文档内容
专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）
题型一 一元二次方程的定义
题型二 根据一元二次方程的定义求参数
题型三 一元二次方程的一般形式
题型四 一元二次方程的解
题型五 赋值法求一元二次方程的解
题型六 降次求代数式的值
题型七 一元二次方程估值计算
知识点01 一元二次方程的概念
ax2 +bx+c=0(a≠0)
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这
样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知
数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
知识点02 一元二次方程的一般形式
ax2 +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
知识点03 一元二次方程的根
1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。
2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。
3、常考点：为利用根的概念求代数式的值；
4、一元二次方程近似解：两端逼近法。
步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使 ，一个使 ，则一元二次方ax2 +bx+c=0
程 的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。
【经典例题一 一元二次方程的定义】
【例1】（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
① ② ③ ④
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
1．（2023九年级下·全国·专题练习）下列方程中，一元二次方程共有（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；② ＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣
5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）判断下列关于 的方程，哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元
几次方程？
①
②
③
④
⑤
【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】
【例2】（22-23九年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x的方程 是一元二次方程，
则m的值为（ ）A．1 B． C． D．不能确定
1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果关于x的一元二次方程 ，有一个解是
0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
2．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于 的方程 是一元二次方程，
则 为 .
3．（23-24八年级上·上海·课后作业）方程 ．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
【经典例题三 一元二次方程的一般形式】
【例3】（23-24九年级上·湖北荆州·阶段练习）方程 化成一元二次方程的一般形式后，其中的
二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）将方程 化为一元二次方程的一般式，正确的是
（ ）
A． B． C． D．2．（2022九年级上·全国·专题练习）方程 化为一般形式是 ；其中二次项系
数是 ．
3．（2021九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项
系数和常数项：
（1） ；
（2） ．
【经典例题四 一元二次方程的解】
【例4】（23-24九年级下·陕西西安·开学考试）若 是关于 的一元二次方程 的一个根，
则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．9
1．（2024九年级·全国·竞赛）方程 和方程 有一个实数根相同，则 的值是
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 为方程 的一个根，则代数式 的值为
．
3．（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值： ，其中x是方程 的根．
【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则代数式
的值为（ ）．
A． B．23-24 C．2024 D．2025
1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若 是关于x的一元二次方程 的一个根，则
的值等于（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若 ，求证： 必是该方程的一个根；
(2)当 之间的关系是___________时，方程必有一个根是 ？
3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知 是方程 的一个根．求：
(1) 的值．
(2)代数式 的值．
【经典例题六 降次求代数式的值】
【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程 的一个根，则 的值
为（ ）
A．23-24 B． C．23-24 D．1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程 的一个实数根，则代数式 的值为
．
2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知 是方程 的一个根，求 的值．
3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程 的解，求式子 的值．
【经典例题七 一元二次方程估值计算】
【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于 的一元二次方
程 的一个解 的范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）根据下列表格的对应值，由此可判断方程 +12x﹣15=0必有一
个解x满足（ ）
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
A．﹣1
