22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（知识解读+达标检测）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2025版

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴和最值问题】 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】把二次函数 化为顶点式为 ． 【变式1-2】把二次函数 用配方法化成 的形式是 ． 【变式1-3】二次函数 化为 的形式为 ． 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴】 【典例2】抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线 ，顶点是 【变式2-1】二次函数 的对称轴是直线 ． 【变式2-2】把抛物线 化成 的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【变式2-3】抛物线 的顶点关于原点对称的点的坐标是（ ）A． B． C． D． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象， 可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 增减性 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y 随x的增大而增大；在对称轴的右侧，b b x x 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例3】关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与 轴有两个交点 【变式3-1】关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于点 D．与x轴有两个交点 【变式3-2】关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点 在函数图象上，当 时， D．函数值y随x的增大而增大 【变式3-3】已知二次函数 ，当 时， 的取值范围为 ． 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例4】已知点 ， ， 都在抛物线 上，则 下列选项正确的是（ ）A． B． C． D． 【变式4-1】若 为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点 在二次函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知点 在抛物线 上，则 的大小关 系是（ ） A． B． C． D． 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【典例5】已知二次函数 ，当 时， 的最大值为9，则 的值为 ． 【变式5-1】已知二次函数 （其中 ），当 时， 的最大值是 4，则 的值为 ． 【变式5-2】已知二次函数 ，在 有最大值7，则所有满足条 件的实数 的值为 ． 【变式5-3】已知二次函数 ，当 时， ，则 的取值范围是 .【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【典例6】函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象 可能是（ ）A． B． C． D． 【变式6-3】一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点4 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 y=ax2 +bx+c （1）上下平移 若原函数为 {向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m 向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移y=ax2 +bx+c 若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式 y=a(x−h) 2 +k 然后再进行相应的变形 {若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k 若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【典例7】若将函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物 线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的 抛物线的函数关系表达式为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】将二次函数 的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单 位长度后得到的图象的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 的值可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点5 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例8】如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，结合图象分析如下结论：① ；②当 时， 随 的增大而增大；③ ；④ ．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】如图，二次函数 的图象与x轴负半轴交于 ，对称轴为 ，有以下结论：① ；② ；③若点 ， 均在函 数图象上，则 ；④对于任意实数m，都有 ．其中结论正确的有 （ ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-2】已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象如图所示， 其对称轴为直线 ，且经过点 ．给出下列结论：① ；② ③ ．正确的是（ ） A．①② B．①②④ C． D． 1．已知二次函数y=2x2-4x+5，若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）A．x≤1 B．x≥1 C．x≤2 D．x≥2 2．在二次函数y=x2-4x+5中，当0y >y B．y >y >y 1 2 3 3 2 1 C．y >y >y D．y >y >y 1 3 2 3 1 2 4．关于抛物线y=x2-4x+4，下列说法正确的是（ ） A．顶点坐标是(-2,0) B．对称轴是直线x=2 C．抛物线有最高点 D．抛物线与x轴有两个交点 5．二次函数． y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax-b的图象大致是 （ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线 y=-(x-n)²-1(n为常数)，当1≤x≤4时，其对应的函数值最大为-10， 则n的值为（ ） A．-2或7 B．1 或7 C．4 D．-2 或4 7．如图，二次函数 的图象与 轴相交于 ， 两点， y=ax2+bx+c(a≠0) x A(-1，0) B(2，0) 则以下结论：①ac<0；②对称轴为x=1；③2a+c=0；④a+b+c>0．其中正确的个数 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．41 8．已知二次函数y=x2-2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x> 时，y随x 2 的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ） 3 1 3 1 3 1 A．m>- B．n≤ C．-