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第21章 一元二次方程 （培优卷）
一．选择题（每小题3分，共24分）
1.关于x的方程 是一元二次方程，则它的一次项系数是( )
A．－1 B．1 C．3 D．3或－1
2.若关于x的方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k≤5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
3.已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实根，且满足 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
4.如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角
形的周长可能是
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
5.已知关于x的一元二次方程mx2﹣nx＝p（m≠0）的两个根为x＝3，x＝5，则方程m（2x+5）2﹣n
1 2
（2x+5）﹣p＝0的根为（ ）
A．x＝3，x＝5 B．x＝﹣1，x＝0
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝0 D．x＝11，x＝15
1 2 1 2
6.若关于x的方程x2+(m+1)x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2
7.某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加
0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价
应为x元/kg，依题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.如果关于 的一元二次方程 有下列说法：①若 ，则 ；②若方
程两根为-1和2，则 ；③若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个
不相等的实根；④若 ，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题2分，共16分）
9.已知方程 的一根为 ，则方程的另一根为_______．
10.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S =3，请写出一个符合题意的一
△ABC
元二次方程_______．
11.电影《长津湖》于2021年9月30日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同
的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为
．
12.若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的
长，则 的取值范围是________.
13.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式
（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，
可列方程为 ．
14.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则点 在第____象
限．
15.已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则 的值是_____．
16.如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方
程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有 个
三．解答题（共60分）
17.（6分）解方程：（1） ； （2） ．
18.（8分）已知关于x的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，
求k的值
19.（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种
核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
20.（8分）已知关于 的方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)设方程的两根分别是 、 ，且 ，试求k的值．
21.（10分）我们知道：x2﹣6x＝(x2﹣6x+9)﹣9＝(x﹣3)2﹣9；﹣x2+10x＝﹣(x2﹣10x+25)+25＝﹣(x﹣
5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)按上面材料提示的方法填空：a2﹣4a＝ ＝ ．﹣a2+12a＝ ＝ ．
(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2﹣4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，
再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在
最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．22.（10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转
化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分
解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x=0,x= ， x= ；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固
定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC
走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
23.（10分）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝
2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点
D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：
（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t＝ s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
