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专题22.12 二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质
（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移
后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知二次函数 ，经过点 ．当 时， 的取值范围为 ．
则下列四个值中有可能为 的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，已知 ，
且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 且 时， 有最小值 B．当 且 时， 有最大值
C．当 且 时， 有最小值 D．当 且 时， 有最大值
4．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 （m为
常数）的图象上存在两个二倍点 ， ，且 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数 与自变量 的部分对应值表如下，已知有且仅有一组值错误（其中 ， ，
， 均为常数）
甲同学发现当 时， 是方程 的一个根；乙同学发现当 时，则 ．下
列说法正确的是（ ）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对6．若点 ， ， ， ， 均在抛物线 上，且
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数 与一次函数 交于 、 两点 ，
当 时，至少存在一个x使得 成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ， 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数
的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称轴为直线 ，结合图象给出下列
结论：
① ；② ；
③ ， 是抛物线上两点，则 ；
④若关于x的一元二次方程 没有实数根，则 ；
⑤对于任意实数m，总有 ．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，平面直角坐标系中，已知 ， ， ，抛物线 过A
点、B点，顶点为P，抛物线 过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 .
12．已知顶点为A的抛物线 与顶点为C的抛物线 交于 ，
，则四边形 的周长为 ．
13．在平面直角坐标系中，二次函数 过点（4，3），若当0≤x≤a 时，y 有最大值 7，
最小值 3，则 a 的取值范围是 ．
14．已知函数y＝﹣x2+2x+5，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是5≤y≤6，则实数m的取值范围是
．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx（－2mx＋m－2（m＞0）．（1）抛物线的顶点坐标为 ；
（2）点M（x，y）、N（x，y）（x＜x≤3）是拋物线上的两点，若y＜y，x－x＝2，则y 的取值
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2
范围为 （用含 m的式子表示）
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，过点 作 轴的平
行线交抛物线于点 ． 为抛物线的顶点．若直线 交直线 于点 ，且 为线段 的中点，则
的值为 ．
17．如图，函数 的图象，若直线 与该图象只有一个交点，则 的取值范
围为 ．
18．如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且
，则下列结论： ； ； ； 其中正确结论的序
号是 ．三、解答题
19．如图，已知抛物线 ，点 是第一象限内抛物线上一个动点，作 轴于点 ，点
是第一象限内抛物线上的另一个点（点 在 的右侧），且 ，作 轴于点 ．
（1）当点 是抛物线的顶点时，求点 的坐标；
（2）当点 关于 的对称点 恰好落在 轴上时，求 的长．
20．已知抛物线 （m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点 和点 在抛物线上，求C点的坐标；
（3）当 ，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．21．函数y＝x²﹣2x，y＝ax﹣1．
1 2
（1）直接写出函数y 的顶点坐标．
1
（2）当x＝m时，y＝h；当x＝n时，y＝k．若对于任意的实数m，其中﹣1≤m≤2，总存在实数n，其
1 2
中﹣1≤n≤2，使得h＝k，求a的取值范围．
22．如图，将抛物线 平移后得到抛物线 ，两抛物线与 轴分别交于
点 ， ．抛物线 ， 的交点 的横坐标是1，过点 作 轴的平行线，分别交抛物线 ， 于点 ，
．
（1）求抛物线 的对称轴和点 的横坐标．
（2）求线段 和 的长度．23．已知抛物找 （a、b为常数，且 ），顶点为A，与y轴交于点B，点B、C关
于抛物线的对称轴对称，连接AB、BC、AC，点 ．
（1）当 ， 时，求顶点A的坐标；
（2）当 时，点A在x轴下方时，求b的取值范围；
（3）当 ABC的面积为4，求a的值：
（4）点△D关于抛物线对称轴的对称点是E，直线AE交BC于F，且直线AE将 ABC的面积分成1：3
△
的两部分，且 BEF的面积为 ，直接写出a的值．
△
24．抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）经过点A（ - 4，0）和点B（5， ）
（1）求证:a + b = ；
（2）若抛物线经过点C（4，0）①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD = 2∠BAC，求点D的坐标；
②直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛
物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标
参考答案
1．D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 的取值范围判断新抛物线的顶点所
在的象限即可．解： ，
该抛物线顶点坐标是 ， ，
将其沿 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ， ，
，
，
，
，
点 ， 在第四象限；
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次
函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
2．D
【分析】由 时， 的取值范围为 ，可得 或 是方程
的两个根，则有 ，再由 ，可得 ，即将 ≥ ，将点
代入函数解析式可得 ，利用 的取值范围确定 的取值范围即可求解．
解：当 时， ，
∴ ，
∵当 时， 的取值范围为 ，
∴ 或 是方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是函数的对称轴，又∵当 时， 的取值范围为 ．
∴ ，
∴ ，
∵函数经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 的可能取值为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次
函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
3．A
【分析】设直线 ，联立直线与抛物线解析式得出 是方程 的两根，进而根据
，得出 在 的下方，得出 ，则 ，即可得出 ，进而结合选项，进行判
断即可求解．
解：依题意，过点 的直线 交抛物线 于 两点，
设直线 ，
联立 ，
即 ，∴ 是方程 的两根，
即 ， ，
∵ ，
∴ 在 的下方，
联立 ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵ 在抛物线上，则 ，
∴ ，
∴ ，
当 且 ，
∴ ，
∴ 有最小值，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解
题的关键．
4．B
【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线 上， 、 是方程 的
两个解，根据根与系数的关系得出 ， ，根据根的判别式得出
，根据 ，得出m取任意实数时， 总成立，根据 ，得出 ， ，即 ，得出 ，求出m的值即可．
解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线 上，
∴点 ， 一定在直线 上，
又∵点 ， 在二次函数 （m为常数）的图象上，
∴ 、 是方程 的两个解，
即 ，
∴ ， ，
，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴m取任意实数时， 总成立，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，故B正确．故选：B．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关
系，解题的关键是根据题意得出 、 是方程 的两个解，且 ．
5．A
【分析】根据表格数据得出 与 的数据正确，进而得出 ，对称轴为直线 ，判断甲正
确，假设乙正确，则出现2组数据错误，与题意不符，据此即可求解．
解：根据表格可知， 与 时的函数值相等，
当 时， ， 时，
∴
由抛物线的对称性可得，对称轴为直线 ，即
∵
∴当 时， 随 的增大而减小，
当 时， 随 的增大而增大，
∴抛物线开口向上，则 ，
∵对称轴为 ，当 时，
∴当 时，
即当 时， 是方程 的一个根；
若 时，则 ，则存在2组数据错误，故不符合题意，
故甲对乙错，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．C
【分析】先把点A和点B坐标代入得出 ，再求出 ，求出该抛物线与x轴的两个交点坐标 ，结合 ， 在抛物线上，得出 ，点 在点B的左边， ，
，即可得出 ，进而得出对称轴的取值范围 ，最后根据该抛物线开口向下，离对称
轴越远函数值越小，即可比较函数值的大小．
解：把 ， 代入 得：
，
整理得： ，
得： ，
整理得： ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
解得： ， ，
即该抛物线与x轴的交点坐标为： ，
∵ ， 在抛物线上，
∴当 时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下；
∴点 在点B的左边，
∴ ， ，整理得： ，
∴ ，则 ，∴点C离对称轴的距离 ： ，即 ，
点D离对称轴的距离 ： ，即 ，
点E离对称轴的距离 ： ，即 ，
∵该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意得出对称轴的取值范围，掌
握当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
7．D
【分析】由题意可得二次函数对称轴为直线 ，联立两函数得 ，求得 ，
，当 时，要使得至少存在一个x使得 成立，只需当
时， 即可，三种情况：①当 时，②当 时，③当 时，进行讨论即
可．
解：二次函数 与一次函数 交于 、 两点 ，
则： ，整理得： ，
即： ，
∴ ， ，
的对称轴为直线 ，
当 时，要使得至少存在一个x使得 成立，只需当 时，
即可，①当 时，即： ，则当 时， 随 增大而减小，
∴当 时，取最大值， ，
可得： ，即 ，
②当 时，即： ，则当 时， 随 增大而增大，当 时， 随
增大而减小，
∴当 时，取最大值， ，
可得： ，即 ，
③当 时，即： ，与 矛盾，
综上所述： ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数的性质，确定最大值应大于等于 ，再进
行分类讨论是解决问题的关键．
8．A
【分析】根据函数图像的开口大小与 轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
解：设 ， ，
由图像知， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ，
∵函数 的图像开口大于函数 的图像开口，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴函数 的图像是抛物线，开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在 轴的右侧，与 轴的交点在 轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在 轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
注意：二次函数 的 越大，图像开口越小．
9．C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与 轴 轴的交点，综合判断即可．
解：抛物线开口向上，则 ，对称轴 ，则 ， ， ，
所以①正确；
抛物线对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ，则另一个交点为 ，于是有 ，联
立 ，解得 ，
，
所以②正确；抛物线的解析式为 ，
， 是抛物线上两点，
，
，即 ，
所以③错误；
若关于x的一元二次方程 没有实数根，
，
，
，
，
，
所以④正确；
抛物线与 轴有两个不同交点，因此关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，所
以④正确；
对于任意实数m，总有
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
10．B
【分析】先分别求出抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线 的对称轴
为直线 ，然后把抛物线解析式设为交点式从而求出点P的坐标为（m+1，-a），点Q的坐标为（
， ），求出直线AQ的解析式为 ，再由P在直线AQ上，得到，由此即可得到答案．
解：∵抛物线 过A点、B点， ， ，
∴抛物线 的对称轴为直线 ，
同理可得抛物线 的对称轴为直线 ，
设抛物线 的解析式为 ，抛物线 的解析式为
，
∴当 时， ，
∴点P的坐标为（m+1，-a），
同理可求出点Q的坐标为（ ， ），
设直线AQ的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AQ的解析式为 ，
∵P在直线AQ上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，正确求出P、Q的坐标是解题的关键．
11． 或﹣3
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+3
内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y ＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
最小值
∴t＝﹣3.
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3，
解这个不等式，即﹣2≤t≤1.此时当x＝1时，函数取得最小值，y ＝﹣4，
最小值
∴t＝﹣4，
不合题意.
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y ＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝ 或t＝ （舍弃），
最小值
∴t＝ ．
故答案为： 或﹣3．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类
讨论得出是解题关键．
12．
【分析】根据B、D的纵坐标可知两个抛物线的对称轴一样是 ，由对角线互相垂直平分可知
四边形 是菱形，把整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是 的中点在原点，然后求出
A、B坐标求出菱形的边长，进而求出周长即可．
解：由题意可知 ， ，则 ，对称轴都是 ，∵两个抛物线的a值是相反的，
∴四边形 是菱形，
抛物线的a值确定，抛物线的形状固定， 的长度固定，则菱形 的形状固定，
直接算菱形的边长比较麻烦，可以将整个菱形和函数平移，使菱形的对角线交点也就是 的中点在
原点，
此时对称轴为y轴， ，
∴ ，则 ， ，
将 代入 可得： ，解得 ，则 ，
∴ ，则四边形 的周长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、菱形的判定、勾股定理等知识点，灵活应用
相关知识点是解答本题的关键．
13．2≤a≤4．
【分析】先求得抛物线的解析式，根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得到a
的取值范围．
解：∵二次函数y=-x2+mx+3过点（4，3），
∴3=-16+4m+3，
∴m=4，
∴y=-x2+4x+3，
∵y=-x2+4x+3=-（x-2）2+7，
∴抛物线开口向下，对称轴是x=2，顶点为（2，7），函数有最大值7，
把y=3代入y=-x2+4x+3得3=-x2+4x+3，解得x=0或x=4，
∵当0≤x≤a时，y有最大值7，最小值3，
∴2≤a≤4．
故答案为：2≤a≤4．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
14．【分析】求出二次函数最大值，再把对应的另一个函数值代入求出自变量值即可．
解：函数y＝﹣x2+2x+5化成顶点式为函数y＝﹣（x-1）2+6，
所以，当x=1时，函数的最大值为6，
把y=5代入函数解析式，5＝﹣x2+2x+5，
解得， ， ；
根据题意，顶点一定在0≤x＜m范围内，而且此范围内的最小值为5，
故m的取值范围是 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题关键是树立数形结合思想，求出分界值．
15． （1，-2）
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x+x=2，
1 2
结合x-x=2，可得x=0，x =2，得到当2＜x≤3时，y＜y，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解
2 1 1 2 2 1 2
即可 ．
解：（1）∵ ，
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），
故答案为 （1，-2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x+x=2，
1 2
结合x-x=2，可得x=0，x =2，
2 1 1 2
∴当2＜x≤3时，y＜y，
2 1 2
对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，
∴ ．【点拨】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．2
【分析】先根据抛物线解析式求出点 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点 坐标，利用点 为
线段 中点，得出点 坐标；用含 的式子表示出点 坐标，写出直线 的解析式，再将点 坐标代入
即可求解出 的值．
解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
∴ ，抛物线的对称轴为
∴顶点 坐标为 ，点 坐标为
∵点 为线段 的中点，
∴点 坐标为
设直线 解析式为 （ 为常数，且 ）
将点 代入得
∴
将点 代入得
解得
故答案为2
【点拨】考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
17． 或 / 或
【分析】利用排除法，先求得直线 与该图象有两个或三个交点时 的取值，则可求得结论．
解：由题意，直线 与函数 的图象恒相交，
当 时，直线 与直线 恒相交，与抛物线 至少有一个交
点时，即方程 有两个实数根，，
，
解得： ；
当 时，直线 与函数 的图象有两个或三个交点，
当 时，直线 与函数 的图象只有一个交点；
当 时，由图象可知，直线 与函数 的图象只有一个交点，
综上，若直线 与该图象只有一个交点，则 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的图象的性质，二次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的
特征，二次函数图象上点的坐标的特征，图象的交点与一元二次方程根的判别式的关系，利用数形结合法
解答是解题的关键．
18．①③④
解：（1）∵抛物线开口向下，
∴ ，
又∵对称轴在 轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与 轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，即①正确；
（2）∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即②错误；（3）∵点C的坐标为 ，且OA=OC，
∴点A的坐标为 ，
把点A的坐标代入解析式得： ，
∵ ，
∴ ，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为 ，则OA= ，OB= ，
∵抛物线与 轴交于A、B两点，
∴ 是方程 的两根，
∴ ，
∴OA·OB= .即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先把抛物线化成顶点式求出P的坐标，然后根据BP=BA，得到B的纵坐标为2，代入抛
物线解析式求解即可得到答案；
（2）由点 关于 的对称点 恰好落在 轴上，则点 的横坐标是点 的横坐标的 倍．设点 的
坐标为（ ，则点 的坐标为 ，然后根据BP=BA，得到B的纵坐标为P的
纵坐标的一半，则 ，解方程即可．
解：（1） 点 是抛物线 的顶点
．
，
点 的纵坐标为 ．
点 是第一象限内抛物线上的点，令 ，
解得
点 在 的右侧，
，
．
（2） 点 关于 的对称点 恰好落在 轴上，
点 的横坐标是点 的横坐标的 倍．
设点 的坐标为（ ，
则点 的坐标为 ．
，
点 的纵坐标是点 的纵坐标的 倍，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
的长是 ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，二次函数的顶点坐标，轴对称的性质，解题的关键在于
能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）m=0；（2）C点坐标为（0，16）；（3） 或
【分析】（1）把（0，0）代入抛物线y=x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐
标；
（3）分三种情况：①当2m＞-m时，即m＞0，②当2m＜-m＜2m+3时，即-1＜m＜0，③当2m+3＜-m
时，即m＜-1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．
（1）解：当抛物线经过点（0，0）时，有 ，解之得m=0；
（2）解： 和点 在抛物线上，
∴对称轴为 ，∴即 ， ，
，∴C点坐标为（0，16）；
（3）解： 抛物线 的开口向上，对称轴为x=-m的抛物线，
①若 ，即m>0时，在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而增大，
∴当x=2m时， 为最小值，
，
或 （舍）
二次函数的解析式为 ．
②若 即 ，
当 时，代入 ，得y最小值为 ，
（舍）或 （舍）
③若 ，即 ，在自变量x的值满足 的情况下，
与其对应的函数值y随x增大而减小，
∴当 时，代入二次函数的解析式为 中，
得y最小值为 ，
，
（舍）或 ，
∴二次函数的解析式为 ．综上所述，二次函数的解析式为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，
分类讨论思想的运用是解题的关键．
21．（1）函数y 的顶点坐标为（1，-1）；（2） 或 ．
1
【分析】（1）利用配方法即可得出顶点坐标；
（2）由题意可知当﹣1≤x≤2时，函数y＝x²﹣2x的取值范围在函数y＝ax﹣1的取值范围内，由此结
1 2
合图形即可得解．
解：（1）∵ ，
∴函数y 的顶点坐标为（1，-1）；
1
（2）由（1）可知函数y＝x²﹣2x的对称轴为 ，开口向上，
1
∴当﹣1≤m≤2，h在 时取得最大值3，在 时取得最小值-1，
即 ，
∵函数y＝ax﹣1经过（0，-1），当x＝n时，y＝k，且总存在实数n，其中﹣1≤n≤2，使得h＝k，
2 2
∴如图所示，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查求二次函数顶点式，二次函数与一次函数综合．能理清题意，结合图形分析是解题
关键．
22．（1）对称轴 ；点 的横坐标是-3；（2） ；
【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P 的对称轴，以及A，E关于对称轴x=-1对称和点E的
1
横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出P 的对称轴，再求出点B的坐标，从而求得AB的长，把 分别代入两个函数表达式，
2
求得 ，从而求得CD的长．解：（1）抛物线 的对称轴
∵点 与点 关于直线 对称，且点 的横坐标是1
∴点 的横坐标是
（2）抛物线 的对称轴
∵点 与点 关于直线 对称，且点 的横坐标是1
∴点 的横坐标是4
∴
把 分别代入两个函数表达式，
得
即
由题意，当 时， ， ．
∴
【点拨】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x=-1对称，点B与点E关于对
称轴 对称．
23．（1）（1，0）；（2）0＜b＜1；（3）a=2或a= -2；（4） 或 或
【分析】（1）用配方法计算即可．
（2）用配方法计算出顶点坐标，纵坐标小于零即可．
（3）用配方法计算出顶点坐标，交点法确定B的坐标，结合题意确定C的坐标，用面积建立等式即
可．
（4）分当a＞1且a＞b时，当0＜a＜1且a＜b时，a＜0三种情形求解．
解：（1）∵ ， ， ，
∴ ，
故点A的坐标为（1，0） ．（2）∵ ， ，
∴ ，
故点A的坐标为（1，b-1） ，
∵A在x轴的下方，
∴b-1＜0，
故0＜b＜1．
（3）∵ ，
∴点A的坐标为（a，b-a） ，
另x=0，得y=b，
∴点B的坐标为（0，b） ，
∵点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标为（2a，b） ，
∴
解得a=2或a= -2．
（4）当a＞1且a＞b时，过点A作AN⊥BC于点N，交x轴于点M，
∵点B、C关于抛物线的对称轴对称，点D关于抛物线对称轴的对称点是E，
∴BC∥x轴，点E的坐标为（2a-1，0），
∴△AME∽△ANF，
∵点A的坐标为（a，b-a） ，点B的坐标为（0，b） ，点C的坐标为（2a，b） ，
∴BC=2a，BN=CN=a，AN=b-（b-a）=a，AM=a-b，
∵直线AE将 ABC的面积分成1：3的两部分，
△
∴BF= ，NF=BF=BN= ，ME=2a-1-a=a-1，
由 AME∽△ANF，
△
∴ ，
∴ ，解得b=2-a；
∵ BEF的面积为 ，
△
∴ ，
∴3a（2-a）=1，
解得 或 （舍去）；
如图，当0＜a＜1且a＜b时，
同理可得， （舍去）或 ；
如图，当a＜0时，
∴NF ，ME=1-a，AN=-a，AM=b-a，
由 AME∽△ANF，
△
∴ ，
∴ ，
解得b=2-a；
∵ BEF的面积为 ，
△∴ ，
∴-3a（2-a）=1，
解得 或 （舍去）；
故a的值为 或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法，配方法求顶点，抛物线的对称性，抛物线与三角形面积综合，熟练
掌握抛物线的性质，合理分类是解题的关键．
24．（1）证明见分析；（2）①（-6,5）；②（0，0）
【分析】（1）把A（ - 4，0）和点B（5， ）代入函数解析式计算即可；
（2）先求出抛物线和直线AB的解析式，求出直线AB关于x轴的对称直线AE，则∠BAE= 2∠BAC，
再过B作AE的平行线与抛物线的交点即为D点；
（3）根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可．
解：（1）把A（ - 4，0）和点B（5， ）代入函数解析式得：
两个方程相减得： ，
即a + b =
（2）∵抛物线经过点C（4，0）
∴解得：
∴抛物线解析式为
①∵A（ - 4，0）和点B（5， ）
∴直线AB的解析式为
∴直线AB与y轴的交点F坐标为（0,1）
∴点F关于x轴的对称点E坐标为（0，-1）
∴∠EAC= ∠BAC，直线AE的解析式为
∴∠BAE = 2∠BAC
B作AE的平行线与抛物线的交点为D点
∴∠ABD = ∠BAE = 2∠BAC
∵直线AE的解析式为
∴设BD解析式为
代入B（5， ）得BD解析式为
联立BD与抛物线解析式得：
，解得 或
∴D点坐标为（-6,5）
②∵M、N、P三个点在抛物线上，点Q在y轴上∴设 ，
∴MN中点坐标为
PQ中点坐标为
∵直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于设M，N两点
∴ ，整理得
∴
∴
∴MN中点坐标为
∵四边形MPNQ是平行四边形
∴MN和PQ互相平分，即MN、PQ的中点是同一个点
∴
整理得 ，解得
∴Q点坐标为（0，0）．
【点拨】本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，
与到两倍角问题通过对称构造倍角是解题的关键．
