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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 04 练 基本不等式（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．
【答案】C
【分析】已知函数 ，且 ，符合基本不等式的条件，根据基本不等式即可求和的最小值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
故选：C.
2．（2023·陕西渭南·统考一模）已知 ，则 取得最小值时 的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解.
【详解】 ，则 ，当且仅当 ，
即 时等号成立.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 有（ ）
A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4
【答案】C
【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为 ，
所以 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ， ，即 有最大值 ，
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 是各项均为正数的等差数列，且 ，则 的最
大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到 ，用基本不等式求最值.
【详解】∵ ，∴ ，
由已知，得 ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】将原式整理为 ，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ，所以 ，
，当且仅的 ，即 时等号
成立.
故选：A.6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件得到 ，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：C
7．（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值
是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由 得 ，巧用常数的关系即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，则
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
故选：C.
二、多选题
8．（2023春·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）已知第一象限内的点 在直线
上，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】首先根据题意得到 ，且 ， ，再利用基本不等式和二次函数的性质依次判断选项
即可.
【详解】依题意，有 ，且 ， .
对选项A，因此 ，
当且仅当 ， 时，等号成立.故选项A正确；
对选项B， .
因为 ，所以 ，故选项B错误；
对选项C，因为 ，所以 ，
故选项C错误，
对选项D， ，故选项D正确.
故选：AD
9．（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在
《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被
数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若 ，则下面结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 有最小值
C．若 ，则
D．若 ，则 有最大值1【答案】ABD
【分析】利用不等式性质判断A；利用“1”的妙用计算判断B；确定b的取值范围，求出 范围作答；
利用均值不等式计算判断D作答.
【详解】对于A， ，则 ，即 ，A正确；
对于B， ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，B正确；
对于C， ，由 得： ，有 ，则 ，C不正确；
对于D， ， ，则 ，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：ABD
10．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）若 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． B．若 ，则
C． 的最小值为1 D．若 ，则 的最小值为
【答案】AB
【分析】根据基本不等式，求解判断各个选项即可.
【详解】由基本不等式可得，当 时，有 ，当且仅当 ,即 时，
等号成立；当 时， ，所以A项正确；
因为 ，则 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，即 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍去），所以 ，所以 ，B项正确；
因为 ，所以 ，
当且仅当 ， 无解，所以该式取不到1，C项错误；
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立，D项错误.
故选：AB.
三、填空题(共0分
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中，点E，F分别在棱 ， 上，且
．若 ， ， ，则 的最小值为__________．
【答案】2
【分析】建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，表示出 ， ，根据垂直得到
，即可得到 ，再分 和 两种情况讨论，最后利用基本不等式计算可得．
【详解】解：以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直
角坐标系 ，则 ，设 ， ， ， ，则 ， ．
因为 ，所以 ，即 ，化简得 ．
当 时，显然不符合题意
当 时 ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故 的最小值为 ．
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为_______________．
【答案】
【分析】令 ，则 ，则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
故 的最大值为 ．故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是______．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】由于 ， ，所以 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
14．（2023·上海·统考模拟预测）已知正实数a、b满足 ，则 的最大值为_______________．
【答案】
【分析】由 ，代入即可得出答案.
【详解】 ，
当且仅当“ ”，即 时取等，
所以 的最大值为 .
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）．A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解.
【详解】解：已知 ，且xy+2x+y=6，
y=
2x+y=2x+ =2(x+1) ，当且仅当 时取等号，
故2x+y的最小值为4.
故选:A
2．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）非零实数 满足 成等差数列，则 的最
小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据 成等差数列，可将 用 表示，再将所求化简，利用基本不等式即可得解.
【详解】因为 成等差数列，
所以 ，
所以 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 .
故选：B.
3．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知圆 关于直线
对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.
【详解】圆 的圆心为 ，依题意，点 在直线 上，
因此 ，即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先根据对数的运算得 ，再利用基本不等式求解．
【详解】由正数 ， 满足 ，得 ，
所以 ， ，结合 ， ，得 ，所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号，
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，
“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有
伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木
板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 满足 ，则这块四边形木板周长的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为 .
设截得的四边形木板为 ，设 ， ， ， ， ， ，如下图所示.由 且 可得 ，
在 中，由正弦定理得 ，解得 .
在 中，由余弦定理，得 ，
所以， ，
即 ，可得 ，当且仅当 时等号成立.
在 中， ，
由余弦定理可得
，
即 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为 .
故选：D.
二、多选题
6．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 的最小值为
B．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是3
C．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最大值是4
D．若实数a，b满足 ，且 ，则 的最小值是1
【答案】BD
【分析】结合均值不等式求解.
对A， ，调整式子；对B， ，“1”的妙用；
对C， ，组成不等式求解；
对D，令 ，则 .
【详解】对A， ，函数 ，
当且仅当 ，即 时取等号，即函数 的最大值为 ，A错；
对B， ，且 ，则
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，则 的最小值是3，B对；
对C， ，且 ，∴ ，即 ，解得
，当且仅当 时取等号，C错；
对D， ，且 ，令 ，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时取等号，D对.
故选：BD
7．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．【答案】BD
【分析】设 ，可得 与 之间的等式关系，再用换底公式进行变形，可得 分子
相同，通过化简 ，判断正负，即可判断A；同理可判断 大小，即可判断B；分别化简 ，
即可判断C；对 进行化简，用对数运算法则，展开后，再用基本不等式即可判断D.
【详解】解：取 ，所以有 ，则 ，
则 ，
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项A错误；
因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，故选项B正确；
因为 ，
故选项C错误；
因为
，
当且仅当 时取等，显然等号不成立，
故 ，故选项D正确.
故选：BD
三、填空题8．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知正实数 满足 ，
则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】构造函数 ，利用单调性可得 ，再利用均值不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 是正实数，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
9．（2023·江西鹰潭·统考一模） 的内角 的对边分别为 ，若 ，
且A为锐角，则当 取得最小值时， 的值为___________．
【答案】
【分析】根据正弦定理将表达式边化角变形，结合正弦和角公式即可求得 ，结合同角三角函数关系式
求得 ，代入余弦定理表示出 ，代入 中由基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时 关
系，进而求得 的值.
【详解】由正弦定理将 变形可得
，即 ，
由 可得 ，
而 是锐角，所以 ，
则由余弦定理可得 ，
则 ，
当且仅当 时， 取得最小值 ，
故 ，故 ，
所以 .
故答案为:
10．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）平面四边形 中， ，
， ， ， ，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ，
， ，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】过点 作 于 点，以点 为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知得出点以及向量
的坐标，根据 ，得出 ，然后根据基本不等式“1”的代换，即可得出答案.
【详解】过点 作 于 点.
因为 ， ，
所以 ， ， .如图，以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以， ， ， ， ，
所以， ， ，
所以， ， .
因为 ，
所以有 ，
所以 ，所以 ，
所以， ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故答案为： .
四、解答题
11．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac ；
（Ⅱ） .
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.【详解】（Ⅰ）由 ， ， 得：
，
由题设得 ，
即 ，
所以 ，即 .
（Ⅱ）因为 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 .
本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:
“一正二定三相等”.
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若 ，且 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最小值为16 D． 没有最小值
【答案】A
【分析】先将题意整理成 ，然后利用基本不等式可得到
，最后检验 是否成立即可
【详解】由 ，得 .
因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
由 得 ,
设函数 ，
则由 ，得 在 上至少一个零点，
此时 ，故存在 ，使得不等式 中的等号成立，
故 的最小值为 .
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验 是否成立，需要构造
，并结合零点存在定理进行验证
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，正实数a,b满足 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出 之间的关系可求.
【详解】 ，
故函数 关于 对称，又 在 上严格递减；
即当且仅当 时取得.
故选：B.
二、多选题
3．（2023·浙江·校联考三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，利用条件构造 ，比值换元将问题转化为单变
量函数求值域问题；
对于C、D选项，构造函数 通过分析单调性判断即可.
【详解】∵ ，∴
∴
令 ，因为 ，所以 ，
即 ，则
当 时， ；
当 且 时，令 ，
则综上 ， ，即B正确；
又因为 ，所以
令 ，
显然 在 上单调递增， ）的零点y满足
∴ ，解得 .
所以要证 ，即证
因为 在 上单调递增，所以即证
而
所以 成立，即 成立，C正确
因为 ，所以当 时， ，AD错误.
故选：B、C．
4．（2023·全国·高三专题练习）设正数 满足 ，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，由基本不等式推论可判断选项；对于B，利用分解因式结合A分析可判断选项；对于C， ，利用基本不等式可判断选项；对于D，
，利用基本不等式可判断选项.
【详解】对于A，由基本不等式推论有 ，当且仅当 取等号.故A正确.
对于B， ，由A分析可知
，则 ，当且仅当 取等号.故B正确.
对于C，
，当且仅当 ，即
时取等号.故C正确.
对于D，
，
当且仅当 ，即 时取等号.故D正确.
故选：ACD
三、填空题
5．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线上，且满足 ，设弦 的中点M到y轴的距离为d，则 的最小值为__________．
【答案】1
【分析】设 ,利用余弦定理表示出 ，利用抛物线定义结合梯形中位线性
质表示出 ，从而可得 的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案.
【详解】由抛物线 可得准线方程为 ，
设 ，由余弦定理可得
,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于 ，
M为 的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线 的距离为 ，
则弦 的中点M到y轴的距离 ，
故 ，
又 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为1，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：本题综合性较强，涉及到余弦定理和抛物线定义以及基本不等式等，解答的关键是
利用抛物线的定义表示出弦 的中点M到y轴的距离，结合余弦定理表示出 的表达式，进而转
化为利用基本不等式求最值问题.
6．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上
的一个动点，直线 分别交 于 两点.设 ，则当 取最小值时，
的离心率为__________.
【答案】 /
【分析】设 ，则 ，设 ，联立
与 的方程根据韦达定理结合条件可得 ，进而得出
，然后根据基本不等式得出 取最小值时 的值，即可根据椭圆离心率的计算得出
答案.
【详解】设 ，则
所以 ，
故可设 ，
则点 坐标满足 ，消去 整理得 ，
故 ，
设 ，
同理可得 ，
得 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
而 ，
故 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时 ，离心率为 .
故答案为： .
四、解答题7．（2023·全国·高三专题练习）设非负实数 满足 ，求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用基本不等式即可求证结果.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 ，
.
当且令当 时，等号成立，
所以 ，即 .
