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专题21.12 因式分解法（直通中考）
【要点回顾】
因式分解法求解一元二次方程的步骤：
（1）把方程的右边化为0；
（2）把方程左边分解因式成两个一次因式乘积的形式；
（3）令每个因式等于0，化为两个一元一次方程的形式；
（4）解这两个一元一次方程，其解就是一元二次方程的解。
一、单选题
1．（2020·四川凉山·统考中考真题）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． ， D． ，
2．（2022·山东临沂·统考中考真题）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022·天津·统考中考真题）方程 的两个根为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东枣庄·统考中考真题）已知y 和y 均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N
1 2 1
和N ，若存在实数n，使得N +N ＝1，则称函数y 和y 是“和谐函数”．则下列函数y 和y 不是“和谐函
2 1 2 1 2 1 2
数”的是（ ）
A．y＝x2+2x和y＝﹣x+1 B．y＝ 和y＝x+1
1 2 1 2
C．y＝﹣ 和y＝﹣x﹣1 D．y＝x2+2x和y＝﹣x﹣1
1 2 1 2
5．（2022·广西贵港·中考真题）若 是一元二次方程 的一个根，则方程的另一个根及m
的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C． ， D． ，0
6．（2021·山东聊城·统考中考真题）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或27．（2021·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这
个菱形的面积为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
8．（2015·贵州安顺·统考中考真题）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，
则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
9．（2021·辽宁丹东·统考中考真题）若实数k、b是一元二次方程 的两个根，且 ，则
一次函数 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的
两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
二、填空题
11．（2021·山东德州·中考真题）方程x2=4x的解 __．
12．（2022·广西梧州·统考中考真题）一元二次方程 的根是_________．
13．（2022·云南·中考真题）方程2x2+1=3x的解为________．
14．（2021·山东济南·统考中考真题）关于 的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根是
__________．
15．（2021·贵州黔西·中考真题）三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程 的根，
则该三角形的周长为 _____.
16．（2021·湖北十堰·统考中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算： ，若
，则x的值为________．
17．（2021·四川遂宁·统考中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下
去，第___个图形共有210个小球．18．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问
题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
三、解答题
19．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值：
，其中x满足 ．
20．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，
请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．21．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）小敏与小霞两位同学解方程 的过程如下框：
小霞：
小敏：
移项，得 ，
两边同除以 ，得
提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
22．（2021·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且k与 都为整数，求k所有可能的值．23．（2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程 （提示：可以用换元法解方程），
解：设 ，则有 ，
原方程可化为： ，
续解：
24．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程
的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点 从点 以每秒 个
单位长度的速度沿 方向匀速运动到点 为止；点 沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点 向点
匀速运动，到点 为止，点 与点 同时出发，设运动时间为 秒
（1）线段 ______；
（2）连接 和 ，求 的面积 与运动时间 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点 的坐标．参考答案
1．D
【分析】首先移项，将方程右边 移到左边，再提取公因式x，可得 ，再根据“两式相乘值为
0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解．
【详解】解： ，
移项得： ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： ， ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本
题运用的是因式分解法．
2．B
【分析】先把方程的左边分解因式化为 从而可得答案．
【详解】解： ，
或
解得：
故选B
【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本题的关键．
3．D【分析】将 进行因式分解， ，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
4．B
【分析】根据题意，令y+y＝1，若方程有解，则称函数y 和y 是“和谐函数”，若无解，则称函数y 和
1 2 1 2 1
y 不是“和谐函数”．
2
【详解】A、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x＝0，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故A不符合题意；
1 2
B、令y+y＝1，
1 2
则 +x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y 和y 不是“和谐函数”，故B符合题意；
1 2
C、令y+y＝1，
1 2
则﹣ ﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，x＝﹣1，
1 2
∴函数y 和y 是“和谐函数”，故C不符合题意；
1 2
D、令y+y＝1，
1 2
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1，x＝﹣2，
1 2∴函数y 和y 是“和谐函数”，故D不符合题意；
1 2
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y+y＝1，然后进行求解是解题的关键．
1 2
5．B
【分析】直接把 代入方程，可求出m的值，再解方程，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意，
∵ 是一元二次方程 的一个根，
把 代入 ，则
，
解得： ；
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的另一个根是 ；
故选：B
【点拨】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．
6．B
【分析】把x=-2代入方程即可求得k的值；
【详解】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程相关知识点，代入解求值是关键．
7．C
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积即可．
【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，则这个菱形的面积为 ×4×6＝12．
故选：C．
【点拨】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
8．B
【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可
求得周长．
【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0
得x＝5或x＝7，
又3＋4＝7，
故长度为3，4，7的线段不能组成三角形，
∴x＝7不合题意，
∴三角形的周长为3＋4＋5＝12．
故选：B．
【点拨】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件．
9．C
【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得．
【详解】∵实数k、b是一元二次方程 的两个根，且 ，
∴ ,
∴一次函数表达式为 ，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．
故选：C．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像．
10．B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的
方法是解题的关键.
11．x=0或x=4
【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为
0．”进行求解．
【详解】解：原方程变为
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x=0，x=4，
1 2
故答案为：x=0或x=4．
【点拨】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键.
12． ，
【分析】由两式相乘等于0，则这两个式子均有可能为0即可求解．
【详解】解：由题意可知： 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，计算细心即可．13．
【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：移项得： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是
解题的关键．
14．-3
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程 得：
，解得： ，
∴原方程为 ，
解方程得： ，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
15．12
【分析】解方程得第三边边长可能的值，代入三角形三边关系验证，进而求出周长即可．
【详解】∵第三边的长是方程 的根，解得x=3或5
当x=3时，由于2＋3=5，不能构成三角形；
当x=5时，由于2＋5>5，能构成三角形；
故该三角形三边长分别为2,5,5，则周长为2＋5＋5=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，利用三角形三边关系验证三边长是否能构成三角形是解决本题的关键．
16． 或2
【分析】根据新定义的运算得到 ，整理并求解一元二次方程即可．
【详解】解：根据新定义内容可得： ，
整理可得 ，
解得 ， ，
故答案为： 或2．
【点拨】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．
17．20
【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n= ，列一元二次方程求解
可得．
【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n= ，
当共有210个小球时，
，
解得： 或 (不合题意，舍去)，
∴第 个图形共有210个小球．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个
数为1+2+3+……+n．
18． 或1 7
【分析】（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验证即可；（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，
∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；
把 代入 得，0=0，成立；
∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等
知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．19．x（x+1）；6
【分析】先求出方程 的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
【详解】解：∵
∴x=2或x=-1
∴
=
=
=
=x（x+1）
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是
解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．
20．（1）＜，＜；（2）①x=-1+ ，x=-1- ；②x=0，x=3；③x=2+ ，x=2- ；④x=-2，
1 2 1 2 1 2 1
x=2．
2
【分析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，据此求解即可；
（2）找出适当的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=± ，∴x=-1+ ，x=-1- ；
1 2
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x=0，x=3；
1 2
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=± ，
∴x=2+ ，x=2- ；
1 2
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x=-2，x=2．
1 2
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公
式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
21．两位同学的解法都错误，正确过程见解析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
【详解】解：
小霞：
小敏：
移项，得 ，
两边同除以 ，得
提取公因式，得 ．
，
则 或 ，
则 ．
解得 ， ．
（×）
（×）
正确解答：
移项，得 ，
提取公因式，得 ，去括号，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
22．（1）见解析；（2）0或-2或1或-1
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与 都为整数，得出k的值；
【详解】解：（1）
∵△=
=
∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵
∴
∴ =0
∴ ， 或 ，
当 ， 时，
∵k与 都为整数，
∴k=0或-2
当 ， 时，∴ ，
∵k与 都为整数，
∴k=1或-1
∴k所有可能的值为0或-2或1或-1
【点拨】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，
方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
23． ， ．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t =-5，t =1，再解方程 ，然后进行检验确定原方
1 2
程的解．
【详解】续解： ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
，
， ，
，
经检验都是方程的解．
【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．
换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
24．（1） ；（2） ；（3）( ， )或( ， )
【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1）解方程 得： (舍去)，
∴AB=6，
∵四边形 是矩形， ，
∴AB=CD=6，BD=2AB=12，
∴BC=AD= ，
∵ ，
∴ ，
故答数为： ；
（2）如图1，过点M作MH⊥BD于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°，
∴MH= MD= ，
∵∠DBC=30°，CN⊥BD，
∴BN= ，
当点P在线段BN上即 时，△PMN的面积 ；
当点P与点N重合即 时，s=0，
当点P在线段ND上即 时，
△PMN的面积 ；
∴ ；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN=PM=9-2t时，则DM= ，MH= DM= ，DH= ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
即 或 ，
则BE= 或BE= ，∴点P的坐标为( ， )或( ， )；
当PN=NM=9-2t时，
∵ ，
∴ ，
解得 或24（不合题意舍去），
∴BP=6，PE= BP=3，BE= PE=3
∴点P的坐标为( ， )，
综上所述：点P坐标为( ， )或( ， ) ．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，
等腰三角形的性质，坐标与图形等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
