文档内容
第 03 讲 空间直线、平面的平行 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：直线与平面平行的判定与性质
角度1：直线与平面平行的判定
角度2：直线与平面平行的性质
题型二：平面与平面平行的判定与性质
角度1：平面与平面平行的判定
角度2：平面与平面平行的性质
题型三：平行关系的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线 与平面 没有公共点，则称直线 与平面 平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述： ， ，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
//
a ⊂ β,b ⊂ β ¿ }a ∩ b = P ¿ } ¿¿⇒ α β ¿
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）若平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 ．( )
（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．( )
2．（2022·全国·高一课时练习）已知长方体 ，平面 平面 ，平面 平面
，则 与 的位置关系是( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
3．（2022·全国·高一课时练习）在正方体 中，下列四对截面彼此平行的一对是
( )
A．平面 与平面 B．平面 与平面
C．平面 与平面 D．平面 与平面
4．（2022·全国·高一课时练习）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个
平面的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判断都不对
5．（2022·全国·高一课时练习）直线 平面 ， 内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平
行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
6．（2022·全国·高二课时练习）若平面 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是____________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与平面平行的判定与性质
角度1：直线与平面平行的判定
典型例题
例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，三棱柱 的侧棱与底面垂直， ，
， ， ，点 是 的中点(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与直线 所成角的余弦值．
例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））已知直三棱柱 中， 为正方形， ， 分
别为 ， 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 是边长为2正三角形，求四面体 的体积．
.
题型归类练
1．（2022·四川成都·高一期末（理））在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面
PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且 ， ．(1)求证： 平面PCD；
2．（2022·重庆市第七中学校高一期末）如图，正三棱柱 的所有棱长均为2， 为线段 的
中点， 为正方形 对角线的交点．
(1)求证： 面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
3．（2022·河北石家庄·高一期末）如图，在直三棱柱 中， ， ．
， 为 的中点．
(1)求证： 平面 ；(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
4．（2022·四川南充·高二期末（文））如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ， ，
分别为 ， 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
角度2：直线与平面平行的性质
典型例题
例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD为长方形， 平面
， ， ，点 、 分别为 、 的中点．设平面 平面 ．
(1)证明： 平面PBE；(2)证明： ；
(3)求三棱锥 的体积．
例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））如图，三棱锥 中， ， ， 两两垂
直， ， ， 分别是 ， 的中点， 的面积为 ，四棱锥 的体积为 .
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）求三棱锥 的表面积.
题型归类练
1．（2022·重庆巴蜀中学高二期末）如图所示，在四棱锥 中，底面是直角梯形， ，
， 和 相交于点 ，面 面 ， ， ， ．
(1)在线段 上确定一点 ，使得 面 ，求此时 的值；2．（2022·安徽池州·高一期末）在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 平面 ，
，设平面 与平面 的公共直线为l.
(1)写出图中与l平行的直线，并证明；
3．（2022·全国·高三专题练习）刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著
《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术日：倍下表，
上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.
刍甍字面意思为茅草屋顶 ”现有一个刍甍如图所示，四边形 为长方形， 平面 ，
和 是全等的等边三角形.求证： ∥ ；4．（2022·全国·模拟预测（理））如图1，在矩形 中，点E在边 上， ，将
沿 进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点F在棱 上，且 平面 ，求 ；
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形， ， 为
等边三角形，G是线段SB上的一点，且 平面 .求证：G为SB的中点
题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定
典型例题
例题1．（2022·北京延庆·高一期末）如图，已知正方体 的棱长为 分别是 的
中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求三棱锥 的体积.
例题2．（2022·山东山东·高一期中）如图，在长方体 中， ， ，点 ，
分别为边 ， 的中点.
(1)求三棱锥 的体积；
(2)证明：平面 平面BDE.例题3．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图①，在棱长为 的正方体 木块中，
是 的中点.
(1)求四棱锥 的体积；
(2)要经过点 将该木块锯开，使截面平行于平面 ，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作
图，并写出画法，不必说明理由）.
题型归类练
1．（2022·甘肃武威·高一期末）如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
2．（2022·河南·模拟预测（文））如图，在四棱柱 中，四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱 ， ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若点 在底面ABCD的投影是四边形ABCD的中心， ，求三棱锥 的体积.
3．（2022·湖南衡阳·高一期末）如图：正方体ABCD－ABC D 棱长为2，E，F分别为DD ，BB 的中点.
1 1 1 1 1 1
(1)求证：CF//平面AEC ；
1 1
(2)过点D做正方体截面使其与平面AEC 平行，请给以证明并求出该截面的面积.
1 1
角度2：平面与平面平行的性质典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱 中，
（1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
（2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．
例题2．（2022·辽宁锦州·高一期末）如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ，底面
为矩形，且 ， ， ， 为棱 的中点，点 在棱 上，且 ．
(1)证明： ；
(2)在棱 上是否存在一点F使 平面 ？若存在，请指出点 的位置并证明；若不存在，请说明
理由．
题型归类练
1．（2022·江苏·高一课时练习）在三棱柱 中，点 、 分别是 、 上的点，且平面
平面 ，试求 的值.2．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，
BF//CE，BF⊥BC，BF＜CE，BF=2，AB=1，AD= ．
(1)求证：BC⊥AF；
(2)求证：AF//平面DCE；
3．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， ， ．
(1)求四棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）如图所示正四棱锥 ，
，P为侧棱 上的点．且 ，求：(1)正四棱锥 的表面积；
(2)侧棱 上是否存在一点E，使得 平面 ．若存在，求 的值；若不存在，试说明理由．
题型三：平行关系的综合应用
典型例题
例题1．（2022·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中， 、 、 为所在棱的中点，则能得出平面
平面 的是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·安徽师范大学附属中学高一期中）在棱长为4的正方体 中，点 分别是棱 的中点， 是侧面四边形 内（不含边界）一点，若 平面 ，则线段 长度的
最小值是___________.
例题3．（2022·江苏省姜堰第二中学高一阶段练习）正方体 的棱长为1，点 ， 分别
是棱 ， 的中点，动点 在正方形 （包括边界）内运动，且 平面 ，则 的长度
范围为___．
题型归类练
1．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知正方体 的棱长为 分别是棱 ､ 的
中点，点 为底面四边形 内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，则点 的轨
迹长度为（ ）A．2 B． C． D．
2．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二期末）在棱长为2的正方体ABCD-ABC D 中，N为BC的中点．
1 1 1 1
当点M在平面DCC D 内运动时，有MN//平面ABD则线段MN的最小值为（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
3．（2022·湖南·株洲二中高一期末）在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ，
的中点，动点 在正方形 包括边界 内运动 若 ∥平面 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京通州·高一期末）如图，在正方体 中，E为 的中点，F为正方体棱的中
点，则满足条件直线 平面 的点F的个数是___________.
5．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E
为AD的中点，F在PA上，AP=λAF，若PC//平面BEF，则λ的值为_________.6．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））在正三棱柱 中， ， ， 分别为 ，
， 的中点， ， 为 的中点，则下列说法正确的是______．
① ， 为异面直线；② 平面 ；③若 ，则 ；④若 ，则直线
与平面 所成的角为45°．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知长方体 中， ， ， ， 分别
为棱 和 的中点， 为长方体表面上任意一点．若 平面 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．6
2．（2022·全国·高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．(1)证明： 平面 ；
3．（2022·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所
示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们所
在的平面都与平面 垂直．
(1)证明： 平面 ；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．4．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形 中， ， ， 于E，将
沿 翻折到 ，使 ，如图2．
(1)求三棱锥 的体积；
(2)在线段 上是否存在一点F，使 ∥平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
