文档内容
专题 22.3 二次函数 y=ax2+k 的图象与性质
y=ax2 +k
1. 掌握 型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题目。
教学目标
y=ax2 y=ax2 +k
2. 掌握 与 之间的平移规律，并能够熟练的解决相应的题目。
1. 重点
y=ax2 +k
（1） 型二次函数的性质；
y=ax2 +k
（2） 型二次函数的图象；
y=ax2 y=ax2 +k
教学重难点 （3） 与 之间的平移规律；
2. 难点
（1）函数图象的共存问题；
（2）函数图象上的点的特征；
y=ax2 y=ax2 +k
（3） 与 之间的平移。知识点01 y=ax2与y=ax2+k的之间的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 平移和 平移；
左右平移在 上进行加减，规律为 ；上下平移在 上进行
加减，规律为 。
y=ax2 y=ax2 +k
2. 与 之间的平移：
由函数的平移可知：
①若
k＞0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=ax2 +k
。
②若
k＜0
，可将
y=ax2
向 平移 个单位得到函数
y=ax2 +k
。
【即学即练1】
1．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 ．
知识点02 y=ax2+k的图象与性质
y=ax2 +k(a≠0)
1. 的图象与性质
y=ax2 y=ax2 +k
由 的图象与性质可得到函数 的图象与性质如下：
y=ax2 +k(a≠0) a＞0 a＜0
k＜0 k＞0 k＜0 k＞0
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图象
开口方向
a的绝对值越大，开口越
开口大小
a的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴为 对称轴为
对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
增减性 对称轴右边y随x的增大而 对称轴右边y随x的增大而 。。
对称轴左边y随x的增大而 对称轴左边y随x的增大而 。
。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练1】
2．抛物线y＝x2+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
3．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
4．二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为 ．
【即学即练4】
5．抛物线y＝3x2+2开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右【即学即练5】
6．对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（ ）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
【即学即练6】
7．从抛物线y＝2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 ．
【即学即练7】
1
8．若点（x ，y ）（x ，y ）在二次函数y=- x2+5的图象上，且0＜x ＜x ，则（ ）
1 1 2 2 3 1 2
A．5＜y ＜y B．5＜y ＜y C．y ＜y ＜5 D．y ＜y ＜5
1 2 2 1 2 1 1 2
题型01 y=ax2+k的性质
【典例1】与抛物线y＝﹣5x2﹣1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（
）
A．y＝﹣5x2﹣1 B．y＝5x2﹣1 C．y＝﹣5x2+1 D．y＝5x2+1
【变式1】抛物线y＝﹣4x2+3的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3）
C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）
【变式2】对于二次函数y＝﹣2x2+3的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3） D．x＞0时，y随x的增大而减小
【变式3】若抛物线y＝2xm2-4m-3+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
题型02 y=ax2+k的图象
【典例1】已知一次函数y＝ax﹣c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+c的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】一次函数y＝bx+a的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+b的图象（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】在同一坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
题型03 y=ax2+k的图象上的点的特征
【典例1】点A（m，﹣98），B（n，﹣99）在函数y＝﹣2x2﹣k（k为常数）的图象上，则点A与点B的
位置描述正确的是（ ）
A．点A在点B的右侧 B．点A在点B的左侧
C．点A离y轴远 D．点B离y轴远
1
【变式1】已知a＜﹣1，点（a﹣1，y ）、（a，y ）、（a+1，y ）都在函数y= x2﹣2的图象上，则（
1 2 3 2
）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【变式2】点A（x ，y ），B（x ，y ）是抛物线y＝﹣2x2﹣2上的点，且|x |＞|x |，则y 与y 的大小关系
1 1 2 2 1 2 1 2
为（ ）
A．y ＝y B．y ＞y C．y ＜y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【变式3】已知点（x ，y ），（x ，y ）均在抛物线y＝x2﹣1上，下列说法中正确的是（ ）
1 1 2 2
A．若y ＝y ，则x ＝x B．若x ＝﹣x ，则y ＝﹣y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若0＜x ＜x ，则y ＞y D．若x ＜x ＜0，则y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
题型04 y=ax2与y=ax2+k的平移
1
【典例1】将抛物线y=- x2 向上平移3个单位长度得到的抛物线解析式为 ．
2
【变式1】若将抛物线y＝2x2﹣1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2﹣1
C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2+1
【变式2】将抛物线y＝2x2+3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是（ ）
A．向下平移3个单位长度
B．向上平移3个单位长度C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
【变式3】在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝3x2得到y＝3x2+3，则平移方式可以是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
【变式5】把抛物线y＝x2向上平移2个单位，得到抛物线y＝ax2+c，则a、c的值分别是（ ）
A．1，2 B．1，﹣2 C．﹣1，2 D．﹣1，﹣2
1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣3x2+1的图象开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
2．抛物线y＝2x2﹣4的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣2） B．（0，﹣4） C．（﹣1，﹣2） D．（2，0）
3．关于二次函数y＝﹣2x2+1，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向上
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是（﹣2，1）
1
D．当x＝0时，y有最大值是-
2
4．把抛物线y＝x2﹣1向上平移3个单位可得抛物线是（ ）
A．y＝x2+3 B．y＝（x+3）2﹣1
C．y＝x2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣1
5．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限7．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1
8．点 A（x ，y ），B（x ，y ）是抛物线y= x2+1上的点，且|x |＜|x |，则 y 与 y 的大小关系为
1 1 2 2 2 1 2 1 2
（ ）
A．y ＜y B．y ＞y C．y ＝y D．无法确定
1 2 1 2 1 2
m
9．已知mn＜0， ＞0，则y关于x的二次函数y＝mx2+n的图象可能是（ ）
n+1
A． B．
C． D．
10．设点（﹣1，y ），（2，y ），（3，y ）是抛物线y＝﹣2x2+m上的三点，则y 、y 、y 的大小关系为
1 2 3 1 2 3
（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 1 2 3
11．二次函数y＝x2﹣1的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
12．抛物线y＝ax2+c的对称轴为 ．
13．已知二次函数y=(a-1)xa2-2+3开口向下，则a＝ ．
14．抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）上有两点A（1，y ），B（3，y ），则y y （填“＞”“＜”或
1 2 1 2
“＝”）．15．已知二次函数y＝ax2﹣3的图象经过点A（1，﹣1），当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为 ．
1 1
16．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y= x2+1与二次函数y=- x2﹣1的图形．
3 3
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
1
17．将二次函数y= x2 的图象向下平移3个单位长度可以得到一个新的抛物线．
2
（1）请你写出这个新抛物线的函数表达式；
（2）判断点A（4，5）是否在这个新抛物线上．
18．已知函数y＝（m+2）x|m|+5是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）函数图象的两点A（1，y ），B（5，y ），则y 与y 的大小关系是 ．
1 2 1 21
19．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y= x2-1的图．
4
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
1 … …
y= x2-1
4
（1）补充表格中的y值；
1
（2）在坐标系中画出y= x2-1图象．
4
20．已知抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）．
（1）求m和n的值；
（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中y随x的增大而减小；
（4）函数y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出来；若没有，请说明理由．
