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专题 21.12 一元二次方程（全章常考核心知识点分类专题）（基础
练）
考点目录：
【考点1】一元二次方程的定义；
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
一、选择题
【考点1】一元二次方程的定义；
1．若 是一元二次方程，则 的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
2．将一元二次方程 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C． D．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
3．已知m是方程 的一个根，则代数式 的值为（ ）
A．2024 B．2023 C．2021 D．20204．已知关于x的一元二次方程 的两个根分别为 ，3，则方程
的两个根分别为（ ）
A． ，3 B． ，3 C． ，2 D． ，2
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．若 ，则 等于（ ）
A．4 B． C． D． 或4
6．用配方法解一元二次方程 配方后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
7． 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
8．关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D． 和2
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
9．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
10．若分式 的值为零，则x的值为( )
A．3 B．3或-3 C．-3 D．0
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；11．已知 ，则比较P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．问题：聪明的你知道代数式 的最小值为多少吗？解：因为
，又因为 ，所以 ，所以
的最小值为1．请用上述方法，解决代数式 的最小值为（ ）
A．3 B． C．6 D．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
13．关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
14．已知一元二次方程 ，当 时，方程有两个相等的实数根，则下列结论
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
15．设a，b是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
16．已知a，b是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A．19 B．20 C．14 D．15
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
17．已知方程 有两个同号的实数根，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
18．关于x的方程 有两个相等的实数根，且满足 ，则m的值为（ ）
A． 或3 B． C．3 D． 或1
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；19．已知正方形 的两邻边 ， 的长度恰为方程 的两个实数根，则正方形
的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
20．四边形 中， ，且 ， 长是关于x的方程 的两个实数根，
则四边形 是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．平行四边形或梯形
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
21．我校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年
近视学生人数的75%.设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ）
A． B．
C． D．
22．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，
每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价
应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价 元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
23．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为 的墙，另外三边用 长的篱笆围成．为方便
进出，在垂直于墙的一边留一个 宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为 ，若花圃的面积为 ，
所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．24．如图，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段 上（不与点A、
B重合），过点P分别作 和 的垂线，垂足为C，D．当矩形 的面积为4时，点P的坐标为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点13】一元二次方程一次函数问题.
25．在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于x的方程 的实根的个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
26．若关于x的一元二次方程 有实数根，则直线 一定不经过第几象限
（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
二、选择题
【考点1】一元二次方程的定义；
27．一元二次方程 化为一般形式是 ．
28．若 是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）；
29．已知 是方程 的一个根，求 ．
30．已知 为方程 的根，那么 的值为
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；31．方程 的一个较小的根为 ．
32．把关于 的一元二次方程 配方，得 ，则 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．方程 的根是 ．
34．已知 满足 ，则关于 的方程 的解是
【考点5】可化为一元二次方程的无理方程和分式方程；
35．如果方程 ，那么 ．
36．无论x取何值，分式 总有意义，则m的取值范围是 ．
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
37．已知代数式 ，则A的最小值为 ．
38．已知 ，求 ．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
39．已知一次函数 的图像不过第三象限，则方程 的根的个数为 ．
40．若关于x的一元二次方程 有两个不等实数根，则k的取值范围是 ．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
41．若a，b是一元二次方程 的两个根，则 ．
42．已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．一元二次方程 和 所有实数根的和为 ．
44．若关于 的一元二次方程 的两个实数根的差等于2，则实数 的值是 ．
【考点10】韦达定理与根的判别式求特殊几何图形中的值；45．已知平行四边形 的两条邻边长 ， 的长分别是关于x的方程 的两个实
数根，当 时，四边形 是菱形．
46．平行四边形两邻边长分别为 的两根，则其周长为 ．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售
价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
48．香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的
丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售 120件，每件盈利
200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件.
如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．一条长 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于 ，其中较小
正方形的边长为 ．
50．如图，在矩形 中， ， ，点P从点A开始沿边 向终点B以 的速度
运动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度运动．若点P，Q同时出发，当点Q
运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为 ．当五边形 的面积等于 时，t的值为
．
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
51．如图，点 的坐标为 ，直线 与坐标轴交于点 ， ，连接 ，如果 ，则 ．
52．若方程 能配方成 的形式，则直线 不经过的象限是 ．参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫
做一元二次方程，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ 是一元二次方程，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据 的二次项系数和一次项系数分别是
，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴二次项系数和一次项系数分别为
故选：D
3．A
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值．由方程根的定义得到 ，整体代入
即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
4．C
【分析】根据方程 的两个根分别为 ，3，得到 ，或 ，即可求解，本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解．
【详解】解：∵ 的两个根分别为 ，3，
∴ 中， ，或 ，
解得： 或 ，
故选：C．
5．D
【分析】用直接开方法求解即可，
本题考查了，直接开方法解一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握直接开方法．
【详解】解：∵
∴
∴ 或 ，
∴ 或 ，
故选： ．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到
结果，即可做出判断．
【详解】解： ，
移项得： ，
配方得： ，
整理得： ，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解
一元二次方程的一般步骤为： 把方程化成一般形式，进而确定 ， ， 的值； 求出 的值
（若 ，方程无实数根）； 在 的前提下，把 的值代入公式进行计算求出方
程的根，解题的关键是掌握去根公式．【详解】解： 、 中， ，不合题意；
、 中， ，不合题意；
、 中， ，不合题意；
、 中，x ，符合题意；
故选： ．
8．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了解无理方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程和能把无理方程转化成有理
方程是解此题的关键．
先把方程两边平方得出 ，整理后根据根的判别式即可判断选项A；移项后两边平方，即可判断选项
B；方程两边都乘 求出 ，再进行检验，即可判断选项C，方程两边平方得出 ，求出方程
的解，再进行检验，即可判断选项D．
【详解】解：A． ，
两边平方得： ，整理得： ，
，
所以方程无实数根，故本选项不符合题意；
B． ，
，
两边平方得： ，
即 ，
即原方程无实数根，故本选项不符合题意；
C． ，
方程两边都乘 ，得 ，
经检验 是增根，
即分式方程无实数根，故本选项不符合题意；
D． ，
两边平方得： ，
即 ，
解得： 或 ，
经检验 不是原方程的解， 是原方程的解，
即方程有实数根，故本选项符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】分式值为零的条件：分子为0且分母不为0时，分式值为零．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，则x=-3
故选C．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式值为零的条件，即可
完成．
11．C
【分析】根据配方法的即可求出答案．【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
12．B
【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．
【详解】解：依题意， ，
∵ ，
∴ ，
∴所以 的最小值为 ，
故选：B．
13．D
【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关
系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到 且 ，即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，且 ，
解得 且 ，
故选：D．
14．C
【分析】利用根的判别式的意义得到△ ，再把 代入得到 ，所以
， ，由于 ，则 ，从而可对各选项进行判断．
【详解】解： 方程有两个相等的实数根，
△ ，
，即 ，
，
，
，即 ，
，
而 ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 的根与△
有如下关系：当△ 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△ 时，方程有两个相等的
两个实数根；当△ 时，方程无实数根．
15．B
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则
， ．也考查了一元二次方程的根．先利用一元二次方程解的定义得到 ，
再根据根与系数的关系得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 是方程 的实数根，
，
，
， 是方程 的两个实数根，
，
．
故选：B．
16．C
【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值，把 与
分别代入方程得到 ， ，根据根与系数的关系得到 ，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a，b是方程 的两根，∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴
故选：C．
17．B
【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，
方程有两个相等的实数根； 时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．
首先根据有两个实数根得到 ，求出 ，然后由两根同号得到 ，求出
，即可求解．
【详解】∵方程 有两个同号的实数根，
∴
解得 ；
∵两根同号，
∴
∴解得
．
故选：B．
18．B
【分析】此题考查根的判别式，根与系数的关系，解题关键在于得到m的方程．根据根与系数的关系
， 解方程；再由方程有两个相等的实数根得出 ，解方程；由相同的解得出结果．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
解得 或 ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得 或
∴综上，
故选B．
19．B
【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.
首先根据正方形的性质得到 ，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，进而求出
，即可得到正方形 的周长．
【详解】∵四边形 是正方形
∴
∵正方形 的两邻边 ， 的长度恰为方程 的两个实数根，
∴ ，
∴
∴正方形 的周长为 ．
故选：B．
20．C
【分析】 、 长是关于x的方程 的两个实数根，即判别式 ，
可得到 与 的关系，再判定四边形的形状．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴ ，
∵ ，∴四边形 是梯形．
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，根据方程根的情况判断 和 的长度关系
是解题的关键．
21．B
【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的 ，即可得出关于 的一元二次方程，此题得
解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，得： ．
故选：B
22．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价 元，根据该款大礼
包每天的销售额达到6000元，列出方程即可．
【详解】解：设该款大礼包每盒降价 元，根据题意得：
，
故选：D．
23．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为 ，则与墙平行的一边长
为 ，根据花圃面积为 即可列出关于 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为 ，则与墙平行的一边长为 ，
根据题意得： ．
故选：A．
24．D
【分析】设 ，根据矩形 的面积为4求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，
由题意可得： ，化简可得：解得 或
即点 的坐标为： 或
故选：D
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了一次函数的性质，解题的关键是理解题意，正确的列出
方程．
25．D
【分析】本题考查根的判别式．根据一次函数不过第一象限，得到 ，再求出判别式的符号，进而得出
结果即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵直线 不经过第一象限，
∴ ，
∵ ，
当 ，方程为一元一次方程，为 ，解得： ；
方程有一个实数根，
当 时，方程为一元二次方程，
∵ ，
∴方程有2个实数根．
故选D．
26．B
【分析】先根据一元二次方程有实数根得到 ，求出 ，即可得到一次函数 的图象经过一、
三、四象限，不经过第二象限．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
∴ 且 ，
∴
∴一次函数 的图象一定不经过第二象限．
故：B．
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程
的根与判别式 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根，当
时，方程有两个相等的实数根，当 时，方程没有实数根．熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键．
27．
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为
的形式即可．
【详解】解： ，
整理，得： ；
故答案为： ．
28．1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项
系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ， ，
解得， ；
故答案为：1．
29．3
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
因为 是方程 的一个根，所以 ，然后把 代入即可．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，
．
故答案为：3．
30．
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得 ，将代数式
变形，整体代入求值即可．
【详解】∵ 为方程 的根，
∴ ，
∴ ，∴原式
．
故答案为： ．
31． /
【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得 ，则易求该方程的两个根，通过比较
即可知该方程的较小的根为 ．
【详解】解：由原方程，得
，
解得， ， ．
，即
，即方程 的一个较小的根为 ．
故答案为： ．
32．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一
半的平方得 ，进而得出 ，即可求解．
【详解】解：
配方，得
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
33． ，【分析】本题考查了解一元二次方程 因式分解法，熟练掌握解一元二次方程 因式分解法是解题的关键．
注意：不要忽视x的取值范围，将方程两边同时除以x，导致漏掉 这个实数根．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
，
或 ，
， ，
故答案为： ， ．
34． ，
【分析】由 可得 ， ，进而可得 ，即可得到方程的解．
【详解】解：∵
∴ ， ，解得 ， ，
则方程变形为 ，整理，得 ，
解得 ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了二次根式、绝对值、解一元二次方程等知识，掌握绝对值和二次根式的意义是解
题的关键．
35．2
【分析】根据解无理方程的解法，即可求解，
本题考查了，解无理方程，解题的关键是：注意验根．
【详解】解： ，
移项，得 ，两边平方，得 ，
整理得 ，
解得 ， ，
检验：当 时，方程左边 右边，则 为原方程的解；
当 时，方程左边 右边，则 不是原方程的解；
所以原方程的解为 ．
故答案为：2．
36．m＞1
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：当x2+2x+m≠0时， 总有意义，
∴△=4-4m＜0，
解得，m＞1
故答案为m＞1．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
37．
【分析】本题考查了配方法的应用；
先利用配方法把代数式配成完全平方式的形式，再根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，即A的最小值为 ，
故答案为： ．
38．
【分析】把原式子化为 ，根据完全平方式的非负性解出x，y，代入求值．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，掌握用配方法把原方程化为非负数的和为0的形式是解题的关
键．
39．1或2
【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由一次函数 的图像不过第三象限，得 ，分类讨论，当 时，方程为一元一次
方程，有1个根；当 时，方程为一元二次方程，根据 判断即可．
【详解】解：∵一次函数 的图像不过第三象限，
∴ ，
当 时， ，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当 时， ，由于 ，
∴ ，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
40． 且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，根
的判别式大于0， “二次项系数不为0”，是解决问题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，
得到 且 ，解不等式即可．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．41．4
【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合
进行解题．由题意可得 ， ，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
∴
；
故答案为：
42．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握 ，
．把 代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，
，整理 ，即可求解．
【详解】解：把 代入原方程得： ，
∴ ，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴；
故答案为：4049．
43．
【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的
前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．根据根与系数的关系可知，两根之和等于 ，两根之积
等于 ，由两个一元二次方程分别找出 ， 和 的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出
所求的值．
【详解】解：由 ，
得到： ， ， ，
，即方程有两个不等的实数根，
设两根分别为 和 ，
则 ；
由 ，
找出 ， ， ，
，
此方程没有实数根．
综上，两方程所有的实数根的和为 ．
故答案为：
44． 或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，设方程的两个根为 ， ，由题意
得： ， ， ，再利用完全平方公式的变形得出 ，求出 的
值，再利用判别式检验即可得出答案．
【详解】解：设方程的两个根为 ， ，
由题意得： ， ， ，
，
，
解得： 或 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，符合题意，
综上所述，实数 的值是 或 ，
故答案为： 或 ．
45．
【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到 ，则根
据根的判别式的意义得到 ，然后解关于m的方程即可解题．
【详解】解：由题可得： ，
则方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
46．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，即可确定出平行四边形的周长．【详解】解：设方程 的两根分别为a，b，
由根与系数关系得：a+b=6，
∵平行四边形两邻边长分别为 的两根，
∴其周长为： ，
故答案为： ．
【点晴】本题考查了根与系数的关系，以及平行四边形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是
解本题的关键．
47．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次
降价的百分率为 ，利用该玩具经过两次降价后的价格 该玩具的定价 每次降价的百分率） ，可列出
关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设每次降价的百分率为 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
每次降价的百分率为 ．
故答案为： ．
48．80
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件
应降价x元，则每件的销售利润为 元，每月可售出 件，利用总利润=每件的销售利润×
月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为 元，每月可售出
件，
根据题意得： ，
整理得：
解得：
又∵要尽快减少库存，∴ ，
∴每件应降价80元．
故答案为：80．
49．4
【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要数形结合，结合图形，设出未知数，然后根据题意列出方程，
利用方程即可解决问题．
本题可设其中一个正方形的边长为 ，则另一个正方形的边长为 ，又因两个正方形的面积和等于
，则可列出方程求解即可．
【详解】解：设一个正方形的边长为 ，
正方形的四边相等，
此正方形的周长是 ，另一个正方形的边长是 ，
根据题意得 ，
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ，
所以另一个正方形的边长为 和 ．
较小正方形的边长为 ．
故答案为：4．
50．3或5/5或3
【分析】根据题意，知 ，则可求出 ，再由 面积为 ，列出方程，解方程
即可．
【详解】解：根据题意，知 ，
，
∵五边形 的面积等于 ，
∴，
矩形 ，
，
，
，
∴3秒或5秒后五边形 的面积等于 ．
故答案为：3或5．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用．利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一
元二次方程是解题的关键．
51．
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得到 点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ， 点的坐标为
，由 ，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解： 直线 与坐标轴交于点 ， ，
点的坐标为 ， ， 点的坐标为 ，
点的坐标为 ， ，
，
， ，
，
即
解得 ， （舍去）．故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关
键．
52．第二象限
【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出 、 的值，再根据
一次函数的图象与系数的关系得出即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
∴
∴直线为 ，
∵
∴图象不经过第二象限，
故答案为：第二象限．
