)=
P(B)
P(B|A)P(A)
=
P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)
0.5×0.72
=
0.5×0.72+0.25×0.28
0.36 0.36 36
= = = ，
0.36+0.07 0.43 43
36
所以这位火炬手是男性的概率为 .
43
