文档内容
专题 22.11 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的
交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【要点提示】
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的
解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【要点提示】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方
程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【知识点二】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横
坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用
表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方
的近似根．
【要点提示】求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
【知识点三】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）
【知识点四】抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【要点提示】
抛物线 在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标
【例1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像以 为顶点，且过点
．
（1）求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
（2）将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【答案】(1)与 轴的交点坐标为 ；与 轴的交点坐标为 ；(2)向左平移1个单位，该函数
图象恰好经过原点.
（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
所以抛物线解析式为 ；当 时， ，
则抛物线与 轴的交点坐标为 ；
当 时， ，解得 ，
则抛物线与 轴的交点坐标为 ；
（2）解：因为抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以把抛物线解析式 向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点．
【变式1】（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象与
轴的一个交点的横坐标为 ，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与 轴交点的对称性等知识，先求出
抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的
关键．
解： 二次函数 （ ）的对称轴为 ，且图象与 轴的一个交点的横
坐标为 ，
由抛物线上点的对称性可知，图象与 轴的另一个交点的横坐标为 ，
故选：A．
【变式2】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点
， ，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线 ，再令 ，得 ，解得
或 ，从而即可得解．
解：把点 ，点 代入抛物线 得，
，
解得 ，
∴抛物线 ，
令 ，得 ，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【题型2】由二次函数值求自变量的值
【例2】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是 ，且经过点
．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 在该函数图象上，求点 的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为 ； (2)B点坐标为 或 ．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是
掌握待定系数法求二次函数的解析式．
（1）利用待定系数法求解即可； （2）将点 代入 求解即可．解：（1）设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2）把 代入 得 ，
解得 ， ，
点坐标为 或 ．
【变式1】（2020·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数 的图象上有两点A（x，
1
2023）和B（x，2023），则当 时，二次函数的值是（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x、x 是方程2020x2+2021x+2022=2023的
1 2
两个根，由韦达定理得到 ，代入解析式即可得解．
解：∵二次函数 的图象上有两点A（ ，2023）和B（ ，2023），
∴ 、 是方程 的两个根，
∴ ，
∴当 时，有： ，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，
会运用韦达定理．
【变式2】（21-22九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与 于B、C两点，那么线段BC的长是 ．
【答案】2
【分析】根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得 的
坐标，进而即可求得 的长．
解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点拨】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式
【例3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）二次函数 中的x，y满足下表．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 0 …
（1）观察表中信息，发现 ______，抛物线的对称轴为______；
（2）求该抛物线的解析式，并求 时x的值；
（3）请直接写出当 时，自变量x的取值范围．
【答案】(1) ，直线 (2) ； 时， 或 (3) 或
（1）解：当 时， ，由表可知，当 时， ，
∴ ，
由表可知，当 ， ，当 时， ，
∴抛物线的对称轴为 ，
故答案为： ,直线 ；
（2）解：由表可知，抛物线经过 ，
设抛物线的解析式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
把 代入得： ，
解得： ，
即 时， 或 ；
（3）解：当 时， ，
解得： ，
由表可知：当 时， 或3，
画出该抛物线的图象如图所示：
由图可知，当 或 时， ．【变式1】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，已知函数与x轴相交于 ，
且函数的对称轴为直线 ，则 的根 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数
的对称性求出二次函数与x轴相交于 ，再由二次函数的性质得到当 时， ，最后根据
的根可以看做是二次函数 与直线 的交点的横坐标即可得到答
案．
解：∵二次函数 与x轴相交于 ，且函数的对称轴为直线 ，
∴二次函数图象与x轴另一个交点为 ，
∵ ，
∴函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴当 时，
∵ 的根可以看做是二次函数 与直线 的交点的横坐标，
∴ ，
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不
等式 的解是 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，由题意可得：二次函数的对
称轴是直线 ，抛物线与 轴的一个交点为 ，然后可根据抛物线的对称性求出抛物线与 轴的另
一个交点，再根据抛物线在 轴上方的图象对应的 的范围解答即可，正确读懂图象信息、熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
当 时， ，
故答案为： ．
【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围
【例4】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数 的图象与坐标轴分别交于
点A，B与C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）直接写出当函数值 时，自变量x的取值范围．【答案】(1) ， ， ； (2)
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关
键．
（1）令 得到 ，解方程得到 ， ， 即可求出 ， ，然后令 ，
即可求出点C的坐标；
（2）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．
解：（1）令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴图像位于x轴下方，
∴x取值范围为 ．
【变式1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一
个交点为 ，对称轴为直线 ，将抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线
，则当 时， 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
解：∵抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点为 ，
∵抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，
∴抛物线 与x轴的两个交点坐标为 和
∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C．
【变式2】（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点 、
是其图象上两点，若 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将
点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
∴
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴
故答案为： ．
【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集
【例5】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数 的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当 时， 的取值范围；
（3）当 时，求 的取值范围．
【答案】(1) (2) 或 (3)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设抛物线解析式为 ，再代入 ，解出 ，即可作答．
（2）运用数形结合思想，即可作答．
（3）先化为顶点式得 ，结合 ，得出 的取值范围，即可作答．
（1）解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴二次函数解析式为 ．（2）解：依题意，结合图象，当 或 时， ．
（3）解：∵二次函数解析式为 ．
∴ ，
∴当 时，y有最小值 ；
当 时， ；
当 时，y的取值范围为 ．
【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于
， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论
④；利用结论④及题中条件 可求得 的取值范围，再由结论② 可得 取值范围，判断
⑤是否正确．解：由图可得： ，对称轴 ，
，
，①错误；
由图得，图象经过点 ，将 代入 可得 ，
，②正确；
该函数图象与 轴的另一个交点为 ，且 ，
对称轴 ，
该图象中，当 时， 随着 的增大而减小，当 时， 随着 的增大而增大，
当 时， 随着 的增大而减小，
③正确；
， ，
关于 的一元二次方程 的根为
，
，
， ，
④正确；
，即 ，
解得 ，
即 ，
，
，⑤正确．
综上，②③④⑤正确，共 个．
故选： ．
【点拨】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与 轴的交点问题、一元二次方程的根与系
数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数 和一次函数
的图象，当 时，x的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可．
解：观察图象得：当 或 时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，
∴当 时，x的取值范围是 或
故答案为： 或
【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值
【例6】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线 与x轴的交点分别为A，B（A在B
的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形．
（1）求m的值；
（2）如图，连接 、 ，判断 的形状，并求出其面积；
（3）将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线 与图象恰
有3个交点时，求出k的值．【答案】(1) (2) 为直角三角形， (3) 或
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识；
（1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可；
（2）由（1）可得抛物线解析式为 ，求出 ， ， 三点坐标，再由两点
距离公式和勾股定理判定 为直角三角形即可求解；
（3）由题意作出函数图象，分当直线 与新图形抛物线 相切时和直线经
过点B时两种情况分别求出的b值即可；
（1）解:∵抛物线 对称轴为直线 ，顶点为点C，
∴顶点
∵ 为等腰直角三角形．过点C作 ，
∴ ，
∴当 时，
解得： ； ，
∴ ；
∴ ，解得： ；
（2）由（1）得：抛物线
∴当 时， ，解得： ，
∵已知抛物线 与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧）
∴ ，
∵ 时， ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ 为直角三角形； ，
∴
（3）∵抛物线 在x轴下方部分图象向上翻折，
∴得到新函数关系式为∵直线 与新的函数图象恰有3个交点
分类讨论：
①当直线 与抛物线 相切时，故联立得
整理得：
∵直线 与抛物线 相切
∴方程 有两个相等实数根
即：
解得： ， （舍），
②当当直线 经过点 时， ，解得 ，故联立得
整理得： ，解得 ， ．满足题意．
综上所述： 或 ．
【变式1】（2024·山东青岛·三模）二次函数 的图象开口向上，与x轴的交点坐标为
和 ，下列说法正确的是（ ）A． B． 时，y的值随x值增大而减小
C．对称轴是直线 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，可根据题意画出大致图象，根据图象和性质逐项分析判断即
可．
解：由题意可得二次函数 的图象大致如图所示：
A．由题意可知，抛物线与x轴有两个不同的交点 和 ，所以 ，因此选项A不符
合题意；
B．由二次函数的图象可知，当 时，y的值随x值增大而增大，因此选项B不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线 ，因此选项C不符合题意；
D．当 时， ，所以二次函数的图象过点 ，由图象可知
，因此选项D符合题意．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数 与二次函数
的图象分别交于点 ， ．则关于 的方程 的解为 ．【答案】
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
解：∵方程 的解就是二次函数 与一次函数 两个函数交点的横坐
标，
∵一次函数 与二次函数 的图象相交于点 ， ．
∴ 的解为 ；
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程 有两实根 ， ，且
，则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
解：由题意，∵ 有两实根 ，．
∴ 得， ．
∴ ，故①正确．
，
∴抛物线 的对称轴是直线 ．
∴抛物线 的顶点为 ．
又 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
∴顶点坐标为 ，故②正确．
∵ ，
∴ ．
又 ，
，
∴ ，故③错误．
，
，
∴对于函数 ，当 时的函数值小于当 时的函数值．
∵ ，抛物线的对称轴是直线 ，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴ ，故④错误．综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
【例2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的
一个交点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，
则 ；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是 （请填
写序号）．
【答案】①②④
解：①∵抛物线 的顶点 的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
由图可知，抛物线开口方向向下，即 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵直线 是抛物线的对称轴，
∴ ，
∴ ，∴
由图象可得：当 时， ，
∴ ，即 ，故②正确，符合题意；
③∵直线 是抛物线的对称轴，
设 两点横坐标与对称轴的距离为 ，
则 ， ，
∴ ，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴ ，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
2、拓展延伸
【例1】（2024·四川成都·一模）抛物线 与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）
两点，与y轴负半轴交于点C．
（1）求点A、点B的坐标；（2）如图1，连接 ，过点B作 ，交抛物线于点D，直线 交于点P，求 的面
积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线 上一动点（不含C点），作 交抛物线于
另一点N，直线 交于点E，若 ，求点E的坐标（用含h的式子表示）．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）当 时， ，解方程即可；
（2）分别求直线 的表达式，再求出点P的坐标，过点P作 轴于点E，由
，即可求解；
（3）设 ，设 ，可求 ，联立 ，
求得 ，求出 ，同理可求 ，联立：
，求得点 ，过点E作 轴交 于点F，则
，由 ，得 ，即： ，解得，则 ，故 ．
（1）解：当 时， ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
设 ，代入A、C，
得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，
代入点B，得： ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
解得： 或 （舍），
∴ ，
同理，可求 ， ，联立 ，
解得 ，
∴ ，
过点P作 轴于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：设 ，
∵ ， ，
∴设 ，
代入点 得， ，
∴ ，
∴ ，
联立 ，
得： ，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
设 ，代入点A、N得，
，
解得： ，
∴ ，
同理可求 ，
联立： ，
解得： ，
∴点 ，
过点E作 轴交 于点F，
∴ ，∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交
点坐标，三角形的面积等，熟练掌握知识点是解题的关键．
