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一元二次方程章末检测卷
考试范围：第21章 ；考试时间：120分钟；姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共40分)
1．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）若方程 是关于x的一元二次方程，则
（ ）
A． B．m＝2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得 从而可得答案．
【详解】
解：∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴
由①得：
由②得：
解得：
故选B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程．掌握定义是解本题的关键．
2．(本题4分)（2022·浙江·杭州市丰潭中学八年级期中）关于x的一元二次方程
有一个根是1，则m的值是（ ）
A．－2 B．2 C．0 D．
【答案】A【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将 代入求解，再结合一元二次方程定义确定 即可得出结论．
【详解】
解： 是关于x的一元二次方程，
，解得 ，
关于x的一元二次方程 有一个根是1，
，化简得 ，解得 ，
综上所述： ，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等
式求解是解决问题的关键．
3．(本题4分)（2022·山西长治·九年级期末）一元二次方程 的解为（ ）
A．x＝x＝2 B．x＝2，x＝﹣2 C．x＝x＝﹣2 D．x＝x＝4
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】
把一元二次方程化成 ，然后采用直接开方法解方程即可．
【详解】
解：∵一元二次方程 ，
∴ ，
∴ ，即x＝2，x＝﹣2．
1 2
故选：B．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟悉解一元二次方程的方法是解题的关键．
4．(本题4分)（2022·江苏·九年级）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．(x+2)2＝3 B．(x+2)2＝5 C．(x﹣2)2＝3 D．(x﹣2)2＝5
【答案】D
【解析】【分析】
根据配方法可直接进行求解．
【详解】
解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键．
5．(本题4分)（2022·浙江宁波·八年级开学考试）若关于 的一元二次方程 -2x+3=0有实数根，则
k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，即可求得．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： 且 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不为零，是解决本题的关键．
6．(本题4分)（2022··八年级期末）用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为（
）
A．17 B．14 C．11 D．8【答案】A
【解析】
【分析】
根据公式法求解一元二次方程可进行求解．
【详解】
解：由一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0可知： ，
∴ ；
故选A．
【点睛】
本题主要考查公式法求一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键．
7．(本题4分)（2022·北京通州·八年级期末）如果 ，那么 的值是（ ）
A．0 B．2 C．0，2 D．0，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
即 或 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程．能正确对等式左边分解因式是解题关键．
8．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值
是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系以及相反数的定义列出关于k的方程k2-4=0，解得k=±2，然后分别计算根的判别式的符号，最后确定k=-2．
【详解】
解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．
9．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）下列关于x的一元二次方程 的命题中，
真命题有（ ）
①若 ，则 ；
②若方程 两根为1和－2，则 ；
③若方程 有一个根是 ，则
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】A
【解析】
【分析】
把b=a+c代入判别式中得到 =（a-c）2≥0，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到 ，
根据根的定义可得 ，于是可对②进行判断；由方程的根的定义可得 ，即可对③
进行判断．
【详解】
解：a-b+c=0，则b=a+c， =（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，所以①正确；
∵方程ax2+bx+c=0两根为1和-2，
∴ ，则 ，∴ ，所以②正确；
∵方程 有一个根是 ，
∴
∴
∴
所以③正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
10．(本题4分)（2022·江苏·九年级专题练习）已知实数x，y满足 且 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由 可得 ，进而可得 ，解得 或 ，然后
再对 进行变形即可解答．
【详解】
解：∵ ，得 ，
即 ．∴ 或 ．
即 或 ．
∴ ，所以 ， ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相关定义和
运算法则以及整体法来求解．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共20分)
11．(本题5分)（2022·浙江宁波·八年级期末）将一元二次方程 化成 的形式，则b
的值为___________．
【答案】10
【解析】
【分析】
先移项，再在方程的两边都加上 配方后可求解 的值，从而可得答案．
【详解】
解：∵ ，
移项得： ，
，
，
．
故答案为：10．
【点睛】
此题考查的是配方法的应用，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键.
12．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）若一元二次方程 无实数根，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△＜0，然后解不等式即可．
【详解】
解：一元二次方程x²-4x+k=0无实数根，
∴(―4)2-4k<0，
解得k>4，
故答案为：k>4．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0时方程有
两个不相等的实数根；（2）△=0时方程有两个相等的实数根；（3）△<0时方程没有实数根．
13．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）已知代数式x2-3与代数式 的值互为相反数，那么x的值为
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用公式法求解可得．
【详解】
解：根据题意知x2-3+(-x)=0，
整理，得：x2-x-3=0，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴x= ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力和相反数的性质，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接
开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．(本题5分)（2022·全国·九年级课时练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 ， ， ，记
，则其面积 ．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若 ，
，则此三角形面积的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】
解：∵ ，p=3，c=2，
∴ ，
∴a+b=4，
∴a=4−b，
∴
∴当b=2时，S有最大值为 ．【点睛】
本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
三、解答题(共90分)
15．(本题8分)（2020·江苏无锡·九年级期中）解下列方程
(1)4(x－2)2－25＝0；
(2)(m＋1)2＝4(m＋1)；
(3)(t＋3) (t－1)＝12；
(4)3x2－5x＋4＝0
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)方程无解
【解析】
【分析】
（1）利用直接开平方法求解可得答案；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
（1）解∶∵4(x－2)2－25＝0，∴ ，∴ ，∴ 或 ，∴ ，
；
（2）解：∵(m＋1)2＝4(m＋1)，∴ ，∴ ，即 ，∴
或 ，∴ ， ；
（3）解：∵(t＋3) (t－1)＝12，∴ ，∴ ，∴ 或 ，∴ ，
；（4）解：∵a＝3，b＝－5，c＝4，∴ ，∴原方程没有实数根．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分
解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．(本题8分)（2021·河南周口·九年级期中）图解方程就是把方程的解和几何图形建立联系，通过几何直
观反映代数抽象．历史上有多种关于一元二次方程的几何解法，例如：欧几里德解法，花拉子米解法，卡
莱尔解法，斯陶特解法，赵爽解法等等．小华针对古代数学家赵爽的构图解法进行了探究，请你帮助进行
归纳概括．
提出问题：怎样图解一元二次方程 （x＞0）？
几何建模：
（1）变形： ；
（2）构图：如图所示，画出四个长为 ，宽为x的矩形；
（3）解答：大正方形面积的两种表达方式为 ， ．
由面积相等得 ．
∵ ，
∴ ．
．
∵ ＞0，
∴
．
归纳概括：
请参照上述研究方法求一元二次方程 （x＞0，b＞0，c＞0）的解．并画出示意图，标记出相应线段的长．
【答案】 ，图见详解
【解析】
【分析】
仿照题中的步骤进行即可完成求解．
【详解】
解：变形：方程变形为 ．
构图：如图所示，画出四个长为 ，宽为x的矩形；
解答：由图知，大正方形面积的两种表达方式为 ， ．
由面积相等得 ．
因为 ，
所以 ．
因为x＞0，
所以 ．
示意图如下：
【点睛】
本题是材料阅读题，考查了用构图方法解一元二次方程：直接开平方法，根据方程的特点构建几何图形，
借助数形结合来解题，读懂题意，构造适当的几何图形是解题的关键．难点在于构建几何图形，体现了数
形结合的思想．
17．(本题8分)（2021·广东·肇庆市颂德学校九年级期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃
园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成．(1)若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？
(2)苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由．
【答案】(1)垂直于墙的一边长为12m
(2)这个苗圃园的面积不能达到150m2．
【解析】
【分析】
（1）设垂直于墙的一边长为x米，然后根据苗圃的面积为96m2列方程求解即可；
（2）由题意可得x（32−2x）＝150，然后化成一般式，最后运用一元二次方程根的判别式解答即可．
（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则有x（32−2x）＝96，解得：x＝2，x＝12，当x＝4时，30−2x＝
1 2
22＞18，不符合题意舍去，∴取x＝12答：垂直于墙的一边长为12m．
（2）解：苗圃园的面积不能达到150m2．理由如下：由题意得：x（32−2x）＝150，化简得：x2-
16x+75=0．∵△=（-16）2-4×1×75＜0，∴方程无实数根．故这个苗圃园的面积不能达到150m2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，理解一元二次方程根的判别式
与根的关系是解答本题的关键．
18．(本题8分)（2022·湖南株洲·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
(2)若方程有两个实数根为 和 ，且 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)k的值为1或2
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有实数根，则 ，求出k的取值范围即可；
（2）将 因式分解后分析根的情况，将得到的结果分别代入根的判别式和原方程中即可求出k的值．（1）解：a=1，b=-2，c=k-1，∵方程有实数根， ， ．
（2）∵原方程的两实数根为 和 ，且由 得 ， 或 ，当 时，代
入方程可得 ，解得k=1；当 时， ， 故k的值为1或2．
【点睛】
本题主要考查了已知根的情况判断求根公式的取值范围，熟练的掌握求根公式是解题的关键．①
时，方程有两个不相等的实数根；② 时，方程有两个相等的实数根；．③
时，方程没有实数根．
19．(本题10分)（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若 ，求m和n的值；
解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)64
(2)24
【解析】
【分析】
（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可
得到结果；
（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可
得到结果．
(1)由题意得：
∴
∴
解得：
∴ ．
(2)
由题意得：
∴
∴
解得：
∴ ．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本
题的关键．
20．(本题10分)（2022·辽宁大连·九年级期末）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染
后就会有64个人被感染．
(1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人；
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人．
【答案】(1)每轮感染中平均一个人会感染7个人．
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人．
【解析】
【分析】
（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，根据一个人被感染经过两轮感染后就会有64个人被感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3轮感染后被感染的人数=2轮感染后被感染的人数×（1+7），即可求出3轮感染后被感染的人
数，再将其与500进行比较后即可得出结论．
(1)
解：设每轮感染中平均一个人会感染x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）=64，
解得：x=7，x=-9（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮感染中平均一个人会感染7个人．
(2)
64×（1+7）=512（人），512＞500．
答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过500人．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．(本题12分)（2022·河南鹤壁·九年级期末）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经
费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教有经费的
5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需
2000元，则最多可购买电脑多少台？
【答案】(1)该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%
(2)2021年最多可购买电脑880台
【解析】
【分析】
（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金
额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于
m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1＋x）2=7200，解得：
x=0.2=20%，x=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；
1 2
（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元），设购买电脑m台，则购买实物
投影仪（1500−m）台，根据题意得：3500m＋2000（1500−m）≤86400000×5%，解得：m≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年
投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元
一次不等式．
22．(本题12分)（2022·江苏·九年级专题练习）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小
长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每
瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙
种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，
乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液
每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【解析】
【分析】
（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程
进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然
后根据题意可列方程进行求解．
(1)
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得： ，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得：
整理得： ，
解得： ，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
23．(本题14分)（2022·重庆·八年级期末）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已
知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金
额相同．
(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第
二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了 个，每个“雪容融”的售
价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利
13200元，求m的值．
【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元
(2)15
【解析】
【分析】
（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，利用总价=单价×数
量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；
（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出
结论．
(1)
解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得： ，解得： ．
答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
(2)
依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+ ）+（100-m-80）×（150+2m）
=13200，
整理得：m2-15m=0，
解得：m=15，m=0（舍去）．
1 2
答：m的值为15．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
