文档内容
专题 21.10 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一般形式：
ax2 +bx+c=0（其中
是未知数， 是已知数， ）.
【知识点2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法.
【知识点3】一元二次方程的根的判别式：Δ=b2 −4ac
（1）当 时⇔方程有两个不相等的实数根；
（2） 当 时⇔方程有两个相等的实数根；
（3）当 时⇔方程没有实数根；
（4）当 时⇔方程有两个实数根
【知识点4】一元二次方程根与系数的关系
b c
x +x =− x ⋅x =
若 x 1 ,x 2是一元二次方程 ax2 +bx+c=0的两个根，则 1 2 a, 1 2 a.
【知识点5】实际问题与一元二次方程
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
（2）常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：平均增长率公式； （x是平均增长率，n增长次
数）③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字 10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价 （1+利润率）；总利润=总售价-总成
本=单件利润 总销量等等
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程及相关概念
【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若 ，求证： 必是该方程的一个根；
（2）当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
【举一反三】
【变式1】（2023·河南平顶山·一模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【变式2】（2024·重庆·一模）已知m为方程 的一个根，则代数式 的值为
．
【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）用合适的方法解方程．
(1) ； (2) ．
【举一反三】
【变式1】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）按照指定方法解下列方程：
(1) （用直接开平方法）； (2) （用配方法）
(3) （用求根公式法） (4) （用因式分解法）
【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0（公式法）； (2)x2-8x+1＝0（配方法）．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且
”．
（1）求整式A；
（2）嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，在直角坐标系中，点 和点 在
轴上，点 在 轴负半轴上， ，当线段 最长时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22九年级下·山东临沂·阶段练习）若实数 ， 满足等式 ，则
．
【题型4】根的判别式
【例4】（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为 ， ，且 ．若 ，求m的值．
【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个实数
根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【变式2】（2024·广东广州·一模）已知： ．
（1）化简 ；
（2）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值．
【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合
【例5】（2024·甘肃天水·三模）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值．
【举一反三】
【变式1】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个不
相等的实数根 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ， 满足 ，求 的值．
【变式2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知关于 的一元二次方程 有两
个实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
【题型6】实际问题与一元二次方程【例6】（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆
红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20
件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使
销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【举一反三】
【变式1】（2024·陕西渭南·二模）现有可建60米长围墙的建筑材料，如图，利用该材料在某工地的直
角墙角处围成一个矩形堆物场地 （靠墙面不需要建筑材料），中间用同样的材料分隔为两间，要
使所围成的矩形 和矩形 的面积分别是 和 ，求BF的长（假设已有建筑材料恰好
用完）
【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用 元，请问：
（1）该单位这次去旅游，员工有没有超过 人？
（2）该单位这次共有多少员工去旅游？
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．（1）求 的取值范围；
（2）若方程的两个根为 ， ，且 ，求 的值．
【例2】（2023·湖南娄底·中考真题）若m是方程 的根，则 ．
2、拓展延伸
【例1】（2023·浙江·模拟预测）已知关于 的方程 的方程恰好有一个实数解，求
的值及方程的解．
【例2】（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则的范围是
．
