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专题 22.10 二次函数 y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质（专项练习）
（培优练）
【考点目录】
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
【考点4】二次函数与一次函数图象的综合判断；
【考点5】二次函数图象的对称性；
【考点6】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
【考点8】待定系数法求二次函数的解析式；
【考点9】二次函数综合.
一、单选题
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
1．（2024·贵州黔南·一模）二次函数 的顶点在第几象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线 的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
3．（2024·山东济南·二模）已知函数 （a为常数），当 时，y随x的增大而增大，
， 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， ， 总满足
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·山西晋城·期末）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，
则 ， ， 的大小用“＜”连接的结果为（）
A． B． C． D．【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知抛物线 的图象．如图所示，则下列结论中，正
确的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ；⑤ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与x轴的
一个交点在 和 之间，其部分图象如图所示．有下列结论：① ；② ；③
；④ （t为实数）；⑤若 ， 是该抛物线上的三点，
则 ．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点4】二次函数与一次函数图象的综合判断；
7．（2024·河南商丘·模拟预测）一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中的大
致图象可能是（ ）A． B． C． D．
8．（23-24八年级下·福建福州·期末）直线 经过第一、二、四象限，那么 的图像大
致为( )
A． B． C． D．
【考点5】二次函数图象的对称性；
9．（2024·福建莆田·一模）已知点 ， 在抛物线 上，当
且 时，都有 ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九年级·全国·竞赛）对于二次函数 ，当自变量 分别取 和 时，函
数的值相等，那么当自变量 的取值为 时，其函数值与（ ）．
A． 时的函数值相等 B． 时的函数值相等
C． 时的函数值相等 D． 时的函数值相等
【考点6】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
11．（2024·陕西榆林·三模）将抛物线 向右平移2个单位长度后得到一条新的抛物
线，若点 ， ， ， 都在新抛物线上，则 ， ， ， 的大小关系是（
）
A． B．C． D．
12．（2024·江西吉安·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 （点 在
点 的左侧），平移该抛物线，使点 平移后的对应点 落在原抛物线的对称轴上，点 平移后的对应
点 落在直线 上，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
13．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于点 ，对称轴为直线 ， 是抛物线对称轴上一动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F
（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则
△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
【考点8】待定系数法求二次函数的解析式；15．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点 的横坐标和纵坐标相等，则称点 为完
美点．已知二次函数 （ 是常数，且 ）的图象上有且只有一个完美点 ，且当
时，函数 的最小值为 ，最大值为1，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形 中，点 、 的坐标分别是 、 ，
点 在抛物线 的图像上，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点9】二次函数综合.
17．（2024·四川泸州·一模）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若抛物线
与线段 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． 且 D． 或
18．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 均在 轴的正半轴
上，顶点 在 轴上方，抛物线 恰好经过点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ，若
的面积为10，则正方形 的边长为（ ）A．6 B．4或5 C．4 D．5
二、填空题
【考点1】一般式化为顶点式并求出顶点坐标、对称轴、最值；
19．（2024·内蒙古·二模）二次函数 中，当 时， 的最小值是 ．
20．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数
（1）若 则函数 的最大值为 ．
（2）若当 时， 的最大值为5，则 的值为 ．
【考点2】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的增减性判断取值范围或比较大小；
21．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么
的取值范围为 ．
22．（20-21九年级上·吉林长春·阶段练习）已知 ， ， 三点都在抛物线
上，比较 、 、 的大小 ．（用“ ”连接）
【考点3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象判断某些特殊式的符号；
23．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点 ，
对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点
和 ，若 且 ，则 ．其中正确的是24．（2024·吉林长春·一模）函数 （a、b、c为常数， ）与 的图象如图所示，给
出下面4个结论：
① ；
② ；
③ ；
④当 时， ．
上述结论中、所有正确结论的序号是 ．
【考点4】二次函数与一次函数图象的综合判断；
25．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线 不经过的象限
是 ．
26．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）“ ”是一款数学应用软件，用“ ”绘制的函数
和 的图象如图所示．若 分别为方程 和 的解，
则根据图象可知a b．（填“ ”“ ”或“ ”）【考点5】二次函数图象的对称性；
27．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数 的对称轴是直线 ，则 的值为
．
28．（23-24八年级下·北京·期中）已知抛物线 经过点 和点 ，则
的最小值是 ．
【考点6】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的平移；
29．（2024·上海·模拟预测）将抛物线 沿直线 方向平移 个单位后的解析式为
．
30．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线
的顶点在线段 上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为 ，则点D的横坐标最大值为 ．
【考点7】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)图象的几何最值；
31．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线 交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，
对称轴是直线 ，点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时点 的坐标为 ．32．（2021·四川绵阳·一模）如图，抛物线 与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于C，在其对称轴上有一动点M，连接MA、MC、AC，则当△MAC的周长最小时，点M
的坐标是 ．
【考点8】待定系数法求二次函数的解析式；
33．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数 的图象过点 ， ， ，
，其中m，n为常数，则 的值为 ．
34．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数 ．
（1）当 ， 时，该函数图象的顶点坐标为 ；
（2）当 时，y的最大值为7；当 时，y的最大值为3，则 ．
【考点9】二次函数综合.
35．（2024·辽宁阜新·二模）如图，抛物线 交x轴于A，B两点，A点在B点右侧，交y轴于
点C，若点P是抛物线上一动点，过点P作 轴交直线 于Q点，y轴上是否存在点E，使以
为顶点的四边形是菱形，则点E的坐标为 ．36．（2024·江苏苏州·二模）已知关于x的二次函数 （a，m为常数，且 ）的
图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点． 的面积与 的面积相等
时，m的值为 ．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数化成顶点式，即可得出答案，能熟记二次函数的
性质的内容是解此题的关键．
【详解】解： ，
∴二次函数 的顶点坐标是 ，
∴二次函数 的顶点在第四象限，
故选：D．
2．D
【分析】先把抛物线转化为顶点式求得顶点坐标为 ，根据坐标轴上点的特征可得 ，
再解方程即可．本题主要考查二次函数的顶点式以及二次函数的性质，掌握配方法，把二次函数化
为顶点式是关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ，
∵顶点在x轴上，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数最值问题，以及不等式性质，弄清楚二次函
数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．由 时，y随x的增大而增大，可得
，即 ；又由二次函数的增减性可知， 时， ， 时，
；根据 ，建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：由题意，抛物线开口向上，
当 时，y随x的增大而增大，对称轴直线 ，即 ．
抛物线上的点离对称轴越远就越大，
又 ，即 ， ，
， 总满足 ， ，
，
当 时， ，
当 时， ．
，
，
解得， ，
．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，学握二次函数与
不等式的关系．
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点与对称轴的距离大小关系求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
5．D
【分析】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与b的关系，以及
二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于x轴负半轴，与x轴
有2个交点，
∴ ， ，
∴ ， ，故②正确；
∴ ，故①错误；
当 时， ，故③正确；
∵ ，
∴ ，即 ，故④正确；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
故选：D．
6．A
【分析】本题考查二次函数图象与性质、二次函数与系数之间的关系，根据二次函数的对称轴即可
判断①；根据抛物线与x轴的两个交点的位置可判断抛物线与y轴交点的位置即可判断②；根据抛
物线与x轴的两个交点的位置可得点 的位置，即可判断③；根据抛物线的对称轴求出顶
点坐标为 ，由此可得 为抛物线的最大值，即可判断④；根据抛物线开
口向下，且对称轴为 ，可得抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在 和 之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在 和 之间，
∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴ ，故②正确；
对于 ，当 时， ，
∵抛物线与x轴的另一个交点在 和 之间，顶点在第二象限，开口向下，
∴点 在第二象限，
∴ ，
由①得， ，即 ，
∴ ，
即 ，故③正确；
对于 ，当 时， ，当 （t为实数）时， ，
∵抛物线对称轴为 ，
∴点 为抛物线的顶点，
又∵抛物线开口向下，
∴ 为抛物线的最大值，
∴ ，
即 ，故④正确；
∵抛物线开口向下，且对称轴为 ，
观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大，
∴ ，故⑤错误；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，本题可先由一次函数 图象得到字母系数的正负，
再与二次函数 的图象相比是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ，得 ，由直线可知， ，故本选项不符合题意．
故选：B
8．B
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据一次函数 的图象
经过第一、二、四象限判断出 、 的符号，从而判断出函数开口方向，对称轴的位置，据此即可
判断．
【详解】解： 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，
， ，
二次函数 的开口向下，对称轴在 轴右侧，且经过原点，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．
根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 且 时，都有 ，
∴ 且 时，都有 ，
∴ 且 ，解得 ；
∴m的取值范围为 ，故选：D．
10．A
【分析】此题考查利用二次函数的对称性，可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的
对称轴对称．求出 ，根据对称性可知图象上横坐标为 的点关于对称轴 对称的
点的横坐标为0，掌握二次函数的对称性是解决问题．
【详解】解：当自变量 取两个不同的值 、 时，函数值相等，则以 、 为横坐标的两点关
于直线 对称，
∴有 ，则 ，
图象上横坐标为 的点关于对称轴 对称的点的横坐标为0．
故选：A．
11．B
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的
图象和性质是解题的关键．
根据题意得出平移后所得抛物线的解析式，再结合抛物线的开口方向及四个点离对称轴的远近即可
解决问题．
【详解】解： ，
原抛物线的对称轴为直线 ，
则平移后所得新抛物线的对称轴为直线 ．
，
平移后所得新抛物线的开口向下，
则新抛物线上的点，离对称轴越远，点的纵坐标越小．
， ， ， ，且 ，
．
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，掌握平移的规律是解题关键．先对抛物线配方，进而得到对称轴为直线 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由平移的
性质可知，点 与点 的纵坐标相等，且 ，进而得到点 的坐标为 ，从而得到
抛物线的平移方式，得出平移后的抛物线的解析式．
【详解】解： ，
抛物线对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
解得 ， ．
点 在点 的左侧，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
由平移的性质可知，点 与点 的纵坐标相等，且 ．
由题意可知点 的横坐标为1，
点 的横坐标为5．
又 点 落在直线 上，
点 的坐标为 ，
需将原抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，
平移后的抛物线的解析式为 ．
故选：D．
13．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求
出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点 的位置，利用勾股定理即可求解，
掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：把点 代入 得， ，
∵抛物线称轴为直线 ，∴ ，
∴ ，
把 代入 得，
，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，连接 ，与对称轴 相交于点 ，
∵点 和点 关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
根据两点之间线段最短，此时 周长的最小，则点 即为所求，
∴ 周长最小值 ，
故选： ．14．C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x
轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF
最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂
题意得到PE=PF．
15．B
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，
利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只
有一个得到判别式等于0，再根据完美点为 ，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数 的解析式，画出函数的图形即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，
整理得 ，
根据题意得 ，
∵二次函数经过点 ，
∴ ，
整理得 ，
解方程组得 ，
∴函数 的解析式为： ，
整理得： ，
函数的图像如下：
∵ 时， 时，解得 或 ，当 时， ，
∴ ，
故选：B．16．D
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点
作 轴，过点 作 于 ，过点 作 于 ，利用三角形全等的即可得
出 点坐标，代入 即可得出 的值．确定点 的坐标是解题关键．
【详解】解：过点 作 轴，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∵点 、 的坐标分别是 、 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵点 在抛物线 的图像上，
∴ ，∴ ，
故选：D．
17．A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关
键．分两种情况讨论：当 时， ，求出 的取值范围；当 时，求出直线 的
解析式，联立方程组 ，由判别式 和函数经过点 结合求出 的取
值范围．
【详解】解：当 时， 时 ， 时， ，
，解得 ，
当 时，设直线 的解析式为 ，
，
，
，联立方程组 ，
，
，
，
，
当 时， ，
，此时抛物线 与线段 有两个不同的交点，
，
综上所述： 或 时，抛物线 与线段 有两个不同的交点，
故选：A．
18．B
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，确定该抛物线的顶点坐标是解题关键．设正方形
的边长为 ，将抛物线解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，过点 作 于点 ，
易知 ，然后结合三角形面积公式建立关于 的一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设正方形 的边长为 ，
即 ，
∵抛物线 ，
∴该抛物线顶点 ，
过点 作 于点 ，如下图，则 ，
∵ 的面积为10，
∴ ，
整理可得 ，
解得 ， ，
∴正方形 的边长为4或5．
故选：B．
19．1
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式得到当 时，y随着x的增
大而增大，即可得到当 时，当 时取最小值，代入求解即可．
【详解】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∴当 时，y随着x的增大而增大，
∴当 时，当 时取最小值，最小值为 ，
故答案为：1
20． 4 1或
【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
（1）由题意可知此时二次函数为 ，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线 ，再分类讨论当 时和
当 时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：（1）当 时，该二次函数为 ，∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴该二次函数的对称轴为直线 ．
当 时，抛物线开口向上，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大．
∵x轴上 到 的距离比 到 的距离大，
∴当 时，y有最大值，
∴ ，
解得： ；
当 时，抛物线开口向下，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，
∴ ，
解得： ．
综上可知a的值为 或 ．
故答案为：1或 ．
21．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物
线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于 时，满足当 时， 随 的增大而减小，由此即
可求解．
【详解】解： 二次函数 ，开口向下，对称轴为直线 ，
时，满足当 时， 随 的增大而减小，
故答案为： ．
22．
【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据题意可知到对称轴越距离越大大的函数值越小即可解答．【详解】解：∵
∴抛物线的对称轴为x=1
∵1-（- ）=1+ ，1-0=1， -1=
∴1-（- ）＞1-0＞ -1
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图像函数值的比较，通过题意得到到对称轴越距离越大大的函数值越
小的结论是解答本题的关键．
23．①②③
【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位
置，抛物线与 轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为 可判
断③；由二次函数的性质可判断④．解题关键是掌握二次函数的图像与性质．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线交 轴于正半轴，
∴ ，
∵对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，故结论①正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，且当 时， ，
∴ 时， ，
即 ，故结论②正确；
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故结论③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，若 且 ，则点 到对称轴的距离小于 到直线的距离，
∴ ，故结论④不正确，
∴正确的是①②③．
故答案为：①②③．
24．①③④
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛
物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
由抛物线的开口方向判断 的符号，由抛物线与y轴的交点判断 的符号，然后根据对称轴及抛物
线与 轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】①由图象可知：抛物线与 轴无交点，即
故此选项正确；
②由图象可知：抛物线过点 ，即当 时, 故此选项错误；
③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点 和 ，
当 时,
当 时, ，
，
故③正确；
④由图象可知，当 时，抛物线在直线 的下方,
即当 时, ，
故此选项正确；
故答案为: ①③④.
25．第二象限
【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数 在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断．
【详解】解：由二次函数的图象可知 ，对称轴在 轴的右侧，可知 、 异号， ，由直线
应经过一、三、四象限，故直线 不经过第二象限．故答案为：第二象限．
26．
【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函
数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
【详解】解：∵方程 的解为函数图象与直线 的交点的横坐标，
的一个解为一次函数 与直线 交点的横坐标，
如图所示：
由图象可知： ．
故答案为： ．
27．
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的
对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．
【详解】解：令 ，解得： ，
即抛物线与x轴的两个交点坐标为 ，
由于抛物线的对称轴是直线 ，即 ，
解得：
故答案为： ．
28．
【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定
，即可得到 ，由抛物线 经过点 和点 得到，结合 即可确定 的最小值．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴点 和点 关于对称轴对称， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 时，t有最小值为： ．
故答案为： ．
29． 或
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下
减”的平移规律是解题的关键．沿直线 方向平移 个单位，相当于向上平移2个单位，
再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案．
【详解】解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
即：直线 经过 ， ，
则 ，
由此可知抛物线 沿直线 方向平移 个单位，
相当于抛物线 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；或抛物线 向下平移2个单位，再向右平移2个单位，
此时平移后的解析式为 ；
综上： 或 ．
30． 4 8
【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线 的顶点坐标为：
，结合顶点在线段 上运动可得 ；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为 ，根
据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段 的最右
端点 处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为： ，
∵顶点在线段 上运动，点A，B的坐标分别为 和 ，
∴ ， ，
当点C的横坐标最小值为 时，抛物线顶点在线段 的最左端点 处，
即对称轴为 ，
此时D点横坐标为5，
当抛物线顶点在线段 的最右端点 处，此时点D的横坐标有最大值，
此时顶点向右平移了与线段 等长的距离，
∵ ，平移前D点横坐标为5，
∴平移后D点横坐标为： ，
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：4，8．
31．
【分析】将 对称至 ，连接 ，与对称轴的交点即为 ，再根据直线 的解析式与对称轴求解
的坐标即可．【详解】解：根据对称轴公式 ，可得： ，解得： ，
即抛物线的解析式为： ，
将 代入得： ，
抛物线的解析式为： ；
顶点坐标 ；
连接 交直线 于点 ，
此时 最小，点 即为所求 ，
由 ， ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
，
解得： ，
∴直线 ：
当 时： ，
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
32．(2， )/
【分析】点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解．
【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所求
点，
连接AC，由点的对称性知，MA=MB，
MAC的周长=AC+MA+MC=AC+MB+MC=CA+BC为最小，
△
令y= x2- x+5=0，解得x=1或x=3，令x=0，则y=5，
故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），
则函数的对称轴为x= （1+3）=2，
设直线BC的表达式为y=kx+b，则
，解得 ，
故直线BC的表达式为y=- x+5，
当x=2时，y=- x+5= ，
故点M的坐标为（2， ）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图像上点的坐标特征、点的对称性等，
利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
33． /【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入 ，
求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把 ， ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
34．
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成
为解题的关键．
（1）将 、 代入二次函数 ，然后再配方即可解答；
（2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得
时， ；当 时， ，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可．【详解】解：（1）当 、 时，
，
∴该函数图象的顶点坐标为 ；
（2）∵ ，
∴顶点坐标为 ，
∵正 中， ，
∴抛物线开口向下，
∵当 时，y的最大值为7；当 时，y的最大值为3，
∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即 ，解得： ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为： ， ．
35． 或 或
【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合问题，分类讨论①当 为菱形的对角线时、②当
为菱形的边时两种情况即可求解．
【详解】解：令 ，解得： ；
令 ，则 ；
∴
∴①当 为菱形的对角线时， 垂直平分 ，如图，
∴
∴
设 解析式为：
则
∴
∴ 解析式是 ，
因为
∴ ，
∴
此时菱形 是正方形．
∴ ．
设 ，则 ，
，
∴ ，解得 （不合题意舍去）或 ，
此时 ，
∴E ．
②当 为菱形的边时，
或 ．解得： ， 舍去
∴ 或
∴ 或
∴E 或E
综上所述，符合条件的点E有三个，坐标为： 或 或
故答案为： 或 或
36． 或 或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出 点和 点的坐标，根据 的面积与 的
面积相等，得到 ，进行求解即可．
【详解】解： ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 的面积与 的面积相等，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 或 ；
故答案为： 或 或
