文档内容
专题 01 一元二次方程（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有 ，并且未知数的 的整式方程，叫做一元二
次方程．
细节剖析:
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1） ；（2）含有 未知数；（3）未知数的
最高次数是 .不满足其中任何一个条件的方程都 ，缺一不可.
知识点2：一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元二次
方程的一般形式．其中 是 ， 是 ；bx 是 ，b 是
；c是
细节剖析:
(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；· (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成 ，指明一元二次方程各项系数时注意 .
知识点3：一元二次方程的解：
使 叫做一元二次方程的解，也叫做
.
知识点4：一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一
元二次方程 的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是
一元二次方程 的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程 有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元
二次方程 必有一根为0.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•莱西市期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（ ）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
2．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
3．（2022春•定远县期末）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范
围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4
4．（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
5．（2022春•咸阳月考）对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）
A．2 B． C．﹣ D．
6．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣
4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c
是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则b2﹣4ac＝（2ax+b）2．其中正确的（ ）
0
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
二．填空题
7．（2022春•莱西市期中）要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 ．
8．（2022•兴化市开学）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则 为
．
9．（2022春•蓬莱市期末）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为
．
10．（2022春•滨江区期末）可利用完全平方式（a2±2ab+b2）求某些多项式的最小值．例如，x2﹣2x+2＝
（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2非负性知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．则对
于多项式2x2﹣4x+1，当x＝ 时，有最小值是 ．
11．（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+ ）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，
那么实数k的取值范围是 ．
12．（2021•大庆模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）各项系数满足a+b+c＝0，则此方程
的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当a＝c时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方
程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 个．
13．（2021•黄州区校级自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x，x，且 ，则m＝ ．
1 2
14．（2020•乳山市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b+2020＝ ．三．解答题
15．（2022春•香坊区校级月考）解下列方程：
（1）2（x+1）2＝8； （2）x（x+1）＝3（x+1）； （3）x2+6x﹣16＝0．
16．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
17．（2022春•雨城区校级月考）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求2a+3b+4c的值．
18．（2022春•咸阳月考）我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方
公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．19．（2022春•济南期末）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解
决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
20．（2019秋•襄汾县期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
