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2022-2023 学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练
第 21 章《一元二次方程》
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知识点1：一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只 ，并且未知数的 的 ，叫
做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使 叫做一元二次方程的解，也叫做
细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是 ，否则一定 一元
二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的 ，看是否具备另两个条件：①一个 ；
②未知数的最高次数为
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
知识点2：一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程
2．基本解法
细节剖析：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用
知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac ax2 bxc 0(a 0)
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根
的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有 的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有 的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程 实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
细节剖析：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
知识点4：列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是 审题；
二是把握问题中的
三是 的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清 等)；
设 (设 ，有时会用 )；
列 (根据题目中的 ， )；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
细节剖析：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为 ，然后由数学问题的解决而获得对
的解决.
考点提优练考点01：一元二次方程的解
1．（2022•南岸区校级模拟）若 m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（
）
A．2 B．1 C．4 D．5
2．（2022春•岚山区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（
）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2
3．（2022春•沙坪坝区校级期末）关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论
中正确的有（ ）个．
①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；
②不论x取何值，总有M≥N；
③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x＝t2，x＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；
1 2
④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程 的根为±3，那么关于y的一元二
次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ．
5．（2022春•兰考县期中）x＝1 （填“是”或“不是”）方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
6．（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+ 的值．
7．（2022•海淀区校级一模）已知x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，求m（2m+1）的值．考点02：解一元二次方程
8．（2022春•江阴市校级月考）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组： ．
9．（2022•蒙阴县校级开学）用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．
解：整理，得 ，
移项，得 ，
二次项系数化为1得 ，
配方，得 即（ ）2＝ ，
开方，得 ，
x＝ ，x＝ ．
1 2
10 ． （ 2022 春 • 下 城 区 校 级 期 中 ） 对 于 实 数 m ， n ， 先 定 义 一 种 运 算 “ ⊗ ” 如 下 ：
，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
⊗
11．（2022春•琅琊区校级月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x＝5，x＝﹣2（舍去）；
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x＝﹣5，x＝2（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x＝5，x＝﹣5．
1 2
问题：仿照上面的方法，解方程：x2﹣2|2x+3|+9＝0．考点03：根的判别式
12．（2022秋•岳麓区校级月考）一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
13．（2022秋•通州区校级月考）关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1
14．（2022•西藏）已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0 有实数根，则 m 的取值范围是
（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠1
15．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
16．（2022春•洞头区期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+
（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．
17．（2022春•百色期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝
0有两个相等的实数根．
（1）请判断△ABC的形状；
（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．18．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如
下，请补全完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 …
其中，m＝ ；
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该
函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 ；
②方程|x﹣1|＝1.5的解是 ；
③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 ．
19．（2022春•东台市期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
考点04：根与系数的关系20．（2022•三水区开学）若x，x 是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2
A．2 B．﹣2 C． D．
21．（2022•松山区模拟）若 m，n是一元二次方程 x2+x﹣3＝0的两个实数根，则 m3﹣4n2+17的值为
（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
22．（2022•肥西县模拟）设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝ ．
23．（2022春•绍兴期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一
个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序
号）．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．
24．（2022 春•崇川区校级月考）已知 α，β 是方程 x2+2021x+1＝0 的两个根，则（α2+2022α+1）
（β2+2022β+1）＝ ．
25．（2022秋•江岸区校级月考）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．
26．（2022春•安庆期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根
为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是
3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝ ；
（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求 的值；27．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x，x，若（x+1）（x+1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
考点05：一元二次方程的应用
28．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程 x2+ax＝b2的解：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC
△
＝ ，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
29．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 9899万农村贫困人口全部脱贫，
创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从 2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该
村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到 3380万元，则该村
2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
30．（2021秋•岳池县期末）我县某村从2018年开始大力发展文旅产业，打造农家生态文化旅游．据统计，
该村2018年农家生态文化旅游收入约为200万元，2020年该村农家生态文化旅游收入达到288万元．
据此估计该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
31．（2022春•福山区期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地
有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人感染了德尔塔病毒，如
果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒．32．（2022春•蜀山区期末）如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于
管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为 1008平方米，则小路的宽为
米．
33．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长
和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，
其“加倍矩形”的对角线长为 ．
34．（2021秋•尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是
135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．
35．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5
万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万
人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的
知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月
后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
36．（2021秋•雁塔区校级期末）某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低
0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈
利＝销售利润+返利）
37．（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，
以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另
一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
