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第 04 讲 不等式及性质
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔
(2)a－b＝0⇔ .
(3)a－b＜0⇔ .
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔ ；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ ；
(3)可加性：a>b⇔ ； a > b ， c > d ⇒ ；
(4)可乘性： a > b ， c >0 ⇒ ;
a>b>0，c>d>0⇒ ； c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0b>0,0.
(4)0b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
1、【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
2、【2020年新高考1卷（山东卷）】（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且 ， ，则下列不等关系一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·江苏南京·模拟预测）设 、 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
3、若a>1，m＝log (a2＋1)，n＝log (a＋1)，p＝log (2a)，则m，n，p的大小关系是( )
a a a
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数 ，那么下列不等式中一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
考向一 不等式的性质
例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若 ，则下列不等式中正确的有（ ）
A． B． C． D．
变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式2、（多选题）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则C．若 则
D．若 则
变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数 ， ， 满足 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为4
方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略：
(1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成
立的前提条件；
(2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p q和q p是否成立，要注意特殊值
法的应用；
⇒ ⇒
(3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的
方法．
考向二 不等式的比较大小
例2、(1) 已知a，a∈(0，1)，记M＝aa，N＝a＋a－1，则M与N的大小关系是________；
1 2 1 2 1 2
(2) 若a＝，b＝，则a______b；(填“＞”或“＜”)
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与的大小．
变式1、已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
变式2、设a>b>0，试比较与的大小．方法总结：方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、 已知－1 ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引
入对不等式的发展影响深远．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)
若a>b>0，则一下几个不等式中正确的是（ ）A. B. lg > C. D. 2 - >
4、（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）（多选题）已知a，b，c均为非零实数，且 ，则下列不等式中，
一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022·广东佛山·模拟预测）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
6、（2022·广东·华南师大附中三模）（多选题）如果a
