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第 04 讲 一元二次不等式及简单不等式
【基础知识全通关】
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根x， 有两相等实数根x＝
1 1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x(x＜x) x＝－
2 1 2 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x} R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅ ∅
(a＞0)的解集
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
3、．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>0
【考点研习一点通】
考点1 不含参的不等式
1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(
)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
(2)不等式≥0的解集为( )
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
考点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．【变式拓展】在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
【变式】 (1)已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是，则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是
________．
(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(
)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
考点3 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范
围为________．
考点4 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
【变式】 (1)若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为( )
A．a<－或a> B．a>或a<0
C．a> D．－<a<
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
【拓展】
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x，x，且x<x，相应的二次函数为
1 2 1 2
f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，它们的分布情况
见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
一正根一负根即一个
两个负根即两根都小 两个正根即两根都大
分布情况 根小于0，一个根大
于0(x<0，x<0) 于0(x>0，x>0)
1 2 1 2
于0(x<0<x)
1 2大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论
a·f(0)<0
(不讨论a)
表二：(两根与k的大小比较)
两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个
分布情况
x<k，x<k x>k，x>k 根大于k即x<k<x
1 2 1 2 1 2
大致图象(a>0)
得出的结论 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(k)>0
综合结论
a·f(k)<0
(不讨论a)
表三：(根在区间上的分布)
两根有且仅有一根在 一根在(m，n)内，另
(m，n)内(图象有两 一根在(p，q)内，
分布情况 两根都在(m，n)内
种情况，只画了一 m<n<
种) p<q
大致图象(a>0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0大致图象(a<0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0
综合结论
f(m)·f(n) <0
(不讨论a)
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x<m，
1
x>n，(图形分别如下)需满足的条件是
2
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了
方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可
以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以
mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得<m<2即为所求；
(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以
求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间
内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)
内，求m的取值范围．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－；
②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝，当m＝－1时，根x＝－2∈(－
3,0)，即m＝－1满足题意；当m＝时，根x＝3∉(－3,0)，故m＝不满足题意．综上分析，
得出－3<m<－或m＝－1.
例1 已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数 m的取值范
围．
例2 已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．例3 已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一
个小于1，求实数m的取值范围．
【考点易错】
易错01 一元二次不等式及简单不等式的解法
例1、求下列不等式的解集：
x-1
(1)－x2＋8x－3>0；(2) ≤0
2x+1
【变式】1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4.
【变式】2、（1）解不等式
（2）已知函数 则不等式 的解集为________．
【变式】3、若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 x的不等式
的解集为________．
易错02 含参不等式的讨论例1、(1)解关于实数 的不等式： ．
(2)解关于实数 的不等式： ．
【变式】1、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集
【变式】2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
易错03 恒成立问题
例3、设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【变式】1、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围
是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
【变式】2、已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数a的取值范围是________．
【巩固提升】
1、 (2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}
2、若集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
3、(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax
＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m<
C．m<1 D．m>1
5、下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1
6．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
7.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋
x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－1<b<0 B．b>2
C．b<－1或b>2 D．不能确定
8．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________.
9．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范
围是________．
*10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是______________________．
11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
*12.已知不等式(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解为x>－，解不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋
(a－2)>0.
13、解关于x的不等式
14．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
