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第 04 讲 一元二次不等式及简单不等式
【基础知识全通关】
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根x， 有两相等实数根x＝
1 1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x(x＜x) x＝－
2 1 2 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x} R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅ ∅
(a＞0)的解集
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
3、．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>0
【考点研习一点通】
考点1 不含参的不等式
1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(
)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
【答案】 D
【解析】 ∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－10)．
【解析】解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得1时，不等式的解集为.
【变式拓展】在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
【解析】解 当a>0时，同例2，
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当01时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【变式】 (1)已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是，则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是
________．
【答案】 {x|x≥3或x≤2}
【解析】 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
【解析】解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝.
1 2
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
考点1 在R上的恒成立问题
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(
)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
【答案】 D
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－20时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以00，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，
所以m<.令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
考点4 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
【答案】
【解析】 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一
条线段，
则即
解得0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为( )
A．a<－或a> B．a>或a<0
C．a> D．－0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
【答案】 C
【解析】 令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴即
解得m≤－5.
【拓展】
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x，x，且x0，x>0)
1 2 1 2
于0(x<00)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论
a·f(0)<0
(不讨论a)
表二：(两根与k的大小比较)
两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个
分布情况
xk，x>k 根大于k即x0)
得出的结论 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(k)>0
综合结论
a·f(k)<0
(不讨论a)
表三：(根在区间上的分布)
两根有且仅有一根在 一根在(m，n)内，另
(m，n)内(图象有两 一根在(p，q)内，
分布情况 两根都在(m，n)内
种情况，只画了一 m0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0大致图象(a<0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0
综合结论
f(m)·f(n) <0
(不讨论a)
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧xn，(图形分别如下)需满足的条件是
2
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了
方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可
以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以
mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得3＋2，
即m的取值范围为(0,3－2)∪(3＋2，＋∞)．例3 已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一
个小于1，求实数m的取值范围．
【解析】解 由(m＋2)·f(1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0 ⇒－20；(2) ≤0
2x+1
( 1 ] ( 1 ]
【答案】（1） - ,1 （2） - ,1 .
2 2
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x＝4－，x＝4＋.
1 2
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－0, 2x+1<0.
1
解①得- 0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解
集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(4)转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a恒成立
⇒f(x)
min
≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)
max
≤a，即n≤a.
【巩固提升】
1、 (2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－10的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax
＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，
∴a>0，且－＝1，
4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m1
【答案】：A
【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
5、下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－70得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝
3.故C正确；
对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
6．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【答案】 A
【解析】 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋
＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．
7.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋
x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－12
C．b<－1或b>2 D．不能确定
【答案】 C
【解析】 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．∴x∈[－1,1]时，f(x) ＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
min
令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
8．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________.
【答案】
【解析】 若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的
实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝.
9．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范
围是________．
【答案】 (－1，)
【解析】 ∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.
∴<－1⇔<0⇔(3a－2)(a＋1)<0，
∴－10，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2
＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求
f(x)<5的解，
由得0≤x＜5；由
得－50的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)－，解不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋
(a－2)>0.
【解析】解 因为(a＋b)x＋(2a－3b)<0，
所以(a＋b)x<3b－2a，
因为不等式的解为x>－，
所以a＋b<0，且＝－，
解得a＝3b<0，
则不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0
等价为bx2＋(4b－2)x＋(3b－2)>0，
即x2＋(4－)x＋(3－)<0，
即(x＋1)(x＋3－)<0.
因为－3＋<－1，
所以不等式的解为－3＋0时，有
即
解得－≤t≤，所以0
