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专题22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（五大题型）
【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点
式】........................................................................1
【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】..............................................................................3
【 题 型 3 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 的 y 值 大 小 比
较】................................................................8
【 题 型 4 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 的 图 像 问
题】......................................................................11
【 题 型 5 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 图 像 的 变 换 问
题】.........................................................17
【 题 型 6 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 中 a,b,c 系 数 间 的 关
系】.....................................................18
【 题 型 7 ： 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析
式】....................................................................28
【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】
1．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数y=x2−2x−3的顶点坐标是（ ）
A．(1,−3) B．(−1,−2) C．(1,−4) D．(0,−3)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，将抛物线方程化为顶点式是解题的关键．
由y=x2−2x−3=(x−1) 2−4得到二次函数的顶点坐标(1,−4)，即可得到答案．
【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴二次函数y=x2−2x−3的顶点坐标是(1,−4)，
故选：C．1
2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）用配方法将二次函数y=− x2−2x+4化为
2
y=a(x−ℎ) 2+k的形式，则ℎ +k的值是（ ）
A．−6 B．−2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法
求解即可．
1
【详解】解：y=− x2−2x+4
2
1
=− (x2+4x+4−4)+4
2
1
=− (x+2) 2+6，
2
∴ℎ =−2，k=6，
∴ℎ +k=−2+6=4，
故选：D．
3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数y=x2−4x−1配方成
y=a(x+ ℎ) 2+k的形式，结果是（ ）
A．y=(x−2) 2−5 B．y=(x−2) 2−2
C．y=(x+2) 2−5 D．y=(x−1) 2−2
【答案】A
【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．
根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答．
【详解】解：y=x2−4x−1=x2−4x+4−5=(x−2) 2−5．
故选：A．
4．（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数y=x2−2x+4化为y=a(x−ℎ) 2+k的形
式，下列正确的是（ ）A．y=(x−1) 2+2 B．y=(x−1) 2+3
C．y=(x−2) 2+2 D．y=(x+1) 2+3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
根据配方法，把二次函数的解析式转化成顶点式即可求解．
【详解】解：y=x2−2x+4
y=x2−2x+1−1+4
y=(x−1) 2+3，
故选：B．
5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数y=x2−4x−7化为顶点式，下列结果正
确的是（ ）．
A．y=(x−2) 2−11 B．y=(x−4) 2−11
C．y=(x+2) 2−11 D．y=(x+4) 2−11
【答案】A
【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式；将已知的抛物线化为
y=x2−4x−7=x2−4x+4−11=(x−2) 2−11，即可作答．
【详解】解：依题意，y=x2−4x−7=x2−4x+4−11=(x−2) 2−11，
故选：A．
6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=x2−4x+3配方后化为
y=(x−ℎ) 2+k的形式为 ．
【答案】y=(x−2) 2−1
【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化
为顶点式，即可求解．
【详解】解：y=x2−4x+3=x2−4x+4−4+3
=x2−4x+4−1
=(x−2) 2−1
故答案为：y=(x−2) 2−1.
7．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=x2−4x+3配方后化为
y=(x−ℎ) 2+k的形式为 ．
【答案】y=(x−2) 2−1
【分析】本题考查了把二次函数解析式化为顶点式，利用配方法把二次函数解析式化
为顶点式，即可求解．
【详解】解：y=x2−4x+3
=x2−4x+4−4+3
=x2−4x+4−1
=(x−2) 2−1
故答案为：y=(x−2) 2−1.
【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】
1．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到
新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y=2x2+1 B．y=2x2−1
C．y=2x2−2x D．y=2(x+1) 2+4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移．将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函
数的平移规则“左加右减”即可得到答案．
【详解】解：∵y=2x2−4x+3=2(x−1) 2+1，
∴抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到新的抛物线为y=2x2+1．故选：A
2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数y=x2−x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函
1 1 (1 1)
数图象的开口向上，对称轴为直线x= ，函数的最小值为− ，顶点坐标为 ,− ，
2 4 2 4
当x=0时，y=0，由此即可得解．
【详解】解：∵y=x2−x= ( x− 1) 2 − 1 ，
2 4
1 (1 1)
∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x= ， 顶点坐标为 ,− ，在x轴的下
2 2 4
方，故ABD错误，
当x=0时，y=0，因此图象经过原点，故C正确；
故选：C．
3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线y=−x2−2x+4的图像与性质，下
列结论错误的是（ ）
A．形状与抛物线y=−x2相同 B．对称轴是直线x=−1
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．该抛物线与x轴没有交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上
知识点是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解．
【详解】解：A、抛物线y=−x2−2x+4与抛物线y=−x2二次项系数相等，所以形状
相同，该选项正确，故不符合题意；
b −2
B、该抛物线对称轴为x=− =− =−1，该选项正确，故不符合题意；
2a 2×(−1)
C、该抛物线的对称轴为x=−1，开口向下，所以当x>−1时，y随x的增大而减小，该
选项正确，故不符合题意；D、因为y=−x2−2x+4=−(x+1) 2+5，顶点坐标为(−1,5)，开口向下，所以与x轴有
交点，故该选项错误，故符合题意；
故选：D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0
）的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … −2 0 3 5 …
y … 5 −3 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x=1
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．当0− B．m≥ C．m<− D．− 0
1 1
解得：− 0，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意．
B、∵y=x2−2x+3=(x−1) 2+2，
∴对称轴是直线x=1，故B不正确，不符合题意；
C、∵函数开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，故C正确，符合题意；
D、∵y=(x−1) 2+2，∴顶点坐标为(1,2)，
∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意．
故选：C．8．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几
组对应值如表，则下列结论正确的是（ ）．
x … −6 −4 −2 0 3
y … −21 −5 3 3 −12
A．当x<−2时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是(−2,3)
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再
根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：x=−2和x=0时的函数值相同，
−2+0
∴对称轴为直线x= =−1，
2
由表格可知：当x<−1时，y随着x的减小大而减小，x>−1时，y随着x的增大而减小，
故A正确，符合题意；
∴抛物线的开口向下，
∵函数图象过点(0,3)和(−2,3)，且函数图象的开口向下，选项B错误，不符合题意；
∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与y轴交于正半轴，与x轴的两个交点
分别在x的正半轴和负半轴上，
∴函数图象过一，二，三，四象限，选项C错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1；
∴抛物线的顶点的横坐标为−1，不是−2，选项D错误，不符合题意；
综上：只有选项A正确，符合题意；
故选A．
【题型3：二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）抛物线y=x2+4x+3上有三点A(−3,y )，
1
B(−2,y )，C(1,y )，则（ ）
2 3
A．y y >y B．y >y = y C．y = y >y D．y >y >y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函
数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．根据函数解析式的特点，其对
称轴为x=1，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值
越大，可判断y ,y ,y 的大小关系．
1 2 3
【详解】解：∵y=−x2+2x+c，−1<0，
2
∴对称轴为x=− =1，开口向下，
2×(−1)
∵|(−2)−1)=3，|2−1)=1，|6−1)=5，
∴y >y >y ．
2 1 3
故选：D．
3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点P (−1,y )，P (3,y )，P (6,y )都在二次
1 1 2 2 3 3函数y=−2x2+4x图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y = y
3 2 1 3 1 2
C．y >y >y D．y = y >y
1 2 3 1 2 3
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函
数的对称性及增减性．根据函数解析式，求出对称轴x=1，根据函数对称性进行判断
即可．
【详解】解：∵ y=−2x2+4x，
4
∴对称轴x=− =1，开口向下，
2×(−2)
P (3,y )，P (6,y )在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
2 2 3 3
∵3<6，
∴y >y ，
2 3
根据二次函数图像的对称性可知，P (−1,y )与P (3,y )关于对称轴对称，
1 1 1 1
故y = y >y ，
1 2 3
故选：D．
4．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）已知A(−1,y ),B(1,y ),C(0,y )三点都在二次函
1 2 3
数y=−(x−2) 2+m的图象上，则y ,y ,y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y −1−(−2)>−1−(−1)，
∴y y >y
2 3 1 1 3 2
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质，进行判断即
可．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵|−2−1)>|3−1)>|2−1)，
∴y 0时，
二次函数y=a(x2+2)的图象开口向上，与y轴交于点(0,2a)，点(0,2a)在y轴的正半
轴上，一次函数y=a(x+2)的图象经过第一、二、三象限；
当a<0时，
二次函数y=a(x2+2)的图象开口向下，与y轴交于点(0,2a)，点(0,2a)在y轴的负半
轴上，一次函数y=a(x+2)的图象经过第二、三、四象限．
故答案选C
2．（2025·广东云浮·一模）二次函数y=ax2+ax与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，分a>0和a<0两种情况根据二次
函数与一次函数图象分析判断即可得解．熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关
键，注意分情况讨论．
a 1
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=− =− ，对称轴在y轴左侧，
2a 2
∴A和B选项不正确；
a<0时，抛物线开口向下，一次函数y=ax+a经过第二、三、四象限，与y轴正半轴
的交于点(0,a)，
∴C选项不正确；
a>0时，抛物线开口向上，一次函数y=ax+a经过第一、二、三象限，与y轴正半轴
的交于点(0,a)，
∴D选项正确．
故选：D．
3．（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数y=(m−n)x+n的图像如图所示，则二次函数
y=mx2+nx的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函
数的图象与系数的关系，难度不大．
利用一次函数的图象的性质确定m,n b的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及
对称轴的位置判断正确选项．
【详解】解：由一次函数的图象可知m−n<0,n<0，∴m<0,n<0，
∴二次函数y=mx2+nx，开口向下，对称轴在y轴的左侧，且经过原点，
当x=−1时，y=mx2+nx=m−n<0，
∴满足条件的函数图象只有C，
故选：C．
4．（24-25九年级下·上海·阶段练习）函数y=ax+b与y=ax2+bx在同一个平面直角坐标
系中的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象判断．根据一次函数的图象和二
次函数的图象分别得出a和b的符号，比较即可求解．
【详解】解：当x=0时，y=ax2+bx=0，函数y=ax2+bx经过原点，故A不符合题
意；
B、对于y=ax+b，则a>0，b>0，b
而对于y=ax2+bx的对称轴x=− >0，开口向上a>0，则b<0，故B不符合题意；
2a
C、对于y=ax+b，则a<0，b>0，
b
而对于y=ax2+bx的对称轴x=− >0，开口向下a<0，则b>0，故C符合题意；
2a
同理，D不符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数y =ax+1(a≠0)和二次函数y =−2x2+a在同
1 2
一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数
y =ax+1(a≠0)图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =−2x2+a的图象相比是
1 2
否一致．
【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向下，抛物线与y
轴交点可知，a<0，故本选项不符合题意；
B．由直线经过一、二、三象限，则a>0，抛物线与y轴交点可知，a<0，且抛物线开
口向上，故本选项不符合题意；
C．由直线经过一、二、四象限，则a<0，抛物线开口向下，抛物线与y轴交点可知，a>0，故本选项不符合题意；
D．由直线经过一、二、三象限，则a>0，抛物线开口向下，抛物线与y轴交点可知，
a>0，故本选项符合题意；．
故选：D．
6．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c在同一
坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，根据二次函数
的图象与性质与一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解
此题的关键．
【详解】解：A、由二次函数图象可得a>0，c<0，由一次函数图象可得a<0，c<0，
故不符合题意；
B、由二次函数图象可得a>0，c>0，由一次函数图象可得a>0，c>0，两函数与y轴
交于同一点，故符合题意；
C、由二次函数图象可得a<0，c>0，由一次函数图象可得a<0，c<0，故不符合题意；
D、由二次函数图象可得a<0，c>0，由一次函数图象可得a>0，c>0，故不符合题
意；
故选：B．
7．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2−bx与
一次函数y=ax−b的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函
数与一次函数图象的特点与其系数的关系．先求出二次函数图象与x轴的交点，一次
函数图象与x轴的交点，得出一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，
且不是原点，然后进行判断得出即可．
【详解】解：令ax2−bx=0，
b
解得：x =0，x = ，
1 2 a
(b )
∴二次函数y=ax2−bx与x轴的交点坐标为(0,0)或 ,0 ，
a
令ax−b=0，
b
解得：x= ，
a
(b )
∴一次函数y=ax−b与x轴的交点坐标为 ,0 ，
a
∴一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，
四个选项中，只有C选项中符合一次函数图象与二次函数图象有一个交点在x轴上，
∴二次函数y=ax2−bx与一次函数y=ax−b的图像可能C选项中的图象．
故选：C．
【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】
1
1．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）怎样移动抛物线y=− x2 就可以得到抛
2
1
物线y=− (x+1) 2−2（ ）
2
A．左移1个单位、上移2个单位 B．左移1个单位、下移2个单位
C．右移1个单位、上移2个单位 D．右移1个单位、下移2个单位
【答案】B【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可判断．
1
【详解】解：由抛物线y=− x2 ，左移1个单位长度，下移2个单位长度，可得到抛
2
1
物线y=− (x+1) 2−2，
2
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是
解题的关键．
2．（23-24九年级上·全国·课后作业）抛物线y=3x2+2是由抛物线y=3(x+1) 2+1怎样平
移得到的（ ）
A．左移1个单位长度，上移1个单位长度 B．右移1个单位长度，上移1个单位长
度
C．左移1个单位长度，下移1个单位长度 D．右移1个单位长度，下移1个单位长
度
【答案】B
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：由抛物线y=3(x+1) 2+1右移1个单位长度，上移1个单位长度得到抛
物线y=3x2+2．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下
减．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）将二次函数y=3x2的图象向右移1个单位，再
向上移2个单位后所得函数的关系式为（ ）
A．y=3(x+1) 2−2 B．y=3(x−1) 2−2
C．y=3(x+1) 2+2 D．y=3(x−1) 2+2
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数左加右减，上加下减的
平移规律是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律进行求解即可．【详解】解：将二次函数y=3x2的图象向右移1个单位，再向上移2个单位后所得函
数的关系式为y=3(x−1) 2+2，
故选：D
【题型6：二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】
1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）关
于直线x=1对称．下列四个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④
am2+bm>a+b．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练
掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a>0，c<0，根据对称轴为直线x=1得出
b=−2a<0，即可判断①；由对称轴为直线x=1得出2a+b=0，即可判断②；由抛物
线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④．
b
【详解】解：根据图象可知，a>0,c<0,− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
根据b=−2a，可得2a+b=0，故②正确；
∵当x=0时，y<0，对称轴为直线x=1，
∴当x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，故④错误．
综上所述，其中正确的有2个．故选：C．
2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②2a−b=0；③b2−4ac>0；④
a−b+c<0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，根据抛物线开口方向判断a的
符号，根据对称轴及与y轴交点坐标判断b和c的符号，据此可判断①的正误；根据
对称轴是直线x=1判断②的正误；根据函数在x=−1的函数值判断④的正误；根据抛
物线与x轴交点的个数判断③的正误解答即可．
【详解】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴a，b异号，即b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①错误；
∵对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，即b=−2a，
2a
∴2a+b=0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故③正确；
∵当x=−1时，函数值为负值，
∴y=a−b+c<0，故④正确；
故选：B．3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标分别
为(−1,0)，(3,0)，有以下结论：①abc<0；②4a+b<0；③2c+b>0；④
5a+b+c=0．其中结论正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，
熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．由由图象可知a>0，c<0，再根据与x轴
的交点，得出b=−2a<0，可判断①②结论；根据交点坐标(−1,0)得出c=−3a，可
判断③④结论．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴a>0，c<0，
∵抛物线与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，(3,0)，
−1+3 b
∴对称轴为直线x= =1，即− =1，
2 2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，①结论错误；
4a+b=4a−2a=2a>0，②结论错误；
∵抛物线与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a=−3a，
∴2c+b=−6a−2a=−8a<0，③结论错误；
5a+b+c=5a−2a−3a=0，④结论正确；
故选：A．
4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观
察得出了下面四条结论：①a<0；②b>0；③a−b+c>0；④ 2a+b<0．你认为
其中正确结论的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答
本题的关键．
b
①由抛物线的开口方向可判断a的正负；②由图象知对称轴x=− >0，再结合a的
2a
正负即可判断b的正负；③当x=−1时，y<0，即a−b+c<0；④由图象知抛物线的
b b
对称轴是直线x=− ，且− <1，再结合a<0，可得−b>2a，移项即可判断．
2a 2a
【详解】解：①由图象知二次函数开口向下，
∴a<0，故①正确；
② ∵抛物线的对称轴位于y轴右侧，
b
∴− >0，
2a
∵a<0，
∴b>0，故②正确；
③当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，故③错误；
b b
④由图象知抛物线的对称轴是直线x=− ，且− <1，
2a 2a
∵a<0，
∴−b>2a，
∴2a+b<0，故④正确；
综上，正确的结论有：①②④，个数有3个，
故选：C．
5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
所示，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b<0；④m为任何实数时，都有：m(am+b)≤a+b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握图象开口的性质，对称轴直线
b
x=− 是解题的关键．根据图示可得a<0,c>0，由对称轴直线可得b=−2a>0，可
2a
判断①；由抛物线与x轴有交点可判断②；由b=−2a可判断③；由函数有最大值，对
自变量取任意实数m，其函数值不小于最大值，可判定④，即可作答．
【详解】解：根据图示，二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0,c>0，
b
∵对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①说法是正确的；
∵b=−2a，
∴2a+b=0，故③说法是错误的；
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故②说法是正确的；
∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，二次函数有最大值，最大值为y=a+b+c，
∴对于任意实数m，都有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，
∴a+b≥m(am+b)，故④说法是正确的；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点
1
(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<
2
时，y随x的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开
口方向确定①③，根据x=−2时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函
数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，故正确；
②x=−2时，函数值小于0，则4a−2b+c<0，故正确；
b −1+2 1
③与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x=− = = ，故a=−b，即
2a 2 2
a+b=0，故③正确；
1
④当x< 时，图象位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
2
综上所述，正确的为①②③，有3个．
故选：C．
7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点
A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，以下结论：①abc>0；②当x>0时，y随x的增
大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm；其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据二次函数的图象经过A(−1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将
(−1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断；②由对称轴和函数的
图像可以判断；③算出a和c的关系即可；④当x=1时，y =a+b+c即可判断；
最大
【详解】∵二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(3，0)，
b −1+3
∴对称轴x=− = =1,a−b+c=0，
2a 2
∴b=−2a，c=−3a，
∵二次函数的图象开口向下，
∴a<0，
∴c=−3a>0，b=−2a>0，∴abc＜0，故①错误；
b
∵二次函数的图象开口向下，对称轴x=− =1，
2a
∴当01时，y随x的增大而减小；故②错误；
∵c=−3a，
∴3a+c=0，故③正确；
由题意可知：当x=1时，y =a+b+c，
最大
当x=m时，y= am2+bm+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm故④正确；
正确的是：③④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的
最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象( 1 )
经过点 − ,0 ，其对称轴为直线x=1．下面是5个结论：①abc<0；②
2
a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤am2+bm．其中正确的结论
有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可求
出答案．
【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0
又对称轴在y轴右侧，
b
∴− ＞0，
2a
∴b＜0，
∵抛物线与y轴负半轴相交，
∴c＜0，
∴abc>0，故①错误；
( 1 ) 1 1
②∵图象经过点 − ，0 ，代入到解析式中得： a− b+c=0，两边同时乘以
2 4 2
4，得：a−2b+4c=0，故②正确；
b
③∵对称轴为直线x=1，即− =1，
2a
∴b=−2a,b+2a=0，
故③错误；
5
④由②③得：a−2b+4c=0，b=−2a,则c=− a，
45 7
故2c−3b=− a+6a= a>0，故④错误；
2 2
⑤当x=1时，函数取得最小值，即a+b+c≤am2+bm+c=m(am+b)+c,
∴a+b≤am2+bm
故⑤正确；
综上，共2个正确．
故选：C．
9．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结
(1 ) 1
论：①abc>0；②4ac0；④其顶点坐标为 ,−2 ；⑤当x< 时，
2 2
y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0；⑦方程ax2+bx+c=−4有实数解．其中结论正
确的序号为 ．
【答案】①②③⑤
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与
一元二次方程的关系等知识点．①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即
可判断；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断；③根据抛物线的对称轴即可判断；
④根据抛物线与y轴的交点和顶点坐标即可判断；⑤根据抛物线的性质即可判断；⑥
9
根据当x=1时y的值即可判断；⑦先说明二次函数y=ax2+bx+c的最小值为− ，则
4
抛物线与y=−4没有交点即可判断．
【详解】解：①∵抛物线开口方向向上，
∴a>0，
b
∵对称轴x=− >0，
2a
∴b<0，∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为−2，
∴c=−2<0，
∴abc>0，即①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c=0有两个不同的解，
∴Δ>0，即b2−4ac>0，
∴4ac0，即③正确；
④∵抛物线与y轴的交点坐标为(0,−2)，
∴抛物线的顶点的纵坐标不能为−2，即④错误；
⑤∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标为−1,2，
−1+2 1
∴抛物线的对称轴为：x= = ，
2 2
根据抛物线的性质可知：
1
∴当x< 时，y随x的增大而减小，即⑤正确；
2
⑥由函数图象可知：当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，即⑥错误；
⑦由图象可得：抛物线过点A(−1,0),B(2,0),C(0,−2)，
{
0=a−b+c
) {
a=1
)
则 0=4a+2b+c ，解得： b=−1 ，
c=−2 c=−2
∴y=x2−x−2= ( x− 1) 2 − 9 ，
2 4
9
∴二次函数y=ax2+bx+c的最小值为− >−4，
4
∴二次函数y=ax2+bx+c与y=−4无交点，
∴方程ax2+bx+c=−4无实数解，即⑦错误．
故答案为①②③⑤．
【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过(−3,0),(1,0),(0,3)三点，
则该抛物线对应的函数表达式为 ．
【答案】y=−x2−2x+3
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是根据抛物线与
x轴的交点设出合适的函数表达式形式．
已知抛物线与x轴的两个交点坐标(−3,0)，(1,0)，设出交点式，再代入点(0,3)求出
a的值，进而得到函数表达式．
【详解】设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+3)(x−1)．
把(0,3)代入，得−3a=3，解得a=−1，
∴抛物线对应的函数表达式为y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3．
2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(1,1)和点
(−1,1)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标；
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)y=x2
(2)(0,0)
(3)当x<0时，y随x的增大而减小
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析
式是解题的关键．
{a+b=1)
（1）将点(1,1)和(−1,1)代入y=ax2+bx中，得 ，进行计算即可得；
a−b=1
（2）由表达式即可得到顶点坐标；
（3）根据二次函数的性质得即可得．
【详解】（1）解：将点(1,1)和(−1,1)代入y=ax2+bx中，得
{a+b=1)
a−b=1
{a=1)
解得
b=0
则该二次函数表达式为y=x2；
（2）解：∵y=x2∴顶点坐标为(0,0)；
（3）解：根据二次函数的性质得，当x<0时，y随x的增大而减小．
3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为(−1,0)，图像与y轴的交于
点A(0,−2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大．
【答案】(1)y=−2(x+1) 2
(2)当x<−1时，y随x增大而增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的
关键；
（1）根据抛物线的顶点坐标为(−1,0)，设抛物线解析式为y=a(x+1) 2，将A(0,−2)
代入求解即可；
（2）根据二次函数的性质，即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为(−1,0)，
设抛物线解析式为y=a(x+1) 2，
把A(0,−2)代入得a×(0+1) 2=−2，
解得a=−2，
所以抛物线解析式为y=−2(x+1) 2；
（2）解：当x<−1时，y随x增大而增大．
4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，
点B(−1,0)
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】(1)y=x2+4x+3；
(2)y=(x+5) 2−2．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移．
（1）利用待定系数法求解即可；（2）先配方成顶点式，再根据“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，点B(−1,0)，
{ c=3 )
∴ ，
1−b+c=0
{c=3)
解得 ，
b=4
∴该二次函数的解析式为y=x2+4x+3；
（2）解：∵y=x2+4x+3=(x+2) 2−1，
∴将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
平移后的抛物线的解析式为y=(x+2+3) 2−1−1，即y=(x+5) 2−2．
5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线L:y=ax2+bx+c(a≠0)，经过A(3,0)，
B(−1,0)，C(0,3)三点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)当x<1时，函数y随x的增大而增大
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数，二次函数的图象和性质，正确求得二
次函数的解析式是解题的关键．
（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x−3)，然后把
C(0,3)代入求出a即可；
（2）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）
解：由于抛物线经过A(3,0)，B(−1,0)，
则可设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,3)代入得−3a=3，解得a=−1，
所以抛物线解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；
b
（2）解：对称轴为直线x=− =1，
2a
由于a=−1<0，则二次函数开口向下，
∴当x<1时，函数y随x的增大而增大．1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为
(1,3)，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x−1) 2+3 B．y=(x+1) 2+3
C．y=(x−1) 2−3 D．y=(x+1) 2−3
【答案】A
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点式，结合已知条
件直接求解．
【详解】解：设抛物线的顶点式为y=a(x−ℎ) 2+k，其中(ℎ,k)为顶点，a为二次项
系数，
∵二次项系数为1，顶点坐标为(1,3)，
∴y=(x−1) 2+3，
故选：A．
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线y=x2+2x+3关于直线x=4对称后所
得抛物线的解析式是 ．
【答案】y=x2−18x+83
【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把y=x2+2x+3整理得
y=(x+1) 2+2，则顶点坐标为(−1,2)，结合(−1,2)关于直线x=4对称后所得(9,2)，则
y=(x−9) 2+2，即可作答．
【详解】解：依题意，y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1) 2+2，
∴抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标为(−1,2)，
则[4−(−1))+4=9∴(−1,2)关于直线x=4对称后所得(9,2)，
则y=(x−9) 2+2=x2−18x+83
故答案为：y=x2−18x+83．
3．（2025·山东淄博·一模）已知二次函数y=x2−3x+2，当1≤x≤3时，y的取值范围为
．
1
【答案】− ≤ y≤2
4
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
由y=x2−3x+2= ( x− 3) 2 − 1 得到当x= 3 时，函数的值最小，最小值为y=− 1 ，当
2 4 2 4
( 3) 2 1 1
x=3时，函数值最大，最大值为y= 3− − =2，得到− ≤ y≤2，即可得到答
2 4 4
案．
【详解】解：∵ y=x2−3x+2= ( x− 3) 2 − 1 ，
2 4
3 1
∴当x= 时，函数的值最小，最小值为y=− ，
2 4
∵1≤x≤3，
( 3) 2 1
∴当x=3时，函数值最大，最大值为y= 3− − =2，
2 4
1
∴y的取值范围为− ≤ y≤2，
4
1
故答案为：− ≤ y≤2．
4
4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交
于点A(−4,−5)，B(1,−2)，则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为 ．【答案】x =−4，x =1
1 2
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据
交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据A，B两点的横坐标和函数的图象得
出方程的解即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−4,−5),B(1,−2)，
∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x =−4,x =1，
1 2
故答案为：x =−4,x =1．
1 2
