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专题 01 一元二次方程（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点1：一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有 一个未知数 ( 一元 ) ，并且未知数的 最高次数是 2( 二次 ) 的整式方程，叫做一元二
次方程．
细节剖析:
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数
是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
知识点2：一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一
元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
细节剖析:
(1)只有当 时，方程 才是一元二次方程；· (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
知识点3：一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做 一元二次方程的根 .
知识点4：一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一
元二次方程 的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程 必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是
一元二次方程 的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程 有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元
二次方程 必有一根为0.
易错题专训
一．选择题
1．（2022春•莱西市期中）用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（ ）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
【易错思路引导】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【规范解答】解：x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣6x＝2，
x2﹣6x+9＝2+9，
（x﹣3）2＝11，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．2．（2022•西宁）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
【易错思路引导】利用Δ的符号求出k的范围．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣ ．
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本题的关键．
3．（2022春•定远县期末）如果关于x的方程（x﹣9）2＝m+4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范
围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m＞﹣4 D．m≥﹣4
【易错思路引导】根据解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【规范解答】解：由题意得：
m+4≥0，
∴m≥﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．
4．（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【易错思路引导】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．
【规范解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x＝﹣1，x＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选
1 2项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，计算Δ的值判断方程根的情况是解题的关键．
5．（2022春•咸阳月考）对于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，则b2a＝（ ）
A．2 B． C．﹣ D．
【易错思路引导】先将等式左边配方，再求值．
【规范解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查配方法的应用，正确配方是求解本题的关键．
6．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣
4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c
是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则b2﹣4ac＝（2ax+b）2．其中正确的（ ）
0
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
【易错思路引导】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【规范解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：x＝ ，
0
∴2ax+b＝± ，
0
∴b2﹣4ac＝（2ax+b）2，
0
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
二．填空题
7．（2022春•莱西市期中）要使代数式3x2﹣6的值等于21，则x的值是 3 或﹣ 3 ．
【易错思路引导】根据题意可得：3x2﹣6＝21，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即
可解答．
【规范解答】解：由题意得：
3x2﹣6＝21，
3x2＝27，
x2＝9，
x＝3，x＝﹣3，
1 2
∴x的值为3或﹣3，
故答案为：3或﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．（2022•兴化市开学）若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个不相等的根分别是2m+1与m﹣7，则 为
．【易错思路引导】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【规范解答】解：由题意得：
2m+1+m﹣7＝0，
∴m＝2，
∴2m+1＝5，
∵ax2＝b（ab＞0），
∴x2＝ ，
∴ ＝（2m+1）2＝25，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题
的关键．
9．（2022春•蓬莱市期末）把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值为 14
．
【易错思路引导】利用配方法把一元二次方程变形，进而求出m、n，计算即可．
【规范解答】解：x2﹣4x﹣8＝0，
移项，得x2﹣4x＝8，
配方，得x2﹣4x+4＝8+4，
∴（x﹣2）2＝12，
∴m＝2，n＝12，
∴m+n＝2+12＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
10．（2022春•滨江区期末）可利用完全平方式（a2±2ab+b2）求某些多项式的最小值．例如，x2﹣2x+2＝
（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2非负性知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．则对
于多项式2x2﹣4x+1，当x＝ 1 时，有最小值是 ﹣ 1 ．
【易错思路引导】利用配方法把代数式变形成偶次方加一个实数的形式，再让偶次方等于 0，求出x的
值，确定此时的最小值．【规范解答】解：2x2﹣4x+1＝2[（x2﹣2x+ ）]＝2[（x﹣1）2﹣1+ ]＝2[（x﹣1）2﹣ ]＝2（x﹣1）
2﹣1，
∴x＝1时，有最小值是﹣1．
故答案为：1；﹣1．
【点评】考查配方法的应用，掌握完全平方公式，会凑完全平方式子是做题关键．
11．（2022•海曙区自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+ ）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，
那么实数k的取值范围是 3 ＜ k ≤ 4 ．
【易错思路引导】根据原方程可得出：①x﹣1＝0，②x2﹣2x+ ＝0；根据根与系数的关系，可求出②
方程的x+x和x﹣x的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．
1 2 1 2
【规范解答】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+ ＝0；
设x2﹣2x+ ＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝ ；
m﹣n＝ ＝ ；
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即 ＜1＜2；
∴ ，解得3＜k≤4．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．
12．（2021•大庆模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）各项系数满足a+b+c＝0，则此方程
的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当a＝c时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方
程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是 3 个．
【易错思路引导】①②通过根的判别式进行判断，③④结合根与系数的关系得结论．
【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）各项系数满足a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c．
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣a﹣c）2﹣4ac
＝a2+2ac+c2﹣4ac＝（a﹣c）2．
当a＝c时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根，故①错②正确；
当a，c同号时，方程两根的积为 ＞0，两根的和为﹣ ＝﹣ ＝ ＞0．
∴方程有两个正的实数根，故③正确；
当a，b同号时，两根的和为﹣ ＜0，∴方程有两个异号实数根，故④正确．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系．掌握根的判别式、根与系数的关系是解决本题的关
键
13．（2021•黄州区校级自主招生）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x，x，且 ，则m＝ ﹣ 3 ．
1 2
【易错思路引导】根据根与系数的关系得出x•x及x+x的值，代入所求代数式得出k的值，再看k的
1 2 1 2
值是否满足△中k的取值范围即可．
【规范解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x，x，
1 2
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x•x＝﹣1；x+x＝﹣m，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程 ax2+bx+c
＝0中，
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②x+x＝﹣ ，xx＝ ．
1 2 1 2
14．（2020•乳山市二模）已知a，b是方程x2﹣x﹣4＝0的两个实数根，则a2﹣2a﹣b+2020＝ 202 3 ．【易错思路引导】先根据根与系数的关系得a+b＝1．ab＝﹣4，再根据a是方程实数根，得a2﹣a＝4，
再把原代数式拆项，最后把有关的数值代入计算即可．
【规范解答】解：根据题意得a+b＝1．ab＝﹣4，
把x＝a代入x2﹣x﹣4＝0，得a2﹣a＝4，
∴a2﹣2a﹣b+2020
＝a2﹣a﹣a﹣b+2020
＝4﹣1+2020
＝2023．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用
的解题方法．
三．解答题
15．（2022春•香坊区校级月考）解下列方程：
（1）2（x+1）2＝8；
（2）x（x+1）＝3（x+1）；
（3）x2+6x﹣16＝0．
【易错思路引导】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）2（x+1）2＝8，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
x＝1，x＝﹣3；
1 2
（2）x（x+1）＝3（x+1），
x（x+1）﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
x+1＝0或x﹣3＝0，
x＝﹣1，x＝3；
1 2
（3）x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
x+8＝0或x﹣2＝0，
x＝﹣8，x＝2．
1 2【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是
解题的关键．
16．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
【易错思路引导】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答；
（2）利用根与系数的关系和已知可得 ，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算
即可解答．
【规范解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题
的关键．
17．（2022春•雨城区校级月考）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求2a+3b+4c的值．
【易错思路引导】先将等式左边配方，找到a，b，c的值即可．
【规范解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，
∴a2+ b2﹣ab+ b2﹣3b+3+c2﹣2c+1＝0．
∴ + （b﹣2）2+（c﹣1）2＝0．∵ ≥0， （b﹣2）2≥0，（c﹣1）2≥0．
∴a﹣ b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝1．
∴2a+3b+4c＝2+6+4＝12．
【点评】本题考查配方法的应用，正确配方是求解本题的关键．
18．（2022春•咸阳月考）我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方
公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x ﹣ 2 ）2+ 1 ；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【易错思路引导】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小．
【规范解答】解：（1）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案为：﹣2，1．
（2）2x2+4x＝2（x2+2x+1﹣1）＝2（x+1）2﹣2，
∵2（x+1）2≥0，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
【点评】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
19．（2022春•济南期末）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解
决很多数学问题．下面给出两个例子：例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【易错思路引导】（1）仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答；
（2）仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答；
（3）利用配方法可得（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，再利用偶次方的非负性可求出a，b的值，然后利用三
角形的三边关系求出c的最大值，进行计算即可解答．
【规范解答】解：（1）m2﹣6m﹣7
＝m2﹣6m+9﹣9﹣7
＝（m﹣3）2﹣16
＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）
＝（m+1）（m﹣7）；
（2）2x2+y2﹣8x+6y+20
＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11
＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11
＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3，
∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；（3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∵4﹣3＜c＜4+3，
∴1＜c＜7，
∵c为正整数，
∴c最大取6，
∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，
∴△ABC周长的最大值为13．
【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
20．（2019秋•襄汾县期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2+4≥4
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 完全平方公式 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
【易错思路引导】（1）根据完全平方公式解答；
（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据三角形的三边关系计算，
得到答案；
（3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【规范解答】解：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）a2+b2＝10a+8b﹣41，
a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0．
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9；
（3）原式＝﹣2x2+4xy﹣2y2﹣y2﹣6y﹣9+16
＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16，
∵﹣2（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0，
∴多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值是16．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键
