第 04 讲 一元二次不等式及简单不等式
【基础知识全通关】
1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根x， 有两相等实数根x＝
1 1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x(x＜x) x＝－
2 1 2 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x} R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅ ∅
(a＞0)的解集
2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
3、．简单分式不等式
(1)≥0⇔
(2)>0⇔f(x)g(x)>0
【考点研习一点通】
考点1 不含参的不等式
1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于(
)
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
【答案】 D
【解析】 ∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－
4,1,3,5}，
∴A∩B＝{1,3}．
(2)不等式≥0的解集为( )
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)【答案】 B
【解析】 原不等式化为
即
解得－2<x≤1.
考点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【解析】解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
【变式拓展】在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
【解析】解 当a>0时，同例2，
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【变式】 (1)已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是，则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是
________．
【答案】 {x|x≥3或x≤2}
【解析】 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
【解析】解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝.
1 2
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
考点1 在R上的恒成立问题
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(
)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
【答案】 D
【解析】 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有
解得－2<a<2.
综上，实数a的取值范围是(－2,2]．
考点3 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范
围为________．
【答案】
【解析】 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以0<m<；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x) ＝g(1)，即m－6<0，
max
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，
所以m<.令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
考点4 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
【答案】
【解析】 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一
条线段，
则即
解得<x<，
故x的取值范围为.
思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范
围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集 R上恒成立，二是在某给定
区间上恒成立．
对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的
二次函数的图象全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
【变式】 (1)若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为( )
A．a<－或a> B．a>或a<0
C．a> D．－<a<
【答案】 C
【解析】 当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
【答案】 C
【解析】 令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴即
解得m≤－5.
【拓展】
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x，x，且x<x，相应的二次函数为
1 2 1 2
f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，它们的分布情况
见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
一正根一负根即一个
两个负根即两根都小 两个正根即两根都大
分布情况 根小于0，一个根大
于0(x<0，x<0) 于0(x>0，x>0)
1 2 1 2
于0(x<0<x)
1 2大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论
a·f(0)<0
(不讨论a)
表二：(两根与k的大小比较)
两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个
分布情况
x<k，x<k x>k，x>k 根大于k即x<k<x
1 2 1 2 1 2
大致图象(a>0)
得出的结论 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(k)>0
综合结论
a·f(k)<0
(不讨论a)
表三：(根在区间上的分布)
两根有且仅有一根在 一根在(m，n)内，另
(m，n)内(图象有两 一根在(p，q)内，
分布情况 两根都在(m，n)内
种情况，只画了一 m<n<
种) p<q
大致图象(a>0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0大致图象(a<0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0
综合结论
f(m)·f(n) <0
(不讨论a)
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x<m，
1
x>n，(图形分别如下)需满足的条件是
2
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了
方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可
以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以
mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得<m<2即为所求；
(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以
求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间
内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)
内，求m的取值范围．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－；
②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝，当m＝－1时，根x＝－2∈(－
3,0)，即m＝－1满足题意；当m＝时，根x＝3∉(－3,0)，故m＝不满足题意．综上分析，
得出－3<m<－或m＝－1.
例1 已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数 m的取值范
围．
【解析】解 设f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)·f(0)<0 ，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－<m<1，即m的取值范围为.
例2 已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
【解析】解 设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由⇒
⇒ ⇒0<m<3－2或m>3＋2，
即m的取值范围为(0,3－2)∪(3＋2，＋∞)．例3 已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一
个小于1，求实数m的取值范围．
【解析】解 由(m＋2)·f(1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0 ⇒－2<m<－，
即m的取值范围为.
【考点易错】
易错01 一元二次不等式及简单不等式的解法
例1、求下列不等式的解集：
x-1
(1)－x2＋8x－3>0；(2) ≤0
2x+1
( 1 ] ( 1 ]
【答案】（1） - ,1 （2） - ,1 .
2 2
【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x＝4－，x＝4＋.
1 2
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－<x<4＋}.
x-1 {x-1≤0, {x-1≥0,
（2）方法一: ≤0等价于 ①或 ②
2x+1 2x+1>0, 2x+1<0.
1
解①得- <x≤1,解②得x∈⌀,
2
( 1 ]
所以原不等式的解集为 - ,1 .
2
x-1 {(x-1)(2x+1)≤0,
方法二:不等式 ≤0⇔
2x+1 2x+1≠0,
1
{- ≤x≤1,
2 1
所以由二次不等式知 所以- <x≤1.
1 2
x≠− ,
2
( 1 ]
所以原不等式的解集为 - ,1 .
2
【变式】1、解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4.
【解析】 (1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为.
【变式】2、（1）解不等式
（2）已知函数 则不等式 的解集为________．
【答案】1． 2．
【解析】：1．不等式化为 ，化为 ，
∴ ，解集为 ．
2．由题意知 解得：x＞1．故原不等式的解集为
【变式】3、若关于 的不等式 的解集为 ，则关于 x的不等式
的解集为________．
【答案】
【解析】：由已知 的解集为 ，可知 ，且 ＝ ，将不等式
两边同除以 ，得 ，即 ，解得
，故不等式 的解集为 ．
方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R
或∅).求出对应的一元二次方程的根.
(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集易错01 含参不等式的讨论
例1、(1)解关于实数 的不等式： ．
(2)解关于实数 的不等式： ．
【解析】（1）由 得 ，
∴ ，
① 当 时， 的解集为 ，
② 当 时， 的解集为 ，
③当 时， 的解集为 ．
（2）对方程 ，当 即 时
不等式的解集为
当 即 或 时
的根为
不等式的解集为
【变式】1、求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集
【解析】原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x＝－，x＝.
1 2
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
【变式】2、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。
【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行
分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等
式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
易错03 恒成立问题
例3、设函数 ．
(1)若对于一切实数 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】：(1)要使 恒成立，
若 ，显然 ；
若 ，则 解得 ．
所以实数m的取值范围是 ．
(2)有以下两种方法：
法一 由 ，得， ，
即 ，
因为 ，
所以 ．
因为函数 在 上的最小值为 ，所以只需 即可．
所以， 的取值范围是 ．
法二 由 ，得 ，即 ，
令
当 时， 在 上是增函数，
所以 ，
所以 ，则 ；
当 时， 恒成立；
当 时， 在 上是减函数，
所以 ，
所以 ，所以 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【变式】1、若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围
是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
【答案】 C
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2<a<2.
∴实数a的取值范围是(－2,2]．
【变式】2、已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数a
的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵ 时， 恒成立，即 恒成立．
即当 时， 恒成立．
而 在 上单调递减，
∴ ，故 ．
∴实数 的取值范围是 ．
方法总结：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上
全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另
外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主
元，求谁的范围，谁就是参数.
(3)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解
集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(4)转化为函数值域问题，即已知函数 f(x)的值域为[m，n]，则 f(x)≥a恒成立
⇒f(x)
min
≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)
max
≤a，即n≤a.
【巩固提升】
1、 (2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为( )
A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}
C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}
【答案】D
【解析】 由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.
2、若集合 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意， ， ，则
，故答案为C。
3、(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax
＋b)(x－2)<0的解集是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，
∴a>0，且－＝1，
4、“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
A．m> B．m<C．m<1 D．m>1
【答案】：A
【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，
又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，
∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.
5、下列四个解不等式，正确的有( )
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3
D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1
【答案】：BCD
【解析】：对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝
3.故C正确；
对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
6．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
【答案】 A
【解析】 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋
＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．
7.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋
x)成立，当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是( )
A．－1<b<0 B．b>2
C．b<－1或b>2 D．不能确定
【答案】 C
【解析】 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，
则有＝1，故a＝2.
由f(x)的图象可知f(x)在[－1,1]上为增函数．∴x∈[－1,1]时，f(x) ＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
min
令b2－b－2>0，解得b<－1或b>2.
8．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则a的值为________.
【答案】
【解析】 若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a＝－1有两个相等的
实根，所以Δ＝4a2－4(a＋1)＝0，解得a＝.
9．设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范
围是________．
【答案】 (－1，)
【解析】 ∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)<－1.
∴<－1⇔<0⇔(3a－2)(a＋1)<0，
∴－1<a<.
*10.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋
2)<5的解集是______________________．
【答案】 {x|－7<x<3}
【解析】 令x<0，则－x>0，∵x≥0时，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x2
＋4x，又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x2＋4x，故有f(x)＝再求
f(x)<5的解，
由得0≤x＜5；由
得－5<x<0，即f(x)<5的解集为(－5,5)．
由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，
故f(x＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．
11．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m<n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)>0的解集；
(2)若a>0，且0<x<m<n<，比较f(x)与m的大小．
【解析】解 (1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)．
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)>0，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；
当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－1<x<2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<，
∴x－m<0,1－an＋ax>0.
∴f(x)－m<0，即f(x)<m.
*12.已知不等式(a＋b)x＋(2a－3b)<0的解为x>－，解不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋
(a－2)>0.
【解析】解 因为(a＋b)x＋(2a－3b)<0，
所以(a＋b)x<3b－2a，
因为不等式的解为x>－，
所以a＋b<0，且＝－，
解得a＝3b<0，
则不等式(a－2b)x2＋2(a－b－1)x＋(a－2)>0
等价为bx2＋(4b－2)x＋(3b－2)>0，
即x2＋(4－)x＋(3－)<0，
即(x＋1)(x＋3－)<0.
因为－3＋<－1，
所以不等式的解为－3＋<x<－1.
即所求不等式的解集为{x|－3＋<x<－1}．
13、解关于x的不等式
【解析】：若 ，原不等式等价于 ，解得 ．
若 ，原不等式等价于 ，解得 或 ．
若 ，原不等式等价于 ．
①当 时， ， 无解；
②当 时， ，解 得 ；
③当 时， ，
解 得 ．
综上所述：当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为
；当 时，解集为 ．
14．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
【解析】解 (1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得解得
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组
即
解得
因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，
所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，
即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有
即
解得－≤t≤，所以0<t≤；
当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，解得t≥－，即－≤t<0，
综上，t的取值范围是.
