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专题 21.5 实际问题与一元二次方程（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】.........................................................................................................3
【题型2 增长率问题】..............................................................................................................................................4
【题型3 传播问题】..................................................................................................................................................7
【题型4 数字问题】..................................................................................................................................................9
【题型5 营销问题】................................................................................................................................................13
【题型6 工程问题】................................................................................................................................................16
【题型7 行程问题】................................................................................................................................................19
【题型8 循环问题】................................................................................................................................................23
【题型9 图表信息问题】........................................................................................................................................25
【题型10 图形面积问题】........................................................................................................................................31
【题型11 其他问题】................................................................................................................................................35
知识点 1 实际问题中常见的数量关系及表示方法
1. 平均增长（降低）率问题
设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长
率公式为a(1+x) n=b，降低率公式为a(1−x) n=b．
2. 销售利润问题
（1）利润=售价－进价；
利润 售价−进价
（2）利润率= ×100%= ×100%；
进价 进价
（3）售价=进价×(1+利润率)；
（4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出．
3. 几何问题
1
（1）面积公式：S =ab，S =a2，S =πr2，S = aℎ；
长方形 正方形 圆 三角形 2说明：①a，b分别为长方形的长、宽；
②a为正方形的边长；
③r为圆的半径；
④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高．
1
（2）体积公式：V =abℎ，V =a3，V =πR2 ℎ，V = πR2 ℎ．
长方体 正方体 圆柱 圆锥 3
说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高；
②a为正方体的棱长；
③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高；
④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高．
4. 传播问题
传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数．
5. 计数问题
n(n−1)
若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为(n−1)场，比赛总场数为 场.双循环赛中每队比
2
赛场数为2(n−1)场，比赛总场数为n(n−1)场．
6. 数字问题
7.
两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字
存款
10x+ y x y 100a+10b+c a b c
利息
问题
本息和=本金+利息；利息=本金×利率×存期．
8. 工程（行程）问题
工作总量=工作效率×工作时间；路程=速度×时间．
9. 动点问题
解决几何图形中的动点问题，通常是在点的运动变化中，列出相关线段的代数式，再利用面积公式、勾股
定理等列出一元二次方程解决．
知识点 2 列一元二次方程解应用题的一般步骤
可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤．
（1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系；
（2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量；
（3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去；（6）答：写出答案（包括单位名称)．
【题型1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【例1】（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）苏轼在《念奴娇－赤壁怀古》中写道：遥想公瑾当年，
小乔初嫁了，雄姿英发．羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭．根据资料，周瑜三十岁当上了东吴都督，去
世时年龄是两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方等于去世时的年龄．若设周瑜去世时年龄的十位
数为x，则根据题意可列出方程 ．
【答案】(x+3) 2=10x+x+3
【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的个位数为x+3，结合个位数的平方等于他
去世时的年龄，可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的十位数为x，
∴他去世时年龄的个位数为x+3，
根据题意得：(x+3) 2=10x+x+3，
故答案为：(x+3) 2=10x+x+3．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式1-1】（24-25八年级下·浙江金华·期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再
刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025
年清明档（4月4日—4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的
票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.2(1+2x)=3.78 B．1.2+1.2(1+x)+1.2(1+x) 2=3.78
C．1.2(1+x) 2=3.78 D．1.2(1+x2)=3.78
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、根据等量关系列出方程是解题的关键．
设平均每天票房增长率为x，然后根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得1.2+1.2(1+x)+1.2(1+x) 2=3.78．故选B．
【变式1-2】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1
句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
【答案】x(x−1)=210
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多
少句是解题关键．
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)句，共有x名学生，那么总共送的名数应该是x(x−1)
句，即可列出方程．
【详解】解：全班有x名同学，依题意有：x(x−1)=210．
故答案为：x(x−1)=210．
【变式1-3】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为
40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m
）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（ ）
A．(40−2x)(22−x)=520 B．(40−x)(22−2x)=520
C．(40−x)(22−x)=520 D．(40−x)(22+x)=520
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题
的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为(40−x)m，宽为
(22−x)m的矩形，结合停车位的占地面积为520m2，即可列出关于x的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为xm，则停车位（图中阴影部分）可合成长为(40−x)m，宽为
(22−x)m的矩形，
根据题意得：(40−x)(22−x)=520，
故选：C．【题型2 增长率问题】
【例2】（2025·广东汕头·一模）为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果
农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价
为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减
少了m%，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了2m%，销售均价比第一季度减少了
m%．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．
【答案】m的值为12.5
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题。根据“果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二
樱桃和枇杷的销售总金额相同”列出方程，求解即可．
【详解】解：依题意得：
1000(1−m%)×30+2000(1+2m%)×20(1−m%)=1000×30+2000×20，
令m%= y，则原方程可化为：
30000(1−y)+40000(1+2y)(1−y)=70000，
整理得：8 y2−y=0，
解得：y =0.125，y =0，
1 2
∴m =12.5，m =0（不合题意，舍去）．
1 2
答：m的值为12.5．
【变式2-1】（2025·安徽滁州·一模）因生产技术落后等因素，某工厂2024年的利润比2023年减少10%．
(1)设该工厂2023年的利润为a万元，则该工厂2024年的利润为________万元（用含a的代数式表示）；
(2)该工厂2025年年初开展了技术革新，计划2025年的利润比2024年增长60%．求该工厂按计划完成任务
后，2023年到2025年这两年年利润的平均增长率．
【答案】(1)0.9a
(2)20%
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）设这两年的年利润平均增长率为x，根据2023年初及2025年初的利润，即可得出关于x的一元二次
方程，此题得解．
【详解】（1）解：根据题意得，(1−10%)a=0.9a，
故答案为：0.9a；
（2）解：设2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为x，由题意得假设2023年年利润为a万元，
a(1−10%)(1+60%)=a(1+x) 2，
解得x =0.2=20%，x =−2.2（舍去），
1 2
答：该工厂2023年到2025年这两年年利润的平均增长率为20%．
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府
为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，
经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．
(1)请问每次降价的百分率为多少？
(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备
开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在
促销活动开始前卖出多少盒？
【答案】(1)40%
(2)120盒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程
和不等式是解题的关键．
（1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36
元，建立方程求解即可；
（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了(200−m)盒，根据利润不低于2000元建
立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，100(1−x) 2=36，
解得x=0.4=40%或x=1.6（舍去），
答：每次降价的百分率为40%；
（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了(200−m)盒，
由题意得，(50−36)m+(50×0.8−36)(200−m)≥2000，
解得m≥120，
∴m的最小值为120，
答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．
【变式2-3】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，
外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．
(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是
7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能
销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定
降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率为20%
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可；
（2）设售价应降低y元，则可卖出(20+2y)件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即
可解答．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，
由题意得，5(1+x) 2=7.2，
解得：x =0.2=20%,x =−2.2（不合题意，舍去），
1 2
答：月平均增长率为20%；
（2）解：设售价应降低y元，
由题意得，(100−y−60)(20+2y)=1200，
整理得：y2−30 y+200=0，
解得：y =10,y =20，
1 2
∵尽量减少库存，
∴y=20，
答：售价应降低20元．
【题型3 传播问题】
【例3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染
后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)第三轮将又有448人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可．
【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得
1+x+x(x+1)=64，
解得x=7或x=−9(舍)．
答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染．
那么第三轮被传染的人数为64×7=448人．
答：第三轮将又有448人被传染．
【变式3-1】（24-25九年级下·河南开封·阶段练习）某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，
发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其
上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种
植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
根据题意，可得1+x+x2=57，
整理得x2+x−56=0，
解得x =7，x =−8（不合题意，舍去），
1 2
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【变式3-2】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生
日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决）
【答案】一共有8个人过生日．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x−1)
个生日贺卡，即共做x(x−1)个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可．
【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做(x−1)个生日贺卡，即共做x(x−1)
个．由题意得
x(x−1)=56
整理可得x2−x−56=0
解得x =8,x =−7（舍）
1 2
答：一共有8个人过生日．
【变式3-3】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有
1
一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有 会将其再转发给其他没有此信息的
3
人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【答案】21
【分析】设平均每人每轮转发给x个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设平均每人每轮转发给x个人，
1
根据题意可得，1+x+x⋅ x=169，
3
解得 x =21，x =−24（不合题意，舍去），
1 2
答：平均每人每轮转发给21个人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
【题型4 数字问题】
【例4】（2023·河南开封·一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示
数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角
点阵中所有的点数和称为三角数．n(n+1)
则第n个三角数可以用1+2+3+⋅⋅⋅+(n−2)+(n−1)+n= （n≥1且为整数）来表示．
2
(1)若三角数是55，则n=______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数
的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)10
(2)n(n+1)
(3)不能，理由见解析
n(n+1)
【分析】（1）直接根据题意建立方程 =55进行求解即可；
2
（2）根据题意得到前n行所有点数的和为2+4+6+⋅⋅⋅+2(n−2)+2(n−1)+2n，然后提取公因数2即
可得到答案；
（3）根据题意建立方程n(n+1)=120，求出n不是正整数即可得到结论．
n(n+1)
【详解】（1）解：由题意得， =55，即n2+n−110=0，
2
∴(n+11)(n−10)=0，
解得n=10（负值舍去），
故答案为：10；
（2）解：由题意得：前n行所有点数的和为2+4+6+⋅⋅⋅+2(n−2)+2(n−1)+2n
=2[1+2+3+⋅⋅⋅+(n−2)+(n−1)+n)
n(n+1)
=2×
2
=n(n+1)；
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n(n+1)=120，即n2+n−120=0
−1±❑√481
解得：n= ，
2
∵n为正整数，
∴前n行的点数和不能为120．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键．
【变式4-1】（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
【答案】这个两位数是68
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为(14−x)，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为(14−x)，
根据题意，得：10(14−x)+x−x(14−x)=38，
整理得，x2−23x+102=0
解得x =6，x =17（舍去）
1 2
∴14−x=14−6=8
答：这个两位数是68．
【变式4-2】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如
图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用x表示最小的数a，则b= ，c= ，d= （用含x的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
【答案】(1)x+1,x+7,x+8
(2)最小的数为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理．
【详解】（1）解：观察图形可得b=x+1;c=x+7;d=x+8，
故答案为：x+1;x+7;x+8；
（2）解：设最小的数a为x，则b=x+1,c=x+7,d=x+8．
由题意可得x(x+8)+x+x+1+x+7+x+8=656，整理得x2+12x−640=0，
解得x =20,x =−32（舍去），
1 2
∴最小的数为20．【变式4-3】（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的
数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数
3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：
(3745) =3×83+7×82+4×81+5×80=(2021) ，表示ICME-14的举办年份．
8 10
(1)把八进制数3751换算成十进制数是_________；
(2)小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．
【答案】(1)2025；
(2)n的值为9．
【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程
是解题的关键．
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：(3751) =3×83+7×82+5×81+1×80
8
=1536+448+40+1
=(2025)
10
故答案为：2025；
（2）解：由题意得，1×n2+2×n1+6×n0=105，
整理得：n2+2n−99=0，
解得：n =9，n =−11（舍去），
1 2
∴n的值为9．
【题型5 营销问题】
【例5】（24-25八年级下·山东东营·期中）2025年春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成
本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价
为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：
每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足一次函数关系．(1)请直接写出y与x的函数关系式：______；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？
【答案】(1)y=−50x+1200(4≤x≤7)；
(2)公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元
【分析】本题主要考查一次函数的运用，一元二次方程，理解数量关系，正确列式，掌握一次函数的计算
方法是关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）定价为x元，每卷利润(x−6)元，结合（1）中的函数解析式，令函数值为1800元，求自变量的值即
可；
【详解】（1）解：根据题意设y=kx+b(k≠0)，
代入已知数据点(5,950)和(6,900)得
{5k+b=950)
，
6k+b=900
{k=−50)
解得： ，
b=1200
则y与x的函数关系式：y=−50x+1200(4≤x≤7)；
故答案为：y=−50x+1200(4≤x≤7)；
（2）解：定价为x元，每卷利润(x−4)元，
由（1）知销售量为y=−150x+1200(4≤x≤7)，
则(x−4)(−50x+1200)=1800，
x2−28x+132=0
解得：x =22（舍去），x =6，
1 2
∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元；
【变式5-1】（2025·湖南·模拟预测）个体户王先生在某镇脐橙基地以每斤4元的价格则进红橙若干斤，根
据市场预测，该红橙每斤售价5元时，每天能售出500斤，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10
斤．为了维护消费者利益，物价部门规定，该红橙售价不能超过进价的180%．
(1)设涨价x元，则每天的销售量为______斤；
(2)请你利用所学知识帮助王先生给该红橙定价，使王先生每天的销售利润为800元．【答案】(1)(500−100x)
(2)售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元
【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系正确列式．
（1）根据每天的销售量为原来销售量500斤减去涨价导致减少的销售量即可；
（2）根据利润=（定价−进价）×销售量，列出方程求解即可．
10
【详解】（1）解：由题意得，涨价x元，则每天的销售量为500− x=(500−100x)斤，
0.1
故答案为：(500−100x)；
（2）解：由题意得：(5+x−4)(500−100x)=800，
解得：x =1,x =3，
1 2
当x=1时，售价为5+1=6元，4×180%=7.2元，6<7.2，符合题意；
当x=3时，售价为5+3=8元，4×180%=7.2元，8<7.2，不符合题意；
∴红橙售价定为6元每斤，每天的销售利润为800元．
【变式5-2】（2025·江西九江·模拟预测）一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50
元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔
降价销售，经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶．
(1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶；
(2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？
【答案】(1)20
(2)每顶头盔的售价是70元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意作答即可；
（2）设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵每降价10元，每月可多售出200顶，
∴头盔每降价1元，每月可多售出20顶．
故答案为：20；
（2）解：设每顶头盔的售价为x元，则(x−50)[200+20(80−x))=8000，
整理得：x2−140x+4900=0，
解得：x =x =70，
1 2
答：每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元．
【变式5-3】（2025·内蒙古·模拟预测）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人．
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100
套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900
元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】(1)25%
(2)200套
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的32万人增加到2024年的50万人列出
一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，
解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，
由题意得：32(1+x) 2=50，
解得：x =0.25=25%,x =−2.25（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%．
（2）解：∵1600×100=160000<240000元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为m套，
( m−100 )
由题意得：m 1600− ×80 =240000，
20
整理得：m2−500m+60000=0，
解得：m =200,m =300，
1 2
200−100
当m=200时，售价=1600− ×80=1200>900元，符合题意；
20
300−100
当m=300时，售价=1600− ×80=800<900元（不符合题意，故舍去）．
20
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
【题型6 工程问题】
【例6】（2022·重庆·一模）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽
子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一
次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设
“甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量
之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工x袋、y袋粽子
{10x+8 y=3200) {x=200)
由题意得： 解得：
3x−2y=300 y=150
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100a袋粽子
由题意得：2×(200+150)+(200+100a)(8−a)+150(6−a)=3200+500
整理得：2a2−9a+10=0
解得：a =2，a =2.5，
1 2
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴ a=2
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
【变式6-1】（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部
分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕
每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10)），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司
实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，根据题意列出方程
680x+1000(50−x)=38800即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680−10m)元每棵，(1000−10m)元每
棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m) =42400
方程式求出满足条件m的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50−x棵，
根据题意，可得680x+1000(50−x)=38800，
解得，x=35．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得(680−10m)×(35+2m)+(1000−10m)×(15+m) =42400，
整理得，30m2−1860m+3600=0，
解得：m =2，m =60，
1 2
∵m≤10，∴m=2，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列
出正确的方程解决本题的关键．
【变式6-2】（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂
拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．
(1)若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？
(2)原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原
计划多生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a
小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．
【答案】(1)B生产线至少加工6小时
(2)a的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所
给的数量关系列出不等式和方程求解．(1)设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，根据生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子
总数量不少于5000个，列不等式求解即可；
(2)根据一天恰好生产了6000个粽子，可列关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值．
【详解】（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工(11−x)小时，
根据题意可得：500x+400(11−x)≥5000，
解得：x≥6
答：B生产线至少加工6小时；
（2）解：由题意可得：(400+100a)(8−2a)+(500+100)(8−a)=6000，
整理得：a2+3a−10=0，
解得a =2，a =−5（不符合题意，舍去），
1 2
答：a的值为2．
【变式6-3】（2023·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改
造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不
变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m
米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】(1)A型设备每小时铺设的路面长度为90米
(2)m的值为10
【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方
程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度=3600+750”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，
30x+30(2x+30)=3600，
解得：x=30，
则2x+30=90，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为90米；
（2）根据题意得，
30(30+m+25)+(90−3m)(30+m)=3600+750，
整理得，m2−10m=0，解得：m =10，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为10．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
【题型7 行程问题】
【例7】甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分
钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
n(n+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
n(n+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
【变式7-1】（22-23九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大
伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李
大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米
(2)a的值为5
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，则张大伯每分钟走1.2x米，根据两人共走了800米列
方程，解得x的值代入1.2x中计算即可；
（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走(50+2a)米，由已知条件可得张大伯走了
(10a+5)分钟，李大伯走了(10a+10)分钟，根据两人又共走了6900米列方程，解方程并根据实际意义确
定a值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟x米，得
5×1.2x+10x=800
解得x=50
∴1.2x=60（米）
所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米；
（2）解：依题意，得60(10a+5)+(50+2a)(10a+10)=6900
整理得a2+56a−305=0
解得a =−61（舍），a =5
1 2
答：a的值为5．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题
的关键．
【变式7-2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”
为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公
园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共
花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（
a>0），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时1
(2)a的值为
2
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时间=路程÷速
度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速
度，再将其代入10x中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程=速度×时间，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，
20 2
根据题意得： + =1，
10x x
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
∴10x=10×4=40（千米/小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时；
20
（2）根据题意得：(4+8a)( +a)=8，
40
1 2
即( +a) =1，
2
1 3
解得：a = ，a =− （不符合题意，舍去）．
1 2 2 2
1
答：a的值为 ．
2
【变式7-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情
况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
(1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)汽车滑行20米时用了多长时间？
【答案】(1)15米/秒；2秒
(2)15米/秒
6−2❑√3
(3) 秒
3
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子．
（1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间；（2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少
量=总共减少的车速÷时间，由此可求得答案；
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为(30−15x)米/秒，，继而可表示出这段路程内
的平均车速，根据“路程=平均速度×时间”列方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米，
30+0
则在这段时间内的平均车速为 =15米/秒；
2
30
从刹车到停车所用的时间是 =2秒；
15
（2）从刹车到停车车速的减少值是30−0=30，
30
从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =15米/秒；
2
（3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了x秒，这时车速为(30−15x)米/秒，
30+(30−15x) ( 15 )
则这段路程内的平均车速为 = 30− x 米/秒，
2 2
( 15 )
所以x 30− x =20，
2
整理，得3x2−12x+8=0，
6−2❑√3 6+2❑√3
解得x = ，x = （不合题意，舍去），
1 3 2 3
6−2❑√3
答：刹车后汽车行驶到20米时用了 秒．
3
【题型8 循环问题】
【例8】（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底
蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息
如下：
(1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局；
(2)求这次比赛共有多少个选手参加？1
【答案】(1)(n−1), n(n−1)
2
(2)45个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与(n−1)个选手比赛一局，比赛总共有
1
n(n−1)局；
2
1
（2）设这次比赛共有n个选手参加，依题意，得 n(n−1)×2=1980，
2
解方程，得n =45,n =−44（不符合题意，舍）
1 2
答：这次比赛共有45个选手参加．
【变式8-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一
条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？
【答案】5个
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键．
设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得：
1
x(x−1)=10
2
整理，得：x2−x−20=0
解得x =5，x =−4（不符合题意，舍去），
1 2
答：航空公司共有5个飞机场．
【变式8-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时
刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季
中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有
多少支球队．
【答案】本次联赛共有16支球队
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．
设本次联赛共有x支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比
赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可．【详解】解：设本次联赛共有x支球队，
由题意得x(x−1)=240，
x2−x−240=0，
∴(x−16)(x+15)=0，
∴x =16,x =−15（舍去），
1 2
∴本次联赛共有16支球队．
【变式8-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）中国象棋在象棋比赛中，每个选手都与其他选手比赛一
局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是1979
分，1980分，1984分，1985分．经核实，有一位观众统计准确，则这次比赛的选手共有多少名？
【答案】45名
【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系解决问题．部选手的得分等于一个参赛选手比赛的总局数乘以2分，设比赛的人数是x则
1
比了 x(x−1)局，根据题意列出方程解答即可．
2
【详解】解：设共有x名选手参加，依题意可得
1
x(x−1)×2=x(x−1)．
2
∵x是正整数，且大于1，
∴x、x−1是两个连续的正整数．
不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0，2，6，故得分总数只能是1980，
则x(x−1)=1980，
解得x =45,x =−44（不符合题意，舍去）．
1 2
答：这次比赛的选手共有45名．
【题型9 图表信息问题】
【例9】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利
用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比
例，结果仅供参考．
表（1）
女性理想体重 男性理想体重
算法
一 身高×身高×22 身高×身高×22
算法 (100×身高−70)×0.6 (100×身高−80)×0.7二
算法
(100×身高−158)×0.5+52 (100×身高−170)×0.6+62
三
表（2）
类
实际体重
别
肥
大于理想体重的120%
胖
介于理想体重的 过
110%~120% 重
介于理想体重的 正
90%~110% 常
介于理想体重的 过
80%~90% 轻
消
小于理想体重的80%
瘦
(1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由．
(2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别．
①一名身高为ℎ米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出ℎ的取值范围________．
②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为
哪一种类别？
【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析
(2)①ℎ≥1.8；②过重
【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握
表中算法，两个表的互补性．
（1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可；
（2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出
小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得．
【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米，
根据题意，得22x2=(100x−70)×0.6，
整理，得11x2−30x+21=0，
∵Δ=(−30) 2−4×11×21=−24<0，∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即甲叙述错误；
（2）解：①由题意可知：(100ℎ−80)×0.7≥70，
解得ℎ≥1.8，
故答案为：ℎ≥1.8；
②小王父亲的理想体重(100×1.75−170)×0.6+62=5×0.6+62=65（公斤），
73
实际体重占比 ×100%≈112%，
65
过重，
答：小王的父亲体重被归类为过重类别．
【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·期中）我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效
率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易
造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据：
学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示）
6
学习时间（时间） … 40 50 …
0
学习效率 … 0.64 m 1 …
记录学习效率时，每10分钟为一个记录单元．
(1)求40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和m的值．
(2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加10
分钟，学习效率值下降0.2．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能．
①求学习时间为80分钟的学习效能．
②当学习效能低于20的时候为无效学习，此时必须停止学习．恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间
不少于1个小时，根据以上研究成果计算每晚作业时间的合理范围．
【答案】(1)40分钟到60分钟的增长率为25%，m的值为0.8
(2)①48②作业时间的合理范围是60至100分钟
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，找出等量关系列出方程是解答本题的关键．
（1）设40分钟到60分钟的增长率为x，利用60分钟时学习效率=40分钟时学习效率×(1+10分钟的增长
率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将符合题意的值代入m=0.64(1+x)中，即
可求出m的值；
（2）①根据学习效能的定义求解即可；②设每晚作业时间为(60+10 y)分钟，根据学习效能低于20的时候为无效学习，可列出关于y的一元二次
方程，解之可得出y的值，将符合题意的值代入60+10 y中，可求出最长学习时间，结合规定作业时间不
少于1个小时，即可确定每晚作业时间的合理范围．
【详解】（1）解：设40分钟到60分钟的增长率为x，
根据题意得：0.64(1+x) 2=1，
解得：x =0.25=25%，x =−2.25（不符合题意，舍去），
1 2
∴40分钟到60分钟的增长率为25%，
∴m=0.64(1+x)=0.64×(1+25%)=0.8．
答：40分钟到60分钟的增长率为25%，m的值为0.8；
（2）解：①学习时间为80分钟的学习效能为：80×(1−0.2−0.2)=80×0.6=48
②设每晚作业时间为(60+10 y)分钟，
根据题意得：(60+10 y)(1−0.2y)=20，
解得：y =−5（不符合题意，舍去），y =4，
1 2
∴60+10 y=60+10×4=100，
∴超过100分钟为无效学习，
∴作业时间的合理范围是60至100分钟．
【变式9-2】某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过10人 人均收费2400元
超过10人 每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________
人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司20人．
【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超
过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工x人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均
收费减少60元，列出方程，求出x的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，12000÷2400+24000÷2400，
=10+5，
=15（人）．
故答案为：15
（2）设乙公司x人，
[2400−60(x−10))x=36000，
x =20，x =30，
1 2
若x=30，每人费用：2400−60×20=1200<1500，不符舍去，
若x=20，每人费用：2400−60×10=1800>1500，符合，
答：乙公司20人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
【变式9-3】（24-25九年级上·福建宁德·期末）根据以下素材，探索完成任务：
素材1：中国食品标签营养素参考值（NRV）是指导正常成年人保持健康体重和正常活动的标准．在国家
标准中，能量和主要营养素的日推荐摄入量如表1所示：
表1：营养素参考值（NRV）
营养成分 NRV
能量 8400kJ
蛋白质 60g
脂肪 ≤60g
碳水化合物 300g
钠 2000mg
钙 800mg
表2： A品牌纯牛奶营养成分表
项目 每100ml NRV %
能量 277KJ 3%
蛋白质 3.2g 5%
脂肪 3.8g 15%
碳水化合物 ag b钠 60mg 3%
钙 100mg 13%
素材2：《中华人民共和国食品安全法》规定：预包装食品的包装上应当标示主要营养成分及其含量．根
据《预包装食品营养标签通则》规定，营养成分表上必须标示能量和核心营养素的名称、含量及NRV %．
其中，NRV %的含义为每份（如100ml）食品中营养素的含量占该营养素每日摄入量的比例（通常精确到
1%），计算公式为：NRV %=每份食品中营养素的含量÷该营养素的营养素参考值×100%．
表2是A品牌纯牛奶（净含量：200ml）的营养成分表．
素材3：超滤牛奶是采用超滤膜过滤掉牛奶中的水和脂肪等成分，保留蛋白质、钙等成分，将牛奶纯化、
浓缩，达到高蛋白条件的牛奶品类．
任务一：请写出表2中a与b的关系式： ；
任务二：营养师建议：早餐的营养至少占全天营养的20%．某天早晨，小颖食用了一瓶A品牌牛奶和50g
面包．妈妈说：“孩子，再吃个鸡蛋．”小颖答：“不吃了，早上营养够了．”已知每100g面包中蛋白
质的NRV %为13%，请从蛋白质的角度分析，小颖的说法是否正确．
任务三：某实验室利用超滤工艺对1000mlA品牌纯牛奶进行过滤．经过两次过滤后牛奶还剩500ml，且
5
第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率是第一次的 倍（过滤过程不考虑蛋白质流失）．某工厂应用该实
36
验室的超滤工艺对A品牌纯牛奶进行一次过滤后生产出高蛋白牛奶，请问这款高蛋白牛奶的营养成分表
中，蛋白质的NRV %应标示多少？
a a
【答案】任务二：b= ×100%（或b= 或a=300b等）；任务二：小颖的说法不正确，理由见解
300 300
析；任务三：这款高蛋白牛奶的NRV %应标示10%
【分析】本题考查一元二次方程的应用，列关系式，有理数的混合运算，找准等量关系列方程是解题的关
键．
任务一：根据NRV %=每份食品中营养素的含量÷该营养素的营养素参考值×100%列关系式即可；
任务二：求出小颖摄入的蛋白质量，和早晨需要摄入蛋白质的量比较即可；
任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为x，根据题意列一元二次方程解题即可．
a
【详解】解：任务一：表2中a与b的关系式为：b= ×100%，
300
a
故答案为：b= ×100%；
3003.2 60×13%
任务二：小颖食物摄入的蛋白质为200× +50× =10.3g，
100 100
而早晨需摄入蛋白质为60×20%=12g，
∵10.3g<12g，
∴小颖的说法不正确；
任务三：设第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为x，那么第二次过滤后蛋白质占比上升的百分率为
5
x，
36
1
因为牛奶总量从1000ml经过两次过滤后变成500ml，相当于牛奶总量变为原来的 ，但蛋白质的量不
2
变，
可以把最初牛奶中蛋白质的含量看作单位1，第一次过滤后蛋白质含量为(1+x)，
( 5 )
第二次过滤后蛋白质含量为(1+x) 1+ x ，
36
1
而经过两次过滤后牛奶总量变为原来的 ，即蛋白质的含量也变为了原来的2倍，因此可以列出一元二次方
2
( 5 )
程：(1+x) 1+ x =2，
36
解得：x =0.8,x =−9（舍去）；
1 2
故第一次过滤后蛋白质占比上升的百分率为80%；
原来A品牌纯牛奶每100ml中蛋白质的NRV %为5%，经过一次过滤后，蛋白质占比上升80%，则高蛋白牛
奶中蛋白质的NRV %为：3.2×(1+0.8)÷60≈10%，
即这款高蛋白牛奶的营养成分表中，蛋白质NRV %的应标示为10%．
【题型10 图形面积问题】
【例10】（24-25八年级下·山东青岛·期中）综合与实践
项目主题：
劳动基地扩建方案
项目背景：
学校计划扩建一校园花坛，综合实践活动小组以设计“花园扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：（如图所示）
信息1：原花坛为矩形ABCD，AB=25m，BC=15m；
信息2：扩建后的新花坛仍为矩形AEFG，AE的长度不能超过35 m，AG的长度不能超过25 m．问题解决：
(1)若扩建后花园的面积为600m2，且BE=DG，求AG和AE的长；
(2)当DG=3BE时，扩建后花园的面积可以为900m2吗？请说明理由．
【答案】(1)AG和AE的长分别为20m和30m；
(2)不能，理由见解析
【分析】此题重点考查矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，正确地用代数式表示扩建后的新花坛的
长和宽是解题的关键．
（1）设BE=DG=xm，则扩建后花园的长为(25+x)m，宽为(15+x)m，于是得(25+x)(15+x)=600
，求得符合题意的x值为5，则AG=20m，AE=30m；
（2）设BE= ym，则DG=3 ym，假设扩建后花园的面积为900m2，则(25+ y)(15+3 y)=900，求得
y=5，此时AG=30m>25m，不符合要求，说明扩建后花园的面积不可以为900m2．
【详解】（1）解：设BE=DG=xm，
根据题意得(25+x)(15+x)=600，
解得x =5，x =−45（不符合题意，舍去），
1 2
∴BE=DG=5m，
∵AD=BC=15m，AB=25m，
∴AG=AD+DG=20m，AE=AB+BE=30m，
∴AG和AE的长分别为20m和30m；
（2）解：扩建后花园的面积不可以为900m2，
理由：设BE= ym，则DG=3 ym，
若扩建后花园的面积为900m2，则(25+ y)(15+3 y)=900，
解得y =5，y =−35（不符合题意，舍去），
1 2
当y=5时，DG=15m，
∴AG=AD+DG=30m>25m，不符合要求，
∴扩建后花园的面积不可以为900m2．
【变式10-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2:1．小成将纸板的四个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）．
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000cm3的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分
别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是896cm2
的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
【答案】（1）原硬纸板的长是80cm和宽是40cm；
（2）剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键．
任务1：设原硬纸板的长是2xcm和宽是xcm，建立方程10(2x−20)(x−20)=12000，求解即可；
任务2：设剪裁的小正方形的边长为ycm，建立方程(80−2y)(40−2y)=896，求解即可．
【详解】解：任务1：设原硬纸板的长是2xcm和宽是xcm．则
10(2x−20)(x−20)=12000
解得x =40，x =−10（不符，舍）
1 2
所以2x=80
答：原硬纸板的长是80cm和宽是40cm．
任务2：小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒
设剪裁的小正方形的边长为ycm．则
(80−2y)(40−2y)=896
y =12，x =48（不符，舍）
1 2
答：剪裁的小正方形的边长为12cm时，小成可以做成一个底面面积是896cm2的方形纸盒．
【变式10-2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）素材1：如图，某农户规划在一个长为300米，宽为200
米的长方形果园ABCD上修建三条通道，使其中两条与AB平行，满足通道宽EF=GH；另一条与AD平
行，并使两条通道的宽MN:EF=2:3，其余六块部分种植草莓．素材2：经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000
平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，
每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
任务1：要使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，则通道的宽MN应设计成多少米？
任务2：若农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润−承包费）为52万元，为了让购买草莓的客户获
得更大的优惠，那么应该降价多少元？
【答案】任务1：通道的宽MN应设计成10米；任务2：每平方米草莓应该降价40元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关
键．
任务1：设通道的宽MN应设计成2x米，则通道的宽EF=GH=3x米，根据长为300米，宽为200米的长
方形果园ABCD上修建三条通道，其余六块部分种植草莓．使每一块种植草莓的面积都为8550平方米，
列出一元二次方程求解即可；
任务2：设每平方米草莓应该降价y元，根据每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平
方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每
月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．农户预期一个月的总利润（总利润=销售利润-
承包费）为52万元，列出一元二次方程求解并取最大值即可．
【详解】解：任务1：设通道的宽MN应设计成2x米，则通道的宽EF=GH=3x米，
由题意得：(300−3x−3x)(200−2x)=6×8550，
整理得：x2−150x+725=0，
解得：x =5，x =145（不合题意，舍去），
1 2
∴2x=2×5=10，
答：通道的宽MN应设计成10米；
任务2：设每平方米草莓应该降价y元，( y )
由题意得：(100−y) 5000+ ×500 −20000=520000，
5
整理得：y2−50 y+400=0，
解得：y =10，y =40，
1 2
∵让购买草莓的客户获得更大的优惠，
∴每平方米草莓应该降价40元．
答：每平方米草莓应该降价40元．
【变式10-3】（24-25九年级上·广东佛山·期末）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布
局如图所示．已知AB=42米，AD=20米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度
为x米的道路．已知铺地毯防污的面积为456平方米，
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该美食节共有摊位50个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日
租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为10125
元？
【答案】(1)道路的宽为4米；
(2)每个车位月租金上涨25元时，停车场月租金收入为10125元．
【分析】（1）根据道路的宽为x米，根据题意得(42−x)(20−2x)=456，然后解方程并检验即可；
( a)
（2）设月租金上涨a元，月租金收入为10125元，根据题意得(200+a) 50− =10125，然后解方程并
5
检验即可；
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方
程是解题关键．
【详解】（1）解：根据道路的宽为x米，
根据题意得，(42−x)(20−2x)=456，
整理得：x2−52x+192=0，
解得：x =48（舍去），x =4，
1 2答：道路的宽为4米；
（2）解：设月租金上涨a元，月租金收入为10125元，
( a)
根据题意得：(200+a) 50− =10125，
5
整理得：a2−50a+625=0，
解得：a =a =25，
1 2
答：每个车位月租金上涨25元时，停车场月租金收入为10125元．
【题型11 其他问题】
【例11】（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为1200m2，共设计了如图所示
的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多3m，通车道的宽度都相等，求停车位的宽．
【答案】停车位的宽为2.5m
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
设停车位的宽为xm，则停车位的长为(x+3)m，车道宽为2xm，根据题意得
60x(x+3)+2×2x×15x=1200，解方程即可得到答案．
【详解】解：设停车位的宽为xm，则停车位的长为(x+3)m，车道宽为2xm，
根据题意得，60x(x+3)+2×2x×15x=1200，
解得x=2.5或x=−4（舍去），
答：停车位的宽为2.5m．
【变式11-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部
分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小
明每次倒出的体积是 毫升．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是
81升，列出一个一元二次方程即可求解．
【详解】解：设每次倒出液体为x毫升，
100−x
则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ×100% ，
100
100−x
由题意可得：(100−x)⋅ ×100%=81 ，
100
整理可得：(100−x) 2=8100 ，
解得：x =10，x =190（不合题意，舍去），
1 2
∴每次倒出的液体是10升．
故答案为：10．
【变式11-2】（24-25九年级上·重庆开州·期末）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品
牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m2范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机
械手平均8s可以采摘一个苹果，已知采摘工人平均5s可以采摘一个苹果．
(1)一定范围内的苹果被机器人识别，机器人采摘比工人采摘多用了0.5h，求这个范围内的苹果有多少个？
(2)为了提高了工作效率，公司为该智能机器人搭载了m个机械手(m>1)，升级了智能机器人的操作系统，
测得每个机械手平均每8秒可摘(1+m)个苹果，据统计，该智能机器人工作1h采摘的苹果数量与5个采摘
m
工人工作 小时采摘的苹果数量相等，求m的值．
2
【答案】(1)这个范围内的苹果有600个；
(2)m的值为3．
【分析】（1）设这个范围内的苹果有x个，由题意列出方程8x−5x=0.5×3600，然后解方程即可；
m
×3600
（2）由题意得3600 2 ，然后解方程并检验即可；
(1+m)m= ×5
8 5
本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设这个范围内的苹果有x个，
由题意得：8x−5x=0.5×3600，
解得：x=600；
答：这个范围内的苹果有600个；m
×3600
（2）解：由题意得3600 2 ，
(1+m)m= ×5
8 5
4500m(m+1)=1800m
m2−3m=0，
解得：m =0（舍去），m =3，
1 2
∴m的值为3．
【变式11-3】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体，若两人
同时从A地出发，匀速跑向距离6000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小
红早5分钟到达B地.
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明跑步继续前进到C地(整个过程不休息)，据了解，在整个运动过程中，小明
跑步的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的
热量就增加1卡路里，在整个过程中，小明共消耗2300卡路里热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分
钟．
【答案】(1)小明跑步速度是200m/min，小红跑步速度是240m/min
(2)小明从A地到C地锻炼共用70分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用；
（1）设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2xm/min，利用时间=路程÷速度，结合小明比
小红早5分钟到达B地，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出小红跑步的速度，再将其代入
1.2x中，即可求出小明跑步的速度；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量”，
可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设小红跑步速度是xm/min，则小明跑步速度是1.2xm/min，
6000 6000
根据题意得： − =5，
x 1.2x
解得：x=200，
经检验，x=200是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×200=240
答：小明跑步速度是200m/min，小红跑步速度是240m/min；
（2）设小明从A地到C地锻炼共用y分钟，
根据题意得：10×30+(10+ y−30)(y−30)=2300，整理得：y2−50 y−1400=0，
解得：y =−20(不符合题意，舍去)，y =70．
1 2
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟．
