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专题 21.10 一元二次方程章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】..............................................................................................................1
【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】.................................................................................................1
【题型3 利用一元二次方程求最值】....................................................................................................................2
【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】.....................................................................................................3
【题型5 一元二次方程中的新定义问题】..............................................................................................................3
【题型6 一元二次方程中的规律探究】..................................................................................................................4
【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】.....................................................................................................6
【题型8 一元二次方程与几何图形的综合问题】.................................................................................................7
【题型1 利用根与系数的关系降次求值】
【例1】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知α和β是方程x2+2023x+1=0的两个根，则
的值为（ ）
(α2+2024α+2)(β2+2024β+2)
A．-2021 B．2021 C．-2023 D．2023
【变式1-1】（2023春·四川南充·九年级四川省营山中学校校考期中）已知a，b是方程x2-x-1=0的两根，
则代数式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则
2021
a3-2021a2- = ．
a2+1
【变式1-3】（2023春·四川自贡·九年级统考期末）若m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，
n3+n2m
则 的值为（ ）
2n-1
A．1 B．-1 C．2 D．-2【题型2 利用一元二次方程的解法解特殊方程】
【例2】（2023春·上海青浦·九年级校考期末）解方程：
(1)√x+2-√8-x=2；
2x 1
(2) - =1；
x2-2x-3 x-3
(3)
2x2-3√2x2-1+1=0
【变式2-1】（2023春·上海·九年级期中）解方程：mx2-3=x2+2 (m≠1)
【变式2-2】（2023春·内蒙古通辽·九年级统考期末）阅读理解：
解方程：x3-x=0．
解：方程左边分解因式，得
x(x+1)(x-1)=0，
解得x =0，x =1，x =-1．
1 2 3
问题解决：
（1）解方程：4x3-12x2-x=0．
（2）解方程： ．
(x2-x) 2-3(x2-x)=0
（3）方程 的解为 ．
(2x2-x+1) 2-2(2x2-x)-5=0
【变式2-3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）解方程：
(1)x4+2x3-9x2-2x+8=0；
(2)|x-1|+|x-2|+|2x-3|=4；
(3)x2+ y2+xy-3 y+3=0．
【题型3 利用一元二次方程求最值】
【例3】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）设实数x,y,z满足
x2+ y2+z2-xy- yz-zx=27，则|y-z|的最大值为 .
【变式3-1】（2023春·四川泸州·九年级校考期末）已知实数x，y满足x2+3x+ y-3=0，则x+y的最大值
为 ．
【变式3-2】（2023·浙江金华·九年级期中）当a= ，b= 时，多项式
a2-2ab+2b2-2a-4b+25有最小值，这个最小值是 ．
【变式3-3】（2023春·山东济南·九年级阶段练习）阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，√m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.太神奇
了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式.
她还发现像m2+n2，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+n表示.例如：
.于是丽丽把 称为基本神奇对称式
m2+n2=(m+n) 2-2mn，(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1 mn和 m+n
.
请根据以上材料解决下列问题：
1 n
（1）代数式① ， ②m2-n2 ， ③ ， ④ xy + yz + zx中，属于神奇对称式的是__________（填序
mn m
号）；
（2）已知 .
(x-m)(x-n)=x2-px+q
① q=__________（用含m，n的代数式表示）；
1 1
② 若p=3，q=-2，则神奇对称式 + =__________；
m n
m3+1 n3+1
③ 若√p2-q=0 ，求神奇对称式 + 的最小值.
m n
【题型4 利用一元二次方程的根求取值范围】
【例4】（2023春·四川眉山·九年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根
x，x，且x＜1＜x，那么a的取值范围是（ ）
1 2 1 2
2 2 2 2 2
A．﹣ ＜a＜ B．a＞ C．a＜﹣ D．﹣ ＜a＜0
7 5 5 7 11
【变式4-1】（2023春·全国·九年级期中）已知m、n是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个不相等的
实数根，且m2+mn+n2＝3，则q的取值范围是 ．
【变式4-2】（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考期末）关于 的方程 的
x (1-m2 )x2-2mx-1=0
所有根都是比2小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
【变式4-3】（2023春·山东烟台·九年级山东省烟台第十中学校考期中）若关于x的方程
1
(m2-5m+6)x2-(3-m)x+ =0无解，则m的取值范围是 ．
4
【题型5 一元二次方程中的新定义问题】
【例5】（2023春·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x ，x 是关于x的一元二次方程
1 2的两个实数根，若 ，且 x ，则称这个方程为“限根方程”．如：一
ax2+bx+c=0(a≠0) x -6，求x的取值范围；
（3）小明发现，无论 取何值，计算 时，得出结果总是负数，你认为小明的结
x (x2-2x+3)*(-x2+2x-5)
论正确吗？请说明理由．
【变式5-3】（2023春·江苏·九年级期中）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与
cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2-7x+3=0的“友好方程”是
3x2-7x+2=0．
（1）写出一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”_______．1
（2）已知一元二次方程x2+3x-10=0的两根为x =2，x =-5，它的“友好方程”的两根x = 、x =
1 2 3 2 4
________．根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x 、x 与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x 、
1 2 3
x 之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
4
1
（3）已知关于x的方程2021x2+bx-c=0的两根是x =-1，x = ．请利用（2）中的结论，求出关于
1 2 2021
的方程 的两根．
x c(x-1) 2-bx+b=2021
【题型6 一元二次方程中的规律探究】
【例6】（2023春·江苏·九年级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
2
（1）请根据上述结论解决问题：方程①2x2-3x+1=0；方程②x2-2x-8=0；方程③x2+x=- ．这几
9
个方程中，是倍根方程的是 （填序号即可）；
b
（2）一般规律探究：我们知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，则有x +x =- ，
1 2 1 2 a
c
x x = ，请你根据以上关系探究：若一元二次方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则a，b，c满足什么
1 2 a
数量关系？
2n
（3）若(x-1)(mx-n)=0是倍根方程，求 的值．
m
【变式6-1】（2023春·河南洛阳·九年级洛阳市东升第三中学校考期中）如表：方程1、方程2、方程
3、…是按一定规律排列的一列方程．
序
方程 方程的解
号
1 x2+x﹣2﹣＝0 x＝﹣2 x＝1
1 2
2 x2+2x﹣8﹣＝0 x＝﹣4 x＝2
1 2
3 x2+3x﹣18＝0 x＝ x＝
1 2
… … … …
（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处；
（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解．（3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解．
【变式6-2】（2023春·江西抚州·九年级校联考期末）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的
黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题：
(1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；
(2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；
(3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、
宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知
白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
【变式6-3】（2023春·贵州遵义·九年级赤水市第一中学校考期末）“分块计数法”：对有规律的图形进行
计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．
例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；
图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别
是 、 ．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【题型7 一元二次方程在几何中的动点问题】
【例7】（2023春·江西赣州·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C
点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出
发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间t（秒）．
(1)求DQ、PC的代数表达式；
(2)当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
(3)当0
