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专题 21.5 实际问题与一元二次方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 数字问题】..................................................................................................................................................1
【题型2 增长率问题】..............................................................................................................................................3
【题型3 利润问题】..................................................................................................................................................6
【题型4 图形的面积问题】......................................................................................................................................9
【题型5 传播问题】................................................................................................................................................12
【题型6 工程问题】................................................................................................................................................15
【题型7 行程问题】................................................................................................................................................18
【题型8 图表信息问题】........................................................................................................................................22
【题型9 古文问题】................................................................................................................................................26
【题型10 动点问题】................................................................................................................................................29
知识点1：解一元二次方程的一般步骤
（1）审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关
系。
（2）设：就是指设元，也就就是设出未知数。
（3）列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列
代数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。
（4）解：就就是解方程，求出未知数得值。
（5）验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
（6）答：写出答案。
【题型1 数字问题】
方法总结：三个连续整数：若设中间得一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
三个连续偶数（奇数）：若中间得一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2.
三位数得表示方法：设百位、十位、个位上得数字分别为a,b,c，则这个三位数就是100a+10b+c.
【例1】（23-24九年级·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一
章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时
年龄的十位数字是x，则可列方程为 ．
【答案】10x+(x+3)=(x+3) 2
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键．
根据题意可得个位数为(x+3)，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可．
【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则个位数上的数字是(x+3)，
由题意可得：10x+(x+3)=(x+3) 2．
故答案为：10x+(x+3)=(x+3) 2．
【变式1-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）两个连续正整数的平方和为113，则这两个数的积是 ．
【答案】56
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设较小的一个数为x，则另外一个数为(x+1)，根据两个数的
平方和是113，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设较小的一个数为x，则另外一个数为(x+1)，
依题意，得：x2+(x+1) 2=113，
整理，得：x2+x−56=0，
解得：x =7，x =−8（舍去），
1 2
∴x+1=8
∴这两个数的积为7×8=56，
故答案为：56．
7
【变式1-2】（23-24九年级·江苏·期中）已知3个连续整数的和是m，它们的平方和是n，且n= (2m+3)
3
，求这3个连续整数．
【答案】这3个连续整数为4，5，6
【分析】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可．
【详解】设这3个连续整数为x，x+1，x+2，
由题意可得，x+x+1+x+2=3x+3=m，
x2+(x+1) 2+(x+2) 2=3x2+6x+5=n，7
又知n= (2m+3)，
3
7
即3x2+6x+5= (6x+9)，
3
4
解得x=4或− （舍去），
3
故x=4，
x+1=5，x+2=6．
故这3个连续整数为4，5，6．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·专题练习）一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数
字与十位数字的和．已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【答案】257
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确理解数字与每个位上的数字的关系是关键．设该三位数的
百位数字是x，则十位数字是(x+3)，个位数字是(2x+3)．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5
倍大12”列出方程．
【详解】解：设该三位数的百位数字是x(x为正整数），则十位数字是(x+3)，个位数字是(2x+3)．则：
100x+10(x+3)+(2x+3)=5(2x+3) 2+12，
整理，得：5x2−13x+6=0，
所以(x−2)(5x−3)=0．
所以x−2=0或5x−3=0，
3
解得，x=2或x= （舍去），
5
则x+3=5，2x+3=7，
则该三位数是257．
答：这个数是257．
【题型2 增长率问题】
方法总结：设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次得增长或降低后得等量
关系为a（1±x）²=b.
【例2】（23-24九年级·安徽安庆·期中）为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为a万元，2023年的绿
化投资额为2.25a万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（ ）
A．30% B．40% C．50% D．60%【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两
年该市绿化投资额的年平均增长率为x，利用2023年该市的绿化投资额=2021年该市的绿化投资×（1+额
这两年该市绿化投资额的年平均增长率），可得出关于x的一元二次方程求解，取其符合题意的值，即可
得出结论．
【详解】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，
根据题意得：a(1+x) 2=2.25a，
(1+x) 2=2.25，解得：x =0.5，x =−2.5（不符合题意，舍去），
1 2
∵ 0.5=50%，
∴这两年该市绿化投资额的年平均增长率为50%．
故选：C．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏镇江·期中）镇江香醋甲天下，为开拓醋的养生功能，某醋厂开发出樱桃
醋．为打开市场，该樱桃醋经过两次降价，售价由原来的每瓶25元降至每瓶16元，已知两次降价的百分
率相同，若设每次降价的百分率为x，则可列方程 ．
【答案】25(1−x) 2=16
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降价的百分率为x，根据经过两次降价后的
价格=原价×（1−每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正
确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：25(1−x) 2=16，
故答案为：25(1−x) 2=16．
【变式2-2】（23-24九年级·四川绵阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到
智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．
据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月
平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
【答案】50%
【分析】本题主要考查二次函数中的增长率问题，注意题目中的要求是到第三个月末累计进馆608人次，
求和的方式觉得方程的结构，不要受思维定势，列错方程是解决问题的关键．【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为x，
则由题意得：128+128(1+x)+128(1+x) 2=608
化简得：4x2+12x−7=0
∴(2x−1)(2x+7)=0；
∴x =0.5=50%或x =−3.5（舍）；
1 1
答：进馆人次的月平均增长率为50%；
故答案为：50%．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价
为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每
件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
(3)该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度
的总利润．
【答案】(1)4800元
(2)60元
(3)20235元
【分析】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解
答时根据销售问题的数量关系建列方程是关键．
（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由
销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
（3）列出方程判断其根的判别式即可得到其利润能否达到8000元．
【详解】（1）解：由题意，得60(360−280)
=4800元．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）解：设每件商品应降价x元，由题意，得(360−x−280)(5x+60)=7200，
化简为x2−68x+480=0
解得x =8，x =60，
1 2∵要更有利于减少库存，
∴x=60.
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元
（3）解：由题意，得60+60(1+x)+60(1+x) 2=285
3 2
化简为(x+ ) =4
2
1 7
解得x = , x = − （舍）
1 2 2 2
∴1月60件，每件利润80元；2月90件，每件利润74元；3月135件，每件利润65元
60×80+90×74+135×65=20235
∴总利润为20235元．
【题型3 利润问题】
方法总结：利润问题常用得相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；
③利润=成本×利润率.
【例3】（23-24九年级·山东菏泽·期中）某旅游景点的门票价格是20元/人，每天接待游客500人，已知
该景点每天要支出100元卫生费，每售出一张门票要上缴10元其它费用．
(1)景点每天获利润多少元？
(2)进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，每天接待
游客人数就会减少50人．当门票价格为多少时，可获利润8900元？
【答案】(1)景点每天获利润4900元
(2)门票价格为40元时，可获利润8900元
【分析】本题主要考查有理数四则运算的应用以及一元二次方程的应用：
（1）根据“总利润=总收入-总支出”列式计算即可；
（2）根据“总利润=总收入-总支出”列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：利润=(20−10)×500−100
=10×500−100
=5000−100
=4900（元）
答：景点每天获利润4900元
（2）解：设门票价格为x元时，可获利润8900元，根据题意得，( x−20 )
(x−10)× 500− ×50 −100=8900
5
解得，x =x =40，
1 2
答：门票价格为40元时，可获利润8900元
【变式3-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以
自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出(320−10a)件，但
物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定
为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【分析】根据利润和售价建立一元二次方程组，得到a2−50a+616=0，解方程组得到售价，最后对售价
的合理性进行判断即可得到最终的答案．
【详解】设商店的获利为x元，
得x=(320−10a)(a−18)，
当x=400时，(320−10a)(a−18)=400，
得a2−50a+616=0，
(a−22)(a−28)=0，
解方程得a=22元或a=28元，
28−18
当a=28元， >25%，
18
∴a=28元舍去，
∴a=22元，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
【变式3-2】（23-24九年级·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．
《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚
标准．某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售
单价x（元/件）满足一次函数y=30−0.2x，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的30%．若商店
计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元．
【答案】100
【分析】根据题意，列方程表示每周利润(x−80)y=200，代入求解即可．【详解】解：由题意，得
(x−80)y=200，
即(x−80)(30−0.2x)=200，
解得，x =100，x =130，
1 2
∵每件头盔的利润不能超过进价的30%，
∴每件头盔的售价不能超过80×(1+30%)=104元，
所以x=130舍去，
所以售价应为100元，
故答案为：100．
【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）根据以下素材，解决生活问题
【素材背景】某超市购进200箱的A款牛奶，进价为每箱40元．若每箱售价为60元，每天可销售50箱．
超市也可采取降价促销措施来提高利润，经过营销部的市场调研反馈：若A款牛奶单价每降1元，每天可
多售出5箱．
【问题解决】
思考1：第一天超市决定按原价每箱60元出售，则第一天售出A款牛奶所获利润为______元．
思考2：第二天超市采取降价促销措施，为了使第二天的利润比第一天增加12%，又要让顾客实现最优
惠，问第二天A款牛奶的每箱售价为多少元？
思考3：第三天超市仍采取降价促销措施，既要销售完这批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，问
销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为多少元？
【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用：
思考1：售价与进价之差为每箱利润，乘以销量即为总利润；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，则销量为[5(60−x)+50)箱，每箱利润为(x−40)元，根据
第二天的利润比第一天增加12%列一元二次方程，解方程即可；
思考3：先求出剩余牛奶的箱数，降价后的销量刚好等于该数时，可以使超市利益最大化，由此可解．
【详解】解：思考1：(60−40)×50=1000（元），
即第一天售出A款牛奶所获利润为1000元，
故答案为：1000；
思考2：设第二天A款牛奶的每箱售价为x元，由题意得：[5(60−x)+50)(x−40)=1000×(1+12%)，
整理得x2−110x+3024=0，
解得x =54，x =56，
1 2
∵要让顾客实现最优惠，
∴第二天A款牛奶的每箱售价为54元．
思考3：∵第一天销量为：50箱，第二天销量为：5×(60−54)+50=80（箱），
∴第三天销量为：200−50−80=70（箱），
设第三天A款牛奶的每箱售价为y元，
则5(60−y)+50=70，
解得y=56，
第三天售出A款牛奶所获利润为：70×(56−40)=1120（元），
1000+1120+1120=3240（元），
即销售完200箱的A款牛奶所获的总利润为3240元．
【题型4 图形的面积问题】
方法总结：根据图形的面积与图形得边、高等相关元素得关系，将图形的面积用含有未知数得代数式表示
出来，建立一元二次方程.
【例4】（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为150m2的长方形花园ABCD，为了节省材
料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，BC边留有2m的门EF，如果栅栏的长为33m．
(1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？
(2)若给定墙长为am，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ．
【答案】(1)花园的长20m或15m，宽为7.5m或10m
(2)15≤a<20
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(33−2x+2)m，根据长方形的面积公式结合养鸡场
的面积为150m2，列出一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据（1）的结论可分a<15、15≤a<20及a≥20三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(33−2x+2)m，
依题意得：x(33−2x+2)=150，
整理得：2x2−35x+150=0，
解得：x =7.5，x =10，
1 2
∴35−2x=20或35−2x=15．
答：花园的长为20m或15m，宽为7.5m或10m．
（2）当a<15时，不能围成花园，题目无解；
当15≤a<20时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解；
当a≥20时，围成的花园有二种围法，题目有两个解；
综上所述，当15≤a<20时，围成的花园只有一种围法，
即a的取值范围是15≤a<20，
故答案为：15≤a<20．
【变式4-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的
一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方
形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=7，b=3，则矩形ABCD的面积是（ ）
A．42 B．36❑√3 C．25❑√3 D．21
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方应用，设小正方形的边长为x，则矩形的长为(a+x)，宽为(b+x)，根据图
1的面积列出关于a、b、x的关系式，代入a=7，b=3求出x2+10x=21，即可得出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，则矩形的长为(a+x)，宽为(b+x)，
1 1 1
由图1可得： (a+x)(b+x)= ax×2+ bx×2+x2 ，
2 2 2
整理得：x2+ax+bx−ab=0，
∵a=7，b=3，
∴x2+7x+3x−21=0，∴x2+10x=21，
∴矩形的面积为(a+x)(b+x)=(x+7)(x+3)=x2+10x+21=21+21=42，
故选：A．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD，AB=am，AD=bm，面积为Sm2
．现将边AB增加1m，边AD增加2m，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为2Sm2，则S的值是
．
【答案】6+4❑√2
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面
积，根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积S=ab，变化后矩形的面积为(a+1)(b+2)，
S
∴2S=(a+1)(b+2)，b= ，
a
(S )
∴2S=(a+1) +2 ，
a
∴2a2+(2−S)a+S=0，
∵有且只有一个a的值，
∴△=(2−S) 2−8S=0，
整理得：S2−12S+4=0，
解得：S =6+4❑√2，S =6−4❑√2（舍去），
1 2
∴S的值是6+4❑√2．
故答案为：6+4❑√2．
【变式4-3】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示
的长方形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）7+3❑√5 ❑√5+1 ❑√5+3
A． B． C． D．❑√2+1
2 2 2
【答案】A
【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=(a+b) 2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面
积=b(a+2b)，两图形面积相等，列出方程得=(a+b) 2=b(a+2b)，其中a=1，求b的值，即可求得正方形
的面积．
【详解】解：根据图形和题意可得：
正方形的边长=a+b，
∴正方形面积=(a+b) 2，
矩形的长和宽分别是a+2b，b，
∴矩形面积=b(a+2b)，
(a+b) 2=b(a+2b)，其中a=1，则方程是(1+b) 2=b(1+2b)
❑√5+1 −❑√5+1
解得：b = ，b = （不合题意舍去），
1 2 2 2
( ❑√5+1) 2 7+3❑√5
所以正方形的面积为 1+ = ．
2 2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，
然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．
【题型5 传播问题】
【例5】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（ ）支小分支．A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数是43”得出一元二次方程，解方程可得答案．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：1+x+x2=43，
解得：x =6,x =−7，（不合题意，舍去），
1 2
故每个支干长出6个小分支，
故选A．
【变式5-1】（23-24九年级·宁夏银川·期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯45次，
则参加酒会的人数为 人.
【答案】10
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的人
数为x人，利用碰杯的总次数=参加酒会的人数×(参加酒会的人数−1)÷2，可列出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】
解：设参加酒会的人数为x人，
1
根据题意得： x(x−1)=45，
2
整理得：x2−x−90=0，
解得：x =10，x =−9(不符合题意，舍去)，
1 2
∴参加酒会的人数为10人．
故答案为：10
【变式5-2】（23-24·陕西渭南·模拟预测）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留
言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生?
【答案】九年级（1）班共有41名学生．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设九年级（1）班共有x名学生，每个同学要写(x−1)条祝
福，结合全班一共写了1640条祝福，列式x(x−1)=1640，然后计算，即可作答．
【详解】解：设九年级（1）班共有x名学生，
则x(x−1)=1640，
整理得x2−x−1640=(x−41)(x+40)=0，解得x =41，x =−40<0（舍去），
1 2
∴九年级（1）班共有41名学生．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比
赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
(1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
(2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
(3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】(1)10；
(2)小哲说的有道理，理由见解析；
(3)13．
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
5(5−1)
（1）由题意，得5个人需比赛的局数为 =10；
2
（2）小哲说的有道理，理由见详解；
(x−1)(x−2)
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意 +n=70，整理并求解即可．
2
5(5−1)
【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为 =10；
2
（2）小哲说的有道理，理由如下：
x(x−1)
设有x人报名参赛，由题意得 =70，整理得x2−x−140=0，
2
1±❑√561
解得x= ，不为整数，
2
∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意，
(x−1)(x−2)
得 +n=70，整理得x2−3x+2n−138=0，
2
3±❑√561−8n
解得x= ，
2当n=4时，x=13，符合题意，
∴共有13名参赛者报名本次比赛．
【题型6 工程问题】
【例6】（23-24九年级·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原
计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(m+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划
每小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出
方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2x+30)米，
根据题意得，32x+32(2x+30)=4800，
解得：x=40，
则2x+30=110，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得，
40(32+m+25)+(110−3m)(32+m)=4800+1000，
整理得，m2−18m=0，
解得：m =18，m =0（舍去），
1 2
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
【变式6-1】（23-24·重庆·二模）甲、乙两工程队共同承建某高速路隧道工程，隧道总长2000米，甲、乙
分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工
所需成本不一样．甲每合格完成1米，隧道施工成本为6万元；乙每合格完成1米，隧道施工成本为8万
元．4
（1）若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？
3
（2）实际施工开始后因地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1
1
米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 m米，乙因特殊地质，在施工成本不变的情况下，比计划
2
1
每天少挖 m米，若最终每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，求m的值．
4
【答案】（1）1000米；（2）4
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲
4
总施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
3
（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合每天实际总成本比计划多（11m-8）万元，即可得出
关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（2000-x）米，
4
依题意，得：8（2000-x）≥ ×6x，
3
解得：x≤1000．
答：甲最多施工1000米．
1 1
（2）依题意，得：（6+m）（6+ m）+8（6- m）=6×（6+8）+11m-8，
2 4
整理，得：m2-8m+16=0，
解得：m=m=4．
1 2
答：m的值为4．
【点睛】考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间
的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式6-2】（23-24·重庆·中考真题）随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁
路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队
单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6
倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工
时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取
整数）
【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系
为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即
可．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，
根据题意，得x(x+5)=6(x+x+5)，
即x2−7x−30=0，
解得x =10，x =−3（不合题意，舍去）．
1 2
∴x+5=15．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
1
（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为 m 个月，
2
1
由题意得，100m+（100+50） m≤1500，
2
4
解得：m≤8
7
∵施工时间为整数，
∴m≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意
设出未知数列出方程及不等式求解．
【变式6-3】（23-24九年级·云南·期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔
的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份
到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：2250(1+x) 2=3240，
解得：x =0.2=20%，x =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设增加x条生产线．
(900−30x)(x+1)=3900，
解得x =4，x =25（不符合题意，舍去），
1 2
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
【题型7 行程问题】
【例7】（23-24九年级·重庆万州·期中）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建
设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行
时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
1
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 m小时，求m的值．
10
【答案】（1）1600；（2）20．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时
速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出
等式组成方程组求出即可；
1
（2）根据题意得出：(80+120)(1−m%)(8+ m)=1600进而求出即可．
10
8(120+x)= y
【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：{ ，
(8+16)x=320+ yx=80
解得：{ ，
y=1600
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
1
（2）由题意可得出：(80+120)(1−m%)(8+ m)=1600，
10
解得：m =20，m =0（不合题意舍去），
1 2
答：m的值为20．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若
返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分
钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他
整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热
量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡
路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分
钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列
出方程即可求解．
【详解】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
x+200 x
= ，
25 25−2.5
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y=52，y=﹣2（舍去）．
1 2
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝
天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的A停车场
后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25
倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲
1
开车的平均速度快m千米/小时(m>0)，乙开车时间比甲开车时间少 m小时；乙步行的平均速度比甲步
24
1 1
行的平均速度快 m千米/小时，乙步行了 小时后到达目的地，求m的值．
4 3
【答案】(1)甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；
(2)4．
【分析】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先将车
开到距离自己家50千米的A停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时．列出分式方程，解方程
即可；
（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米．列出一元二次方程，解之取
其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和
一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，
50 1
由题意得： + =1.5，
25x x
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
∴25x=25×2=50，
答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；
( 1 )
（2）由（1）可知，甲开车的时间为50÷50=1小时)，则乙开车的时间为 1− m 小时，
24
( 1 )
由题意可知，乙开车的速度为(50+m)千米/小时，乙步行的速度为 2+ m 千米/小时，
4( 1 ) 1( 1 )
由题意得：(50+m) 1− m + 2+ m =46，
24 3 4
整理得：m2+24m−112=0，
解得：m =4，m =−24(不符合题意，舍去)，
1 2
答：m的值为4．
【变式7-3】（23-24九年级·重庆丰都·阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人
同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比
小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始
前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量
就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少
分钟．
【答案】(1)480m/min；400m/min
(2)70min
【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系
式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解．
（2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最
后求解．
【详解】（1）解：设小红的速度为xm/min，则小明的速度为1.2xm/min，
12000 12000
依据题意列方程得， − =5，
x 1.2x
∴12000×1.2−12000=5×1.2x，
∴x=400，
经检验，x=400是原式方程的解．
∴1.2×400=480m/min．
∴小红的速度为400m/min，小明的速度为480m/min．
故答案为：480m/min；400m/min．
（2）解：∵小明的速度为480m/min，
∴小明从A地道B地需要的时间为：12000÷480=25min．
∵小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，∴30−25=5min．
设B地到C地的距离为xm，依据题意列方程得，
(x−480×5) ( x−480×5)
30×10+ × 10+ =2300
480 480
( x ) ( x )
∴300+ −5 × 10+ −5 =2300，
480 480
( x ) ( x )
∴ −5 × +5 =2000，
480 480
x2
∴ −25=2000，
4802
( x ) 2
∴ =2025，
480
∴x=21600或x=−21600（舍去）．
21600+12000
∴A地到C地所需要时间为： =70min．
480
故答案为：70min．
【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关
系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间．
【题型8 图表信息问题】
【例8】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以
每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销
量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低
x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游
纪念品共获利9000元．
（1）填表（结果需化简）
第二
时间 第一周 清仓时
周
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．
【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量；
（2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可．
【详解】解：（1）填表（结果需化简）
时间 第一周 第二周 清仓时
单价（元） 80 80-x 40
销售量（件） 200 200+10x 400-10x
故答案为：80-x，200+10x，400-10x；
（2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000，
x2-20x+100=0，
解得：x=x=10，
1 2
当x=10时，80-x=70．
答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的
关键．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城
市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每
月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取
水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少
元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月
用水量（吨） 交水费总金额（元）
份
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析;
【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a
（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；【详解】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3或a=2，
综上，规定用水量为3吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
【变式8-2】（23-24九年级·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行
动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写
照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日
10月8日 10月11日 10月12日
期
发布次
第1次 第2次 第3次
数
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每
次累计票房增长的百分率）❑ 2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结÷单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
依题意得：10(1+x) 2=12.1，
解得：x =0.1=10%，x =−2.1（不符合题意，舍去）．
1 2
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：[1000000000×(1+10%)−1000000000)÷40=[1100000000−1000000000)÷40
=100000000÷40
=2500000（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或1000000000×10%÷40=100000000÷40=2500000（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
【变式8-3】（23-24九年级·江苏苏州·期中）某旅行社一则旅游消息如下：
旅游人数 收费标准
不超过10人 人均收费2400元
超过10人 每增加一人，人均收费减少60元，但人均收费不低于1500元
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社12000元和24000元，甲公司员工有__________
人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社36000元，乙公司员工多少人？
【答案】(1)15；
(2)乙公司20人．
【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超
过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案；
（2）设乙公司员工x人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均
收费减少60元，列出方程，求出x的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数．
【详解】（1）解：设甲公司有x人，
12000÷2400+24000÷2400，
=10+5，
=15（人）．
故答案为：15
（2）设乙公司x人，
[2400−60(x−10))x=36000，
x =20，x =30，
1 2
若x=30，每人费用：2400−60×20=1200<1500，不符舍去，若x=20，每人费用：2400−60×10=1800>1500，符合，
答：乙公司20人．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键．
【题型9 古文问题】
【例9】（23-24九年级·湖南怀化·期中）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多
二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长
多少数，谁人算出我佩服．”聪明的你认为竿长为（ ）
A．2尺 B．10尺 C．2尺或10尺 D．无法确定
【答案】B
【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为(x−4)尺，高为(x−2)尺，对角线长为x尺，然后
根据勾股定理列出方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出
各个边的长度以及勾股定理的应用．
【详解】解：设竿长为x尺，
由题意得，(x−2) 2+(x−4) 2=x2．
解这个方程，得x =2，x =10，
1 2
当x=2时，x−2=0，x−4=−2（舍去）
∴x=10．
答：竹竿有10尺．
故选：B
【变式9-1】（23-24九年级·北京西城·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池
方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如
果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多
少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，
CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝ 尺，EB＝ 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．【答案】（1）1，5；（2）芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【分析】（1）根据DE是芦苇高出水面部分，EB是水面边长的一半，直接写出答案即可；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意：DE是芦苇高出水面部分，即DE=1尺，EB是水面边长的一半，即：EB=5
尺，
故答案是：1，5；
（2）设芦苇长x尺，则水的深度为（x-1）尺，
根据题意得：(x−1) 2+52=x2，解得：x=13，
13-1=12（尺），
答：芦苇长13尺，则水的深度为12尺．
【点睛】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关
键．
【变式9-2】（23-24九年级·安徽六安·期末）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行
率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地
点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段
后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
【答案】36
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4t步，
甲斜向北偏东方向走了(6t−10)步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将
其正值代入4t中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了4t步，甲斜向北偏东方向走了(6t−10)步，则
依题意得：102+(4t) 2=(6t−10) 2，
整理得：20t2−120t=0，
解得：t =6,t =0（不合题意，舍去），
1 2∴4t=4×6=24．
故甲走的步数是36．
故答案为：36．
【变式9-3】（23-24九年级·北京海淀·期中）阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国
南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲
先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它
的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
(1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长
为 步；
(2)中间小正方形的面积为 平方步；
(3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
(4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽．
【答案】(1)60
(2)144
(3)(60−2x) 2
(4)(60−2x) 2=144；矩形田地的宽为24步
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用：
（1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解；
（2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解；
（3）设矩形田地的宽为x步，则长为(60−x)步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式
即可求解；
（4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程．
【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步，
∴大正方形的边长为 60步；
故答案为：60（2）解：中间小正方形的面积为602−864=144平方步；
故答案为：144
（3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为(60−x)步，
∴小正方形的边长为60−x−x=(60−2x)步，
∴小正方形的面积为(60−2x) 2平方步；
（4）解：由②③可得关于x的方程：(60−2x) 2=144．
∴x =24,x =36(舍去) ，
1 2
∴x=24
答：矩形田地的宽为24步．
【题型10 动点问题】
【例10】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，
Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米秒的速度向D移动，当有
一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，问：
(1)当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
(2)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰三角形．
6−❑√5 6+❑√5
【答案】(1)t = ，t = ；
1 3 2 3
3+❑√7 3−❑√7 6
(2)t= ， ， ．
2 2 5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作QE⊥AB于E，则四边形BCQE是矩形，在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6−3t) 2+4=9，解方
程，即可求解；（2）当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6−3t) 2+4=(6−t) 2，解方
1
程，即可求解．当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，可得2t= (6−t)，解方程，即可求解．
2
【详解】（1）解：如图1，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°,
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2，BE=CQ=t，
∵AP=2t，PE=6−2t−t=6−3t，
在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6−3t) 2+4=9，
6−❑√5 6+❑√5
解得：t = ，t = ，
1 3 2 3
6−❑√5
当t = 时，图（1）满足，
1 3
6+❑√5
当t = 时，图（2）满足，
2 3
6−❑√5 6+❑√5
综上所述：t = ，t = ；
1 3 2 3
（2）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°,∵∠B=∠C=90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE=BC=2，BE=CQ=t，
∵AP=2t，PE=6−2t−t=6−3t，DQ=6−t，
∵PQ=DQ，
∴PQ=6−t，
在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6−3t) 2+4=(6−t) 2，
3+❑√7 3−❑√7
解得：t = ，t = ，
1 2 2 2
如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，
1
∴DE=QE= QD，∠PED=90°．
2
∵∠A=∠ADE=90°，
∴四边形ADEP是矩形，
∴AP=DE,
∵DQ=6−t，
1
∴DE= (6−t)．
21 6
∴2t= (6−t)，解得：t= ；
2 5
3+❑√7 3−❑√7 6
综上所述：t= ， ， ．
2 2 5
【变式10-1】（23-24九年级·湖南永州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点
A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速
度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为ts．
(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)2t，(5−t)
(2)t =0，t =2；
1 2
(3)当t=2时，四边形APQC的面积等于9cm2．
【分析】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用，
再解答时要注意所求的解使实际问题有意义．
（1）根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP．再用AB−AP就可以求出PB的值；
（2）在Rt△PBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值．
【详解】（1）解：由题意，得BQ=2tcm，PB=(5−t)cm．
故答案为：2t，(5−t)；
（2）解：在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+(5−t) 2=25，
解得：t =0，t =2；
1 2
2t(5−t)
（3）解：由题意，得 =6，
2
解得：t =2，t =3（不符合题意，舍去），
1 2∴当t=2时，△PBQ的面积等于6cm2．
1
四边形APQC的面积=S −S = ×5×6−6=9(cm2)．
ΔABC ΔPBQ 2
答：当t=2时，四边形APQC的面积等于9cm2．
【变式10-2】（23-24九年级·海南海口·阶段练习）如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形．动点P和
动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着△ABC逆时针运动，已知动点P的速度为1cm/s，动点Q的速度
为2cm/s．设动点P、动点Q的运动时间为ts．
(1)当t为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形的面积为8❑√3cm？
【答案】(1)t=20
(2)t为6或2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直
角三角形的性质等知识点；
（1）根据题意得方程2t=20+t，即可求出答案；
（2）有3种情况①如图1，过Q作QH⊥BC于H，得到CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，求出QH的
长，根据三角形的面积公式即可求出t的值；②如图2，与①类似即可求出t的值；③如图3：
1 ❑√3
CQ=30−2t，CP=t−10，CH= (t−10)，PH= (t−10)，得到方程的解不符合Q在BC上，综合
2 2
上述得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：2t=20+t，
解得：t=20，
答：当t为20时，两个动点第一次相遇．
（2）解：△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴∠C=60°，
有3种情况：①如图1，过Q作QH⊥BC于H，CQ=2t，∠HQC=30° CH=t QH=❑√3t，
， ，由勾股定理得：
1
由三角形面积公式得： (10−t)⋅❑√3t=8❑√3，
2
解得：t=2，t=8(舍去)；
②如图2，
BQ=20−2t CP=10−t QH=(10−t)❑√3
， ， ，
1
由三角形面积公式得： (10−t)(10−t)❑√3=8❑√3，
2
解得：t=6或t=14，
当t=14时，Q在BC上，舍去，
∴t=6；
③如图3：
1 ❑√3
CQ=30−2t，CP=t−10 CH= (t−10) PH= (t−10)
2 2
， ， ，
1 ❑√3
∴ (30−2t)⋅ (t−10)=8❑√3，
2 2
此方程无解；
∴t的值是6，2，
答：从出发到第一次相遇这一过程中，当t为6或2时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为8❑√3cm2．
【变式10-3】（23-24九年级·上海·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，点P从A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以
每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间
为t秒．
3
(1)求证：当t= 时，四边形APQD是平行四边形；
2
(2)PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
(3)若△DPQ是以PD为腰的等腰三角形，求t的值．
【答案】(1)见解析
(2)当t=3秒时，PQ平分对角线BD
12
(3)若△DPQ是以PD为腰的等腰三角形，t的值为
7
【分析】（1）由题意可得当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，即可得
3
BP=12−3t，DQ=6−t，由t= ，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四边形APQD是平行
2
四边形；
（2）首先连接BD交PQ于点E，若PQ平分对角线BD，则DE=BE，易证得△DEQ≌△BEP，继而可得
四边形DPBQ为平行四边形，则可得6−t=12−3t，解此方程即可求得答案．
（3）分两种情况：①当PQ=PD时，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB与E，如图所示：
1
则DN=QM，AN=BE= (AB−CD)=3，ME=CQ=t，得出PN=AP−AN=3t−3，
2
PM=BP−BE−ME=9−4t，由PN=PM得出方程，解方程即可；
②当PQ=DQ=6−t时，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
12 6
【详解】（1）证明：∵ < ，
3 1
∴当t=4秒时，两点停止运动，在运动过程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12−3t，DQ=6−t，3 3 9 3 9
当t= 时，DQ=6− = ，AP=3× = ，
2 2 2 2 2
∴AP=DQ
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AP∥DQ，
∴四边形APQD为平行四边形；
（2）解：PQ能平分对角线BD，当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
理由如下：
连接BD交PQ于点E，如图1所示：
若PQ平分对角线BD，则DE=BE，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△DEQ和△BEP中，
¿，
∴△DEQ≌△BEP(AAS)，
∴DQ=BP，
即四边形DPBQ为平行四边形，
∴6−t=12−3t，
解得t=3，符合题意，
∴当t=3秒时，PQ平分对角线BD．
（3）解：分两种情况：
①当PQ=PD时，作DN⊥AB于N，QM⊥AB于M，CE⊥AB与E，如图2所示：1
则DN=QM，AN=BE= (AB−CD)=3，ME=CQ=t，
2
∴PN=AP−AN=3t−3，PM=BP−BE−ME=9−4t，
∵PQ=PD，
∴PN=PM，
∴3t−3=9−4t，
12
解得：t= ；
7
②当PD=DQ=6−t时，由勾股定理得：PD2=DN2+PM2=42+(9−4t) 2，
∴42+(9−4t) 2=(6−t) 2，
整理得：15t2−60t+61=0，
解得Δ<0，方程无解；
12
综上所述：若△DPQ是以PD为腰的等腰三角形，t的值为 ．
7
【点睛】此题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判
定与性质、解方程．注意掌握方程思想与数形结合思想的应用是解题的关键．
