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专题 22.11 二次函数与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x
的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的
交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
【要点提示】
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.
2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的
解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【要点提示】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方
程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
【知识点二】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横
坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用
表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方
的近似根．
【要点提示】求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；
【知识点三】抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元
二次方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 （△＞0）
【知识点四】抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)
之间的关系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或△＝0 无解
（或 ）
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【要点提示】
抛物线 在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】抛物线与坐标轴交点坐标
【例1】（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图像以 为顶点，且过点
．
（1）求该函数图像与坐标轴的交点坐标；
（2）将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点．
【变式1】（2024·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 （ ）的图象与
轴的一个交点的横坐标为 ，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【变式2】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点
， ，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．【题型2】由二次函数值求自变量的值
【例2】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是 ，且经过点
．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点 在该函数图象上，求点 的坐标．
【变式1】（2020·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数 的图象上有两点A（x，
1
2023）和B（x，2023），则当 时，二次函数的值是（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式2】（21-22九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线
与 于B、C两点，那么线段BC的长是 ．
【题型3】图象法解一元二次方程或一元二次不等式
【例3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）二次函数 中的x，y满足下表．x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 0 …
（1）观察表中信息，发现 ______，抛物线的对称轴为______；
（2）求该抛物线的解析式，并求 时x的值；
（3）请直接写出当 时，自变量x的取值范围．
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，已知函数与x轴相交于 ，
且函数的对称轴为直线 ，则 的根 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图是二次函数 的部分图像，由图像可知不
等式 的解是 ．
【题型4】利用不等式求自变量或函数值的取值范围
【例4】（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，已知二次函数 的图象与坐标轴分别交于
点A，B与C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）直接写出当函数值 时，自变量x的取值范围．【变式1】（2024·甘肃武威·二模）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一
个交点为 ，对称轴为直线 ，将抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线
，则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点 、
是其图象上两点，若 ，则 的取值范围为 ．
【题型5】抛物线与坐标轴交点求不等式的解集
【例5】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知二次函数 的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当 时， 的取值范围；
（3）当 时，求 的取值范围．【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数 的图象与 轴交于
， ，其中 ．结合图象给出下列结论：
① ；② ；
③当 时， 随 的增大而减小；
④关于 的一元二次方程 的另一个根是 ；
⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数 和一次函数
的图象，当 时，x的取值范围是 ．【题型6】由抛物线与x轴交点确定相关的值
【例6】（2024·安徽安庆·二模）已知，如图，抛物线 与x轴的交点分别为A，B（A在B
的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形．
（1）求m的值；
（2）如图，连接 、 ，判断 的形状，并求出其面积；
（3）将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线 与图象恰
有3个交点时，求出k的值．
【变式1】（2024·山东青岛·三模）二次函数 的图象开口向上，与x轴的交点坐标为
和 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． 时，y的值随x值增大而减小
C．对称轴是直线 D．
【变式2】（23-24八年级下·北京海淀·期末）如图，一次函数 与二次函数的图象分别交于点 ， ．则关于 的方程 的解为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程 有两实根 ， ，且
，则下列结论中正确的有（ ）
① ；②抛物线 的顶点坐标为 ；
③ ；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的
一个交点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，
则 ；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是 （请填
写序号）．2、拓展延伸
【例1】（2024·四川成都·一模）抛物线 与x轴负半轴交于A、B（点A在点B的左边）
两点，与y轴负半轴交于点C．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）如图1，连接 ，过点B作 ，交抛物线于点D，直线 交于点P，求 的面
积；
（3）如图2，在（2）的条件下，点M是的抛物线 上一动点（不含C点），作 交抛物线于
另一点N，直线 交于点E，若 ，求点E的坐标（用含h的式子表示）．
