文档文本内容
专题22.11 二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质
（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．已知函数 ，当 时，y有最大值a，最小值b，则 的值为（ ）
A．13 B．5 C．11 D．14
2．对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．对称轴是直线 D．当 时， 有最大值是
3．已知二次函数 ，且 ，则图象一定经过（ ）象限．
A．三、四 B．一、三、四 C．一、二、三、四 D．二、三、四
4．二次函数 的图象如图所示，下列说法正确的是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线 ，当 时， 的值随 值的增大而增大，则此抛物线的顶点在
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知抛物线 （ 为常数）的顶点不在抛物线 （ 为常数）上，则
应满足（ ）A． B． C． D．
7．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣
4，则a的值为（ ）
A．1 B． C．﹣ D．﹣
8．已知二次函数 的图象与x轴没有交点，且过点 ， ， ，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数 的图象上有两点 和 ，则 的值等于（
）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
10．二次函数 中的自变量 与函数值 的部分对应值如下表：
… …
… …
下列选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的最大值为
B．这个函数图象的对称轴为直线
C．这个函数的图象与 轴有两个不同的交点
D．若点 ， 在该抛物线上，则
二、填空题
11．抛物线 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
12．若二次函数 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为
．
13．如图，已知二次函数 ，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是．
14．已知抛物线 的顶点在坐标轴上，则 ．
15．已知二次函数 ，当 时，函数的最大值为 ，则m的值是
．
16．已知抛物线的函数关系为 ，则该抛物线的顶点坐标为 （用含a的代数式
表示）；若该抛物线与线段 有两个公共点，则a的取值范围为 ．
17．在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中结论正确的是 （填
序号）．
18．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，抛物线的顶
点为点P，当 为直角三角形时，m的值为 ．
三、解答题19．已知二次函数 ，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算
过程如下：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③
∴顶点坐标是 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．④
（1）请你帮他检查一下，在标出①②③④的几个步骤中开始出现错误的是第______步；
（2）请你改正小明的过程，写出本题的正确求顶点的计算过程，并写出顶点坐标；
（3）我们知道 的顶点坐标为 ，请你利用公式求出二次函数
的顶点坐标．
20．已知二次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段 绕点P逆时针旋转 得到 ，
点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．21．已知x与y之间的函数关系式为 （其中a、b是常数），且有下列对应关系：
x 1 －2
y －1 17
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点 ，点 均在抛物线 上，求m的值．
22．已知二次函数y=ax2+bx-3a+2（a≠0）的图象经过点A（3，2）
（1）求该抛物线的对称轴，以及点A 的对称点B的坐标
（2）若该抛物线与x轴交于P（x，0）和Q（x，0）两点（其中x<x）若PQ=6，求a的值；
1 2 1 223．已知抛物线 （a，b，c是常数）的顶点为P，与x轴的一个交点为 ，与y轴相
交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式和顶点P的坐标：
（2）直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，请写出MG的长w
关于m的函数关系式；
（3）当m取何值时，w取得最大值，并求出此时点M，G的坐标．
24．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．
例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1
（1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值
是 ；
（2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为 ；
（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 16米），围成一个长方形的花
圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．参考答案
1．A
【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答
案．
解：
整理得：
故当 时，y有最小值b为2；
当 时，y有最大值a为11；
故 ；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键．2．B
【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答．
解：∵ ，
∴由 知抛物线开口向上，
故 选项错误；
∵顶点坐标是 ，
故 选项正确；
∵对称轴是直线 ，
故 选项错误；
∵当 时， 取得最小值2，无最大值，
故 选项错误；
故选： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的
关键．
3．A
【分析】根据 ， ， ，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负
半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．
解：∵二次函数 中 ， ， ，
∴二次函数的解析式为 ，二次函数的开口向下，二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴二次函数的顶点坐标为（0，c），在y轴负半轴，
∴二次函数 的图象 经过三、四象限；
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之
间的关系．
4．D
【分析】由抛物线对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断b，c的符号．
解：∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴ ，∴ ，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴当 时 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想
的运用．
5．C
【分析】先计算出抛物线对称轴为直线 ，再根据抛物线开口向下，得到 时，y随
x的增大而增大，结合当 时，y随x的增大而增大，得到 ，再根据抛物线的顶点坐标，判断
出顶点所在象限．
解：抛物线的对称轴为 ，
∵抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，即 ；
∵抛物线的顶点纵坐标为 ，
∴顶点坐标为 ，
∵ ，而 ，
当 时，顶点纵坐标最大值为： ，
∴此时
∴抛物线的顶点在第三象限，
故选：C．
【点拨】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式及图象性质．
6．D
【分析】先求出抛物线 的顶点坐标，因为该顶点不在抛物线 上，所以将该点坐标代入 中，不能使等式成立，据此分析 的取值范围．
解： ，
抛物线 的顶点坐标为 ，
又 抛物线 的顶点不在抛物线 上，
，即 ，
又 ，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，灵活运用配方法解决二次函数及二次方程的问题是本题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而
增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．
解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，
又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，
∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣ ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键．
8．B
【分析】根据B，C是对称点，可确定抛物线的对称轴，根据抛物线与x轴无交点，与y轴交于点
（0,1）可画出抛物线的草图，根据草图计算判断即可.
解：∵ ， ，∴抛物线的对称轴为直线x= =-1，
∵二次函数 的图象与x轴没有交点，
∴抛物线的开口一定向上，
由此可画出抛物线的草图如下：
∴ ，
故选B.
【点拨】本题考查了抛物线的性质，对称轴，与x轴的交点，抛物线的草图的画法，纵坐标的大小比
较，根据题意，判断对称轴，画出符合题意的草图是解题的关键.
9．C
【分析】由题意可得a、b是方程 的两个根，则有 ，又由 ，将
所求式子变形为 ，然后再求值即可．
解：∵点 和 在二次函数 的图象上，
∴a、b是方程 的两个根，
∴ ，
∵将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：C．
【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程
之间的关系是解题的关键．
10．D
【分析】先求二次函数的解析式，再判断．
解：由题意，得 ，解得 ．
∴该二次函数的表达式 ．
A.由函数解析式 可知，这个函数的最大值为 ，故选项不符合题意；
B.函数的对称轴为直线 ，故选项不符合题意；
C.该函数图象与 轴只有 一个交点，故选项不符合题意；
D.当 时， ，当 时， ．∵ ，∴ ，故
选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键．
11． 下
【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
解：∵ ，而 ，
∴开口方向向下．
∵ ，
∴对称轴是 ，顶点坐标是 ．
故答案为：下， ， ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的对称轴是直线 ，顶点坐标为
．
12．4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线 ，顶点为 ，由图象上恰好只有三个点到
x轴的距离为m可得 ．
解：∵ ，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线 ，顶点为 ，
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐
标的方法是解题的关键．
13．a≤1
【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．
解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a≤1，
故答案为a≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14． 或 或 或
【分析】分顶点在 轴上时，顶点在 轴上时，两种情况讨论，即可求解．
解：当抛物线 的顶点在 轴上时， ，
即 ，
解得 或 ；当抛物线 的顶点在 轴上时， ，
解得 或 ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15． 或
【分析】将二次函数配方成顶点式，分 和 两种情况分析即可．
解：
故该抛物线的对称轴为直线
当 时，抛物线开口向上，且 时，函数的最大值为
即 时，
代入求得
当 时，抛物线开口向下，且 时，函数的最大值为
即 时，
代入求得
∴ 的值为 或
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数的最值，根据二次函数的增减
性分类讨论是解题的关键．
16．
【分析】由 ，可得顶点坐标为： ；求解函数与 轴的交点坐标
分别为： ， ，抛物线与 轴的交点坐标为： ，再分两种情况讨论：当 时，如图，
函数图象与直线 在 只有1个交点或没有交点，不符合题意，当 时，如图，函数图象与直线 在 有2个交点，可得 ，从而可得答案．
解：∵ ，
∴顶点坐标为： ；
令 ，则 ，
解得： ， ，
函数与 轴的交点坐标分别为： ， ，
令 ，则 ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为： ，
当 时，如图，
∴函数图象与直线 在 只有1个交点或没有交点，不符合题意，
当 时，如图，∵函数图象与直线 在 有2个交点，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ，
【点拨】本题考查的是二次函数的顶点坐标，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解
题是关键．
17． /
④⑤ ⑤④
【分析】①由图象的开口方向，与 轴的截距，对称轴的正负，即可求解；②由 ，即可求解；
③ ， ， 当 时，即可求解；④图象与 轴有两个交点，即可求解；⑤当 时，
，即可求解．
解：①由图象得：图象开口向下， ， 与 轴的截距在正半轴上， ， ， ，
，故此项错误；
② ， ，故此项错误；③ ，
如图， ， ， 当 时， ，故此项错误；
④图象与 轴有两个交点， ， ，故此项正确；
⑤由③得，当 时， ， ，故此项正确；
故答案：④⑤．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象判断式子的符号，掌握判断方法是解题的关键．
18．2
【分析】设点 ， ，则 ，求出点 ，由抛物线的对称性知
为等腰直角三角形，建立方程 ，根据根与系数关系可求得m值．
解：设点 ， ，则 ，
令 得 ，
∴ ， ，则 ，
由抛物线 得顶点坐标为 ，
抛物线的对称性知 为等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
解得： 或 或 ，
∵抛物线 与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴ 且 且 ，即 且 ，
∴ ，故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系、解高次
方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
19．（1）①；（2）计算过程见分析，顶点坐标 ；（3）
【分析】（1）根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第①步出现错误；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（3）利用顶点坐标公式解答即可．
（1）解：∵ ，
∴开始出现错误的是第①步；
故答案为：①
（2）解：
；
∴顶点坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴顶点坐标为 ．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化和顶点坐标公式．
20．（1）二次函数的表达式为 ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过点P作 轴于点M， 轴于点N，证明 ，推出 ，
据此求解即可．
（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：过点P作 轴于点M， 轴于点N，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ 即 ，
∵将线段 绕点P逆时针旋转 得到 ，
∴ 且 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
解得 ，
∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数
的图象及性质，数形结合是解题的关键．21．（1） ；（2） ， ．
【分析】（1）利用待定系数法，将对应的x，y代入 ，解二元一次方程组即可；
（2）先将 代入y与x之间的函数关系式求出 的值，再将 代入y与x之间的函数关系式
求出m的值．
（1）解：由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为 ．
（2）解：∵点 在抛物线 上，
∴ ．
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
整理得 ，
解得 ， ．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标的特征，难度较小，牢
记二次函数图象上的点均满足函数解析式是解题的关键．
22．（1）对称轴为直线x=1，B（-1，2）；（2） ；
【分析】（1）将点A（3，2）代入二次函数解析式，再根据抛物线的对称轴公式计算可得；
（2）点P和点Q关于直线x=1对称，又PQ=6可推出P、Q坐标，将坐标代入解析式即可；
解：（1）将点A（3，2）代入二次函数解析式得：
9a+3b-3a+2=2，解得b=-2a
抛物线对称轴为：直线x=∴对称轴为直线x=1，因为点B与点A对称，可得 B（-1，2）
（2）由抛物线与x轴交于P（x，0）和Q（x，0）两点可知，
1 2
点P和点Q关于直线x=1对称．
又PQ=6，则x=1-3=-2，x=1+3=4
1 2
将点P（-2，0）代入二次函数解析式有
4a+4a-3a+2=0，解得a=
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质以及对称轴公式，熟练掌握公式是解题的关键．
23．（1） ， ；（2） ；（3）当 时， 取得最
大值，
【分析】（1）待定系数法求出解析式，转化为顶点式求出顶点坐标．
（2）求出直线 的解析式，用含 的式子表示出 的坐标，再列出关系式即可；
（3）转化为二次函数求值，即可得解．
（1）解：∵抛物线 ，与x轴的一个交点为 ，与y轴相交于点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴顶点 的坐标为： ；
（2）解：设直线 的解析式为： ，
则： ，解得： ，
∴ ；
∵直线 （m是常数， ）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
∴ ， 在 的下方；∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴当 时， 取得最大值： ；
此时： ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求
解，是解题的关键．
24．（1）5；（2）7；（3）能，最大面积为98m2
【分析】（1）根据偶次方的非负性解答；
（2）将函数方程x2＋3x＋y−3＝0代入y-x，把y-x表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大
值．
（3）根据题意列出函数关系式，利用配方法解答．
解：（1）−2x2−4x＋3＝−2（x2＋2x＋1−1）＋3＝-2（x＋1）2＋5≤5，
∴−2x2−4x＋3有最大值是5，
故答案为：5；
（2）解：由x2＋3x＋y−3＝0得
y＝−x2−3x＋3，把y代入y-x得：
y−x＝x2−3x＋3−x＝−x2−4x＋3＝−（x＋2）2＋3＋4≤7，
∴y−x的最大值为7．
故答案为：7．
（3）解：设利用墙的一边长为x，则x≤16，
由题意知： ＝x• ＝− x2＋14x＝− （x−14）2＋98
当x＝14时，花圃面积最大，最大面积为98m2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法，解题关键是掌握二次函数
的性质及求最大值的方法．
