专题21.13一元二次方程根与系数的关系（知识梳理与考点讲解）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2024版

专题21.13 一元二次方程根与系数的关系（知识梳理与考点讲解） 【知识点1】一元二次方程根与系数的关系 1、一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 的两个实数根是 ， 那么 .（注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0）. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【例1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ， ；（2） ， 【分析】直接根据根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ，据此求解即可． 解：（1）∵ ∴ ， ； （2）∵ ∴ ， ． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1） ； （2） ． 【答案】（1） ， ；（2） ， ．【分析】将原式整理为一元二次方程一般式，然后根据根与系数的关系： ，求 解即可． 解：（1）原式整理为： ， ∴ ， ∴ ， ； （2）原式整理为： ， ∴ ， ∴ ， ． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2、与一元二次方程两根有关的代数式的变形 与一元二次方程 的两个实数根是 的有关代数式变形，常常有以下几 个结论： x2 x2 (x x )2 2x x ① 1 2 1 2 1 2； 1 1 x x   1 2 x x x  x ② 1 2 1 2 ； x x 2  x2x  x x (x  x ) ③ 1 2 1 2 1 2 1 2 ； x x x2 x2 (x x )2 2x x 2  1  1 2  1 2 1 2 x x x x x x ④ 1 2 1 2 1 2 ； (x x )2 (x x )2 4x x ⑤ 1 2 1 2 1 2； (x k)(x k)  x x k(x x )k2 ⑥ 1 2 1 2 1 2 ； |x x | (x x )2  (x x )2 4x x ⑦ 1 2 1 2 1 2 1 2 ； 1 1 x2 x2 (x x )2 2x x   1 2  1 2 1 2 x2 x2 x2x2 (x x )2 ⑧ 1 2 1 2 1 2 ； x x  (x x )2  (x x )2 4x x ⑨ 1 2 1 2 1 2 1 2 ；| x || x | (| x || x |)2  x2  x2+2| x  x |  (x x )2 2x x 2|x  x | ⑩ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 【例2】设 是一元二次方程 的两个根．求： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系，进行计算即可； （2）根据根与系数的关系，进行计算即可． （1）解：∵ 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ 又∵ ， ∴ ． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系： ， 是解题的关键． 【变式】设 是方程 的两个根．利用根与系数的关系，求 的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，再由，即可求解． 解：∵ 是方程 的两个根， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 ， 是解题的关键． 【知识点2】二次项系数为1的一元二次方程的性质 1、已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数 为根的一元二次方程是 . 2、利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. ax2 bxc0(a0) x x 设一元二次方程 的两根为 1、 2，则 x x 0 ①当△≥0且 1 2 时，两根同号． x x 0 x x 0 当△≥0且 1 2 ， 1 2 时，两根同为正数； x x 0 x x 0 当△≥0且 1 2 ， 1 2 时，两根同为负数． x x 0 ②当△＞0且 1 2 时，两根异号． x x 0 x x 0 当△＞0且 1 2 ， 1 2 时，两根异号且正根的绝对值较大； x x 0 x x 0 当△＞0且 1 2 ， 1 2 时，两根异号且负根的绝对值较大． 【例3】求一个一元二次方程，使它的两根分别为 ， ． 【答案】 （答案不唯一）解：设这个方程为 ∵方程的两个根分别为 ， ， 根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ， 即 ， ，若 ，则 ， ， ∴这个方程可以是： （答案不唯一）． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，掌握一元二次方程根与系 数的关系是解题的关键． 【变式】 【考点一】利用根与系数的关系及方程的解求代入式的值（整体思想） 【例1】若a，b分别是方程 的两根，则 ______________． 【答案】 / 【分析】根据a，b分别是方程 的两根，得出 ， ，将 变形得出 ，然后变形 ，最后代入求值即可． 解：∵a，b分别是方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴． 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是根据一元 二次方程解的定义和根与系数的关系，得出 ， ，注意整体代入思想的应用． 【变式】设a、b是方程 的两实数根，则 ______． 【答案】2022 【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，从而可得 ， ， 再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，从而可得 ，然后代入计算即可得． 解： 是 的两实数根， ， ， ， ， ， 则 ， 故答案为：2022． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的 根与系数的关系是解题关键． 【考点二】已知方程的一个根，利用根与系数关系求另一个根 【例2】已知关于 的方程 的一个根是 ，求方程的另一个根． 【答案】3或2【分析】先将 代入方程求得m的值，设方程的另一个根为 ，再根据根与系数的关系即可解答． 解： 方程 的一个根是 ， ∴可得 ， 解得： ， ， 设方程的另一个根为 ． ∵ ， ， ， 当 时，解得 ， 当 时，解得： ． 综上，方程的另一个根为3或2． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，掌握 能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 【变式】关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若已知此方程的一个根为 ，求m的值以及方程的另一根． 【答案】(1) 且 ; (2) ，方程的另一根为 【分析】（1）根据题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据题意先求出m的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可． （1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 且 ∴ 且 （2）把方程一个根 代入方程 得： ， 解得： ∴方程为：设另一个根为a，则 ∴ ∴方程的另一根为 【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别 式及根与系数的关系是解题的关键． 【考点三】根与系数关系与根的判别式综合应用 【例3】已知关于 的一元二次方程 ， (1)求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)若 和 是这个一元二次方程的两个根，且 ，求 的值． 【答案】(1)见详解; (2) 或 【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式证明即可； （2）先根据根与系数的关系得到 ， ，再根据完全平方公式变形得到关于 的一 元二次方程，最后求解即可． （1）证明：对于关于 的一元二次方程 ， 可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：若 和 是该一元二次方程的两个根， 则有 ， ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 或 ． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式】已知关于x的一元二次方程 ． (1) 求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程有两个实数根 ， ，且 ，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2) ． 【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到 ， ，再根据完全平方公式变形得到关于 的二 元一次方程，最后求解即可． （1）证明：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识 点是解题的关键． 【考点四】根与系数关系与根的判别式解决几何问题 【例4】关于x的一元二次方程 有两个实数根．(1) 求m的取值范围； (2) 上述方程的根 ， 恰好是斜边为6的直角三角形另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) ; (2) 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出 ，解之即可得出结论； （2）根据根与系数的关系可得出 、 ，结合勾股定理可得出关于m的一 元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求 出结论． 解：（1）∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， 解得： ． （2）解：∵ ， 是方程 的两个根， ∴ ， ． ∵ ，即 ， ∴ 或 ． ∵ ， ∴ ， ∴这个三角形的周长 ． 【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两 个实数根找出 ；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出 ． 【变式1】已知等腰三角形的三边长分别为 、 、2且 、 是关于 的一元二次方程 的两根，求 的值． 【答案】 【分析】分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到 ， ，进而求 出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 解：当2为腰长时，假设此时 ，∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两根， ∴ ， ∴ ， ∴此时等腰三角形的三边长为 ，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则 ， ∵ 、 是关于 的一元二次方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴此时等腰三角形的三边长为 ，能构成三角形，符合题意， ， ∴ ， ∴ ， 综上所述， 的值为 ． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利 用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式2】已知关于x的一元二次方程 的两个根为a，b． (1) 若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值； (2) 若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值． 【答案】(1) 7； (2) 6． 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，由菱形的面积等于两条 对角线的长的一半建立关于m的方程求得答案即可； （2）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，由 建立关于m的方 程求得答案即可． （1）解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得： ， a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5， ， ， 解得： ； （2） a，b分别为矩形的两条对角线的长，，即一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ， 即 ， 解方程得： ， （不合题意，舍去） m的值为6． 【点拨】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根得判别式，熟练掌握菱形、矩形 的性质是解决问题的关键．