专题22.1.5二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读1）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读•专题训练》（人教版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

专题 22.1.5 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读 1） 【直击考点】 【学习目标】 y ax2 bxc(a 0) 1. 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 y ax2 bxc y a(xh)2 k 的解析式写成 的形式； y ax2 bxc 2. .通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； y ax2 bxc y a(xh)2 k 3. .经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用 二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【知识点梳理】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ．b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【典例分析】 【考点1 一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】 【例1】抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是（ ） A．(2,1) B．(2,5) C．(−2,1) D．(−2,−5) 【变式1-1】将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，结果为（ ） A．y=(x−4) 2+1 B．y=(x−4) 2−1 C．y=(x−2) 2−1 D．y=(x−2) 2+1 【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（ ） A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3 【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标 为（ ） A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，- 5) 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】 【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式： ； （2）抛物线与x轴交点坐标为 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当y＜0时，x的取值范围是 ； （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ． 【变式2-1】已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，在平面直角坐标系中画出它的图象，并写出 它的顶点坐标． 【变式2-2】已知二次函数y=x2-2x-3.（1）求函数图象的顶点坐标，与x轴和y轴的交点坐标，并画出函数的大致图象； （2）根据图象直接回答：当x满足 时，y＜0；当-1＜x＜2时，y的 范围是 . 【变式2-3】在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 −1 0 m … （1）求这个二次函数的解析式及m的值； （2）在平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的图象（不用列表）； （3）当y<3时，则x的取值范围是 ．【考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质】 【例3】对于二次函数y＝x2− 4x − 1的图象，下列叙述正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝2 C．顶点坐标为（ − 2， − 5） D．当x≥2时，y随x增大而减小 【变式3-1】二次函数y＝x（x+2）图象的对称轴是（ ） A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．y轴 【变式3-2】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的 是（ ） A．a>0 B．当x>1时，y随x的增大而增大 C．c<0 D．x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根 【变式3-3】若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．当 10 B．当 x=2 时, y 有最大值 C．图像经过点 (4,−3) D．当 y<−3 时， x<0 【例4】若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x，y），B（x， 1 1 2 y），当3＜x＜x 时，下列判断正确的是（ ） 2 2 1 A．y＞y B．y＜y 1 2 1 2 C．y＝y D．无法比较y，y 的大小 1 2 1 2 【变式4-1】函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y），B（2，y），则 1 2（ ） A．y＜y B．y＞y 1 2 1 2 C．y＝y D．y、y 的大小不确定 1 2 1 2 【变式4-2】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ） 1 2 3 三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 【变式4-3】已知二次函数 y=− x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则 2 b的取值范围是（ ） A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1 【考点4 待定系数法求二次函数解析式】 【例5】已知抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0).求该抛物线的解析式和 顶点坐标. 【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点 A(0,1),B(3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标． 【变式5-2】二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物 线的解析式．【变式5-3】若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此 二次函数解析式． 专题 22.1.5 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）图像和性质（知识解读 1） 【直击考点】 【学习目标】 y ax2 bxc(a 0) 4. 会用描点法画二次函数 的图象；会用配方法将二次函数 y ax2 bxc y a(xh)2 k 的解析式写成 的形式； y ax2 bxc 5. .通过图象能熟练地掌握二次函数 的性质； y ax2 bxc y a(xh)2 k 6. .经历探索 与 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【知识点梳理】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 4. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 5. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图 象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【典例分析】 【考点1 一般式y=ax²+bx+c（a≠0）化为y=a（x-h)²+k顶点式】 【例1】抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是（ ） A．(2,1) B．(2,5) C．(−2,1) D．(−2,−5) 【答案】A 【解答】解：∵ y=x2−4x+5=(x−2) 2+1 ∴抛物线 y=x2−4x+5 的顶点坐标是 (2,1) 故答案为：A. 【变式1-1】将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，结果为（ ） A．y=(x−4) 2+1 B．y=(x−4) 2−1C．y=(x−2) 2−1 D．y=(x−2) 2+1 【答案】D 【解答】解：y=x2−4x+4+1=(x−2) 2+1， 故答案为：D． 【变式1-2】把y=2x2+8x+5配方成y=2(x- h)2 +k的形式后，h和k对应的值分别是（ ） A．-2，-3 B．2，-3 C．2，3 D．-2，3 【答案】A 【解答】解： y=2x2+8x+5， 5 =2（x2+4x+ ）， 2 5 =2（x2+4x+4+ -4）， 2 =2（x+2）2-3， ∴h=-2，k=-3. 故答案为：A. 【变式1-3】抛物线y=x2-2x-4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N，则点N的坐标 为（ ） A．(1，-5) B．(1，5) C．(-1，5) D．(-1，- 5) 【答案】C 【解答】解：y=x2-2x-4=（x-1）2-5． ∴点M（1，-5）． ∴点N（-1，5）． 故答案为：C． 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图像的画法】 【例2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式： ； （2）抛物线与x轴交点坐标为 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当y＜0时，x的取值范围是 ； （5）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）y＝（x﹣2）2﹣1 （2）（1，0）或（3，0） （3）如图所示 用上述五点描点连线得到函数图象如下： （4）10 B．当x>1时，y随x的增大而增大 C．c<0 D．x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根 【答案】D 【解答】解：根据二次函数的性质，抛物线开口向下，a＜0，选项A错误； 当x＞1时，y随x的增大而减小，选项B错误； 当x=0时，y=c，二次函数与抛物线交于y轴的正半轴，即c＞0，选项C错误； ∵二次函数与x轴的一个交点为（-1,0），对称轴为x=1 ∴二次函数与x轴的另外一个交点为（3,0） 故答案为：D. 【变式3-3】若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．当 10 B．当 x=2 时, y 有最大值 C．图像经过点 (4,−3) D．当 y<−3 时， x<0 【答案】D 【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线的开口向下， A、当1＜x＜3时，y＞0，故A不符合题意； 1 B、抛物线的对称轴为直线 (1+3)=2，当x=2时y有最大值，故B不符合题意； 2 C、∵抛物线与y轴的交点为（0，-3），对称轴为直线x=2，∴（0，-3）关于对称轴对称的点的坐标为（4，-3），故C不符合题意； D、当y＜-3时，x＜0或x＞4，故D符合题意； 故答案为：D. 【例4】若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x，y），B（x， 1 1 2 y），当3＜x＜x 时，下列判断正确的是（ ） 2 2 1 A．y＞y B．y＜y 1 2 1 2 C．y＝y D．无法比较y，y 的大小 1 2 1 2 【答案】B 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m， b −4 ∴此函数的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ＝﹣2， 2a 2×(−1) ∵3＜x＜x，两点都在对称轴右侧，a＜0， 2 1 ∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小， ∴y＜y． 1 2 故答案为：B． 【变式4-1】函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y），B（2，y），则 1 2 （ ） A．y＜y B．y＞y 1 2 1 2 C．y＝y D．y、y 的大小不确定 1 2 1 2 【答案】B −2 【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=− =−1 ，a=-1<0， −2 ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵图象上有两点A（1，y），B（2，y），-1<1<2， 1 2 ∴y＞y， 1 2 故答案为：B. 【变式4-2】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ） 1 2 3 三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ） 1 2 3 A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D． 1 2 3 2 1 3 1 3 2 y >y >y 3 2 1 【答案】A【解答】解：抛物线y=x2−2x−3，则开口向上，对称轴为x=1， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大， A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ）到对称轴的距离分别为3,2,0， 1 2 3 所以y >y >y ， 1 2 3 故答案为：A 1 【变式4-3】已知二次函数 y=− x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则 2 b的取值范围是（ ） A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1 【答案】D 1 【解答】解：∵y=− x2+bx+3 ， 2 ∴对称轴为直线x＝b，开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴1不在对称轴左侧， ∴b≤1. 故答案为：D. 【例5】已知抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0).求该抛物线的解析式和 顶点坐标. 【答案】y=x2−2x−3；顶点坐标（1，-4） 【解答】解：∵抛物线y=x2+bx−3（b是常数）经过点A(−1,0)， ∴把点A坐标代入解析式得(−1) 2+b×(−1)−3=0， 解得：b=-2， ∴抛物线解析式为：y=x2−2x−3， 把抛物线配方得y=(x2−2x+1)−3−1=(x−1) 2−4， 抛物线的顶点坐标为（1，-4）. 【变式5-1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点 A(0,1),B(3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标． 【答案】y=12−2+1=0，顶点的坐标为(1,0)．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(0,1),B(3,4)； { n=1 ∴ ， 9+3m+n=4 {m=−2 解得： ， n=1 ∴y=x2−2x+1 −2 ∴对称轴为直线x=− =1， 2×1 ∴y=12−2+1=0， ∴顶点的坐标为(1,0)． 【变式5-2】二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物 线的解析式． 【答案】y=x2−x−2 【解答】解：由题意得：设 y=a(x+1)(x−2) ， 点C（0，﹣2）代入： －2=a(0+1)(0−2) ， ∴a＝1， ∴y=(x+1)(x−2) ， 即 y=x2−x−2 ． 【变式5-3】若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此 二次函数解析式． 【答案】y=x2-4x+5 【解答】解： 根据二次函数的顶点坐标， 设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1 将点（1,2）的坐标代入 a=1 ∴y=x2-4x+4+1=x2-4x+5