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专题 22.3 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图象和性质之八大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】...........................................................................................................1
【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】...................................................................................................2
【考点三 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】...........................................................................................8
【考点四 求二次函数与x轴的交点坐标】...................................................................................................11
【考点五 求二次函数与y轴的交点坐标】...................................................................................................13
【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】......................................................................................14
【考点七 二次函数的平移】..........................................................................................................................15
【考点八 根据二次函数的增减性求最值】..................................................................................................17
【过关检测】...................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】
例题：（2023·北京海淀·校考一模）将二次函数 化成 的形式，结果为
．
【答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
【变式训练】1．（2023·山西晋中·统考一模）将抛物线 化成顶点式为 ．
【答案】
【分析】根据配方法可把二次函数的一般式化为顶点式．
【详解】解：由抛物线 可化为顶点式为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
2．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）二次函数 图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】将该二次函数解析式化为顶点式，解进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴该函数图象的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数图象的顶点坐标，解题的关键是掌握将二次函数解析式化为顶点式的
方法和步骤．
3．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）二次函数 的图象开口向 ，顶点坐标为
．
【答案】 上
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，故答案为：上， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键．
【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】
例题：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数 ．
(1)将函数关系式化为 的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
x ··· 0 1 2 3 ···
y ··· ···
(3)当 时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【答案】(1) ，对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解：列表如下：x ··· 0 1 2 3 ···
y ··· 0 3 4 3 0 ···
函数图象如下所示：
（3）解：由函数图象可知，当 时， ．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，画二次函数图象，图象法求函数值的取值范围等
等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …
(3)若该抛物线上两点 ， 的横坐标满足 ，试比较 与 的大小．
【答案】(1) ，(2)填表见解析，画图见详解
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴 ，代入对称轴的值即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，
连线即可；
（3）根据函数图像的特点即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 中， ，
∴对称轴为 ，顶点坐标公式中横坐标为 ，
∴顶点坐标的纵坐标的值为 ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ， ．
（2）解：抛物线 中自变量的取值范围为全体实数，自变量适当如图所示（答案不唯一），
… …
… …
描点、连线如图所示，
（3）解：由（2）可知，当 时，函数值随自变量的增大而增大，
∴横坐标满足 时，两点 ， 中，
∴当 时， ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合知识，掌握二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法，绘图
的方法，二次函数图像的性质是解题的关键．2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数 ．
(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系 中（如图），画出这个二次函数的图像；
(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．
【答案】(1)顶点坐标
(2)见解析
(3)这个二次函数图像在对称轴直线 左侧部分是下降的，右侧部分是上升的
【分析】（1）将函数解析式化为顶点式，即可得出答案；
（2）先求出几个特殊的点，然后描点连线即可；
（3）根据（2）函数图像，即可得出结果．
【详解】（1）解：（1）
∴二次函数的顶点坐标 ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
经过点 ， ，
顶点坐标为：
图像如图所示：（3）解：这个二次函数图像在对称轴直线 左侧部分是下降的，右侧部分是上升的．
【点睛】本题主要考查二次函数的基本性质及作图方法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线 ．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；
x … 0 1 2 3 4 5 …
… 0 …
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【答案】(1) ，1，0，绘图见解析
(2)抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为
【分析】（1）将 分别代入函数解析式中，求出相应的y的值即可；
（2）根据（1）中的图象，可以直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ；当 时， ；
补全表格如下∶
x … 0 1 2 3 4 5 …… 0 1 0 …
抛物线如图所示；
（2）解：由图象得，
该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键．
【考点三 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】
例题：（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性对各选项分析判断即可．
【详解】解：由抛物线 ，可知：
，抛物线开口向上，因此A选项正确；
抛物线的对称轴为直线 ，因此B选项正确；
当 时，y的值最小，最小值是2，所以抛物线的顶点坐标是 ，因此C选项正确；
因为 ，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 ，因此 时，y随x的增大而增大，因此D选
项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式 是解题的关键．【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级专题练习）关于抛物线 的判断，下列说法正确的是（ ）．
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．在抛物线对称轴左侧， 随 增大而减小 D．抛物线顶点到 轴的距离是2
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线 可知： ，开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时， ，所以顶点坐标为 ，故抛物线顶点
到x轴的距离是2；
综上所述只有D选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中
错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
B． 的最小值为 ．
C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小．
D．它的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．
【答案】D
【分析】根据题意，二次函数 ，可以知道函数开口向上，对称轴为 ，顶点
为 ，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误．
【详解】 二次函数 ， ，
该函数开口向上，对称轴为 ，顶点为 ，A选项正确；当 时， 有最小值 ，B选项正确；
当 时， 的值随 值的增大而增大，
当 时， 的值随 值的增大而减小，C选项正确；
根据平移的规律， 的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：
，D选项错误；
故选：D．
【点睛】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知识是解
题的关键．
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
A．点 在该函数的图象上
B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
当 时： ，
∵ ，
∴ ，
即：点 不在该函数的图象上，故A选项错误；
当 时， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，∴当 时， 有最大值为 ，
当 时， 有最小值为 ，
∴ ，故B选项错误；
∵ ，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当 时，抛物线的对称轴为： ，
∴该函数图象的对称轴一定在直线 的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【考点四 求二次函数与x轴的交点坐标】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线 与 轴交点坐标为
__________．
【答案】
【分析】令 ，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令 ，即 ，
解得
则抛物线与x轴的交点坐标为 ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数 图象与 轴的交点坐标为_________．【答案】
【分析】令 ，解方程即可求解．
【详解】解：令 ，得 ，
解得： ，
∴二次函数 图象与 轴的交点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与 轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数 的图象交x轴于点A，B．则点 的距离
为________．
【答案】10
【分析】令 ，可得方程 ，解方程即可求解．
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．
【考点五 求二次函数与y轴的交点坐标】
例题：（2023·上海·一模）抛物线 与y轴交点的坐标为____．
【答案】
【分析】把 代入抛物线 ，即得抛物线 与 轴的交点．【详解】解： 当 时，抛物线 与 轴相交，
把 代入 ，求得 ，
抛物线 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握 轴上点的横坐标为0是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线 与y轴的交点坐标为______．
【答案】
【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当 时， ，
所以抛物线 与y轴的交点坐标为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
2．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）二次函数 的图象与 轴交点坐标是________．
【答案】
【分析】令 ，求出对应的函数值y，即可解答．
【详解】解：当 时， ，
∴二次函数 的图象与 轴交点坐标是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关
键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线 与 轴的交点坐标是______ ，与 轴的交点坐标是
_______ ．【答案】 ，
【分析】根据题意，令 ，然后求出 的值，即可以得到抛物线 与 轴的交点坐标；令
，求出 的值，即可求出抛物线 与 轴交点的坐标．
【详解】解：令 ，
得 ，
抛物线 与 轴的交点坐标是： ，
令 ，
即 ，
解得 ， ，
所以抛物线 与 轴交点的坐标是 ， ．
故答案为： ； ， ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，难度不大．
【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】
例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线 经过点 、 ，那么此抛
物线的对称轴是______．
【答案】
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知两点关于对称轴对称，再根据中点坐标公式求出这两点横
坐标的中点坐标即可．
【详解】解： 点 、 的纵坐标都是6，
∵
抛物线的对称轴为直线 ，
∴
故答案为： ．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上的两点坐标的关系是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）若 ， 在抛物线
上，则m的值为_______________．
【答案】1
【分析】根据抛物线的对称性即可求解．
【详解】解：因为点 ， 的纵坐标相同，都是5
所以对称轴为直线
故m的值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象的对称性是解题的关键．
2．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数 的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【答案】
【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
【详解】解：由图表可知： 时， ， 时， ，
二次函数的对称轴为 ，
故答案为： ．
【点睛】题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
【考点七 二次函数的平移】
例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度平移后图象的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
得 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．掌握此规律解题
是本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式是______．
【答案】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式
为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．
2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个
单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为_______．
【答案】12
【分析】先根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减得出平移后的抛物线的解析式，再求解新函数与
y轴交点的纵坐标即可．
【详解】解：∵ ，∴将此二次函数向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新二次函数为 ，
当 时， ；
∴新函数图象与y轴交点的纵坐标为12；
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线 先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，
所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．
【答案】
【分析】根据上加下减，左加右减的规律即可求解．
【详解】解：抛物线平移后解析式为 ，
即 ，
所以新的抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线的平移与求顶点坐标，需掌握以下两点：1.抛物线的平移规律是上加下减，左
加右减；2.抛物线的顶点式解析式为 ，其中顶点为 ．
【考点八 根据二次函数的增减性求最值】
例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数 的最
大值是___________，最小值是___________．
【答案】 5 1
【分析】先把解析式配成顶点式得到 ，由于 ，根据二次函数的性质得 时，y
的值最大；当 时，y有最小值，然后分别计算对应的函数值．
【详解】解： ，当 时，y有最小值1，
∵ ，
∴ 时，y的值最大，最大值为5；当 时，y有最小值1，
故答案为：5；1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，根据顶点式求出最
小值．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数 的最小值是______，最大值
是______．
【答案】 1
【分析】根据二次函数图像与性质，在 范围内求出最值即可得到答案．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
，
当 时， ，即二次函数 的最小值是 ；
到 的距离为 ； 到 的距离为 ，
当 时，代入 得 ，即二次函数 的最大值是 ；
时，函数 的最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数最值求法是解决问题的关键．
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数 .
（1）当 时，二次函数的最小值为________；
（2）当 时，二次函数 的最小值为1，则 ________.
【答案】 或【分析】（1）将 代入，再把解析式为变形为顶点式 ，即可求得二次函数最小值；
（2）先求抛物线的对称轴为： ，分三种情况：当 时，即 时，此时 在对
称轴的右侧，当 时，即 时，此时对称轴在 内，③当 时，即 时，
此时 在对称轴的左侧，分别讨论增减性，找何时取最小值，代入得关于 的方程求解即可．
【详解】解：（1）当 时， ，
∵ ，则开口向上，
∴二次函数的最小值为 ，
故答案为： ；
（2）二次函数 ，则对称轴为： ，
分三种情况：
①当 时，即 时，此时 在对称轴的右侧， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值， ，解得： ；
②当 时，即 时，此时对称轴在 内，
当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值， ，解得： ；
∵ ，
∴ ，
③当 时，即 时，此时 在对称轴的左侧， 随 的增大而减小，∴当 时， 有最小值， ，解得： （舍去）；
综上所述， 或 ；
故答案为： 或
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好
此类题要掌握以下几点：形如二次函数 ：①当 时，抛物线有最小值，当
时， ；②当 时，对称轴右侧， 随 的增大而增大，对称轴的左侧， 随
的增大而减小；③如果自变量 在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数 ，
（1）当 时，二次函数 的最大值为______．
（2）当 时，二次函数 的最大值为6，则 的值为______．
【答案】 1 8或
【分析】（1）将 代入 ，再根据二次函数的性质求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当 时，②当 时，当 时，根据二次
函数的性质，得到关于 的方程，求解即可．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得： ，
当 时，函数有最大值1，
故答案为：1；
（2）解： ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
①当 时，即 时，
，在对称轴右侧， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值为6，
，
解得： ；
②当 时，即 时，
当 时， 有最大值为6，
，
解得： ，
，
（不合题意，舍去），
③当 时，即 时，
，在对称轴左侧， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值为6，
，
解得： ，
综上所述， 的值为8或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取
全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处
的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】根据对称轴公式 即可求解．
【详解】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
即 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式 是解题的关键．
2．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）把抛物线 向右平移2个单位，然后向
下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：抛物线 向右平移2个单位，然后向下平移3个单位，
平移后得到的抛物线解析式是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象平移何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移方法．3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）关于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为
B．图像的对称轴在 轴的左侧
C．图像的顶点坐标为
D．当 时， 的值随 值的增大而减小
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式，结合二次函数的图像与性质，可以判断各个选项中的结论是否成立，
从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ，
即图像与 轴的交点坐标为 ，故选项A正确；
该函数的对称轴是直线 ，
故B选项正确；
函数的顶点坐标为 ，
故选项C正确；
该函数解析式中 ，故函数图像开口向上，
当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
选项D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，明确题意，正确运用二次函数的图像与性质是解答本题
的关键．
4．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）已知抛物线 （ ）上部分点的横坐标 与纵坐
标 的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -4 0 2 2 0 -4 …
下列结论：①抛物线开口向下；②当 时， 随 增大而减小；③抛物线的对称轴是 ；④函数 的最大值是2．其中正确的结论是( )
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【分析】①待定系数法求出二次函数的解析式，判断开口方向即可；②根据二次函数的性质，判断增减性；
③求出二次函数的对称轴，进行判断；④求出二次函数的最值，进行判断即可．
【详解】解：①由表格可知，
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵ ，抛物线开口向下，故①正确；
②抛物线的对称轴是直线： ，当 时， 随 增大而减小，故②正确；
③抛物线的对称轴是直线： ，故③错误；
④当 时，函数具有最大值，最大值为： ，故④错误；
综上，正确的是①②；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式．
5．（2023·陕西西安·校考一模）已知：二次函数 ，下列说法中错误的个数是（ ）
若图象与 轴有交点，则
若该抛物线的顶点在直线 上，则 的值为
当 时，不等式 的解集是
若将图象向上平移 个单位，再向左平移 个单位后过点 ，则
若抛物线与 轴有两个交点，横坐标分别为 、 ，则当 取 时的函数值与 取 时的函数值相
等．
A． B． C． D．【答案】C
【分析】①和x轴有交点，就说明 ，易求a的取值；
②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；
③将 代入不等式，即可求其解集；
④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；
⑤利用根与系数的关系将 的值代入解析式进行计算即可．
【详解】解：①当 ，即 时，二次函数和x轴有交点，故①错误；
②∵二次函数 的顶点坐标为 ，代入 得， ，故②正确；
③当 时， ，图象与x轴交点坐标为： ，
故不等式 的解集是： 或 ，故③错误；
④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为： ，
∵图象过点 ，
∴将此点代入得： ，解得： ．故④错误；
⑤由根与系数的关系， ，
当 时， ,
当 时， ,故⑤正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二
次函数解析式、二次函数与不等式（组）等知识，综合性较强．
二、填空题
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）抛物线 的对称轴是直线 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解．
【详解】解：∵ 的对称轴是直线 ，，∴ ，
解得 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线 的对称轴是直线 是解题的
关键．
7．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）抛物线 的开口方向 ，对称轴是
，顶点坐标是 ．
【答案】 下
【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
【详解】∵ ，而 ，
∴开口方向向下．
∵ ，
∴对称轴是 ，顶点坐标是 ．
故答案为：下， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数 的对称轴是直线 ，顶点坐标为
．
8．（2023·上海·九年级假期作业）已知点 ， 在二次函数 的图像上，则
（填“>”“<”或“=”）．
【答案】>
【分析】由抛物线开口向上可得，距离对称轴越远的点， 值越大，从而求解．
【详解】由 可得抛物线开口向上，对称轴为∵
∴
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法．
9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标
为 ．
【答案】
【分析】令 则 解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令 则 可得抛物线与
y轴的交点坐标.
【详解】解：令 则
∴
解得：
∴抛物线 与x轴的交点坐标为
令 则
∴抛物线 与y轴交点坐标为
故答案为： ；
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本
题的关键.
10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线 ．
（1）此抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当 时，y的最小值为−4，则 ．
【答案】 1 4或【分析】（1）根据抛物线的解析式可得 ，再代入对称轴 进行计算即可；
（2）根据二次函数的图象与性质可知当 当 时，在 ，函数有最小值 ，当 时，在
中，当 时，函数有最小值，再根据y的最小值为−4代入进行计算即可．
【详解】解：（1）由抛物线 可知， ，
对称轴 ，
故答案为：1；
（2）当 时，在 ，函数有最小值 ，
∵y的最小值为 ，
，
；
当 时，在 中，当 时，函数有最小值，
，解得 ；
综上所述：a的值为4或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值及对称轴，熟练掌握二次函数的性质和对称
轴公式是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2023·四川泸州·统考一模）如图，抛物线 与 轴交于两点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)24【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；
（2）先求得抛物线与y轴、x轴交点坐标，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：令 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查求抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握将抛物线解析式
化成顶点式和求抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
12．（2023·上海奉贤·统考一模）已知抛物线 ，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平
移2个单位．
(1)求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．【答案】(1)平移后函数关系式为：
所以其开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y随x的增大而减小；
(2)见解析
【分析】（1）先将 化为顶点式，再求平移后的函数关系式，再回答问题即可；
（2）画出平移后的二次函数图像即可；
【详解】（1） ，
将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位后函数关系式为：
所以其开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，当
时，y随x的增大而减小；
（2）
【点睛】本题结合图象考查了二次函数的平移及性质，关键是掌握函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及
单调性与最值．
13．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左
侧），与y轴交于点C，
(1)用配方法求出顶点D坐标
(2)画出函数图象
(3)直接写出四边形 的面积；【答案】(1)
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）利用配方法把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）分别求出抛物线与y轴，与x轴的交点坐标，在画出图形，即可求解；
（3）根据四边形 的面积为 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴顶点D坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
∴抛物线与y轴的交点为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为 和 ，
画出函数图象，如下：
（3）解：过点D作 轴于点E，则 ，
由（2）得∶ ， ， ，
∴四边形 的面积为．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另
外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．
14．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线 ．
(1)它与 轴交点的坐标为_______，与 轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
… …
… …
(3)当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围________；
(4)若点 ， 在抛物线上，且 ，直接写出 的取值范围_______．
【答案】(1) ， ； ；
(2)见解析
(3)
(4) 或【分析】（1）分别令 ，求得与坐标轴的交点，化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）根据列表描点连线画出函数图象即可求解；
（3）根据函数图象直接可得结果；
（4）根据题意得出 ，进而根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解： ，
当 ， ，
当 ， ，
解得： ，
，
∴顶点坐标为 ，
∴ 与 轴交点的坐标为 ， ，与 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为： ；
故答案为： ， ； ； ．
（2）列表如下，
… …
… …
描点、连线如下，
（3）当 时， ，
故答案为： ．（4）点 ， 在抛物线上，且 ，
则 ，
∴ ，
根据 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．
15．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
【答案】(1)见解析
(2)① ，②
【分析】（1）先列表，再用描点，最后用平滑的曲线连接即可得出该函数的图象；
（2）①根据（1）中的图象，即可得出x的取值范围；②先得出其对称轴，即可根据图象分析其增减性，
得出结论．
【详解】（1）解：列表如下：
… …
x 0 1
… …
y … 0 3 4 3 0 …… …
二次函数 如图所示：
（2）解：①由图可知：当 时，x的取值范围为 ，
故答案为： ；
②由图可知，该二次函数对称轴为直线 ，
∵y随x的增大而减小，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用描点法画二次函数图象的方法，以
及能够结合图象，分析函数的性质．
16．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点．
(1)求 的值和点 的坐标；
(2)在抛物线上任取一点 ，作点 关于原点 的对称点 ．①是否存在 ， 两点均在抛物线上的情况？如果存在，求 的长；如果不存在，请说明理由；
②请在网格中画出点 所在曲线的大致图象，并求当 取得最小值时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)①存在， ；②图见解析， 或
【分析】（1）把 代入抛物线解析式，求得 ，从而得到抛物线解析式为
，即可得出抛物线的对称轴为直线 ，则 ，得 ， ，
即可求得点A的坐标；
（2）①设点 的坐标为 ，则点 坐标为 ，代入解析式可得 求解即可得出
P、M的坐标，然后由两点问距离公式可求出 的长；
②根据中心对称图形的性质作出抛物线关于原点的对称图形即可,然后由 坐标为 和点 ，
得 ．再把 代入 ，则 ．所以
．然后根据二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，解得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
∴抛物线的对称轴为 ，
由 ，得 ， ．
∴点 的坐标为 ．
（2）解：①存在 ， 两点均在抛物线上的情况．设点 的坐标为 ，则点 坐标为 ．
若 ， 两点均在抛物线上，则有
解得 ，
或 ．
∴点 ， 的坐标分别为 ， 或 ， ．
∴ ．
②点 所在曲线的大致图象如图所示，该图象为抛物线．
由 坐标为 和点 ，得 ．
∵ 在抛物线 上，
∴ ．
∴ ．
不妨设 ，则有 ．
∴当 时， 取得最小值．即 ，解得 ．
∴当 取得最小值点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特
征，二次函数的性质，二次函数的最值，两点间距离公式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
