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专题22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质（五大题型）
【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点
式】........................................................................1
【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】..............................................................................2
【 题 型 3 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 的 y 值 大 小 比
较】................................................................3
【题型4：二次函数y=ax²+bx+c的图像问题】......................................................................4
【题型5：二次函数y=ax²+bx+c图像的变换问题】.........................................................6
【 题 型 6 ： 二 次 函 数 y=ax² +bx+c 中 a,b,c 系 数 间 的 关
系】.....................................................7
【 题 型 7 ： 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析
式】....................................................................10
【题型1：二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】
1．（24-25九年级上·黑龙江黑河·期中）二次函数y=x2−2x−3的顶点坐标是（ ）
A．(1,−3) B．(−1,−2) C．(1,−4) D．(0,−3)
1
2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）用配方法将二次函数y=− x2−2x+4化为
2
的形式，则 的值是（ ）
y=a(x−ℎ) 2+k ℎ +k
A．−6 B．−2 C．2 D．4
3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数y=x2−4x−1配方成
的形式，结果是（ ）
y=a(x+ ℎ) 2+k
A． B．
y=(x−2) 2−5 y=(x−2) 2−2C． D．
y=(x+2) 2−5 y=(x−1) 2−2
4．（24-25九年级上·广西崇左·期末）把二次函数 化为 的形
y=x2−2x+4 y=a(x−ℎ) 2+k
式，下列正确的是（ ）
A． B．
y=(x−1) 2+2 y=(x−1) 2+3
C． D．
y=(x−2) 2+2 y=(x+1) 2+3
5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数y=x2−4x−7化为顶点式，下列结果正
确的是（ ）．
A． B．
y=(x−2) 2−11 y=(x−4) 2−11
C． D．
y=(x+2) 2−11 y=(x+4) 2−11
6．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=x2−4x+3配方后化为
的形式为 ．
y=(x−ℎ) 2+k
7．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=x2−4x+3配方后化为
的形式为 ．
y=(x−ℎ) 2+k
【题型2：二次函数y=ax²+bx+c的性质】
1．（24-25九年级上·河北保定·期中）将抛物线y=2x2−4x+3向左平移1个单位长度得到
新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）
A．y=2x2+1 B．y=2x2−1
C． D．
y=2x2−2x y=2(x+1) 2+4
2．（2025·江苏盐城·二模）下列对二次函数y=x2−x的图像的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方
3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）关于抛物线y=−x2−2x+4的图像与性质，下列结论错误的是（ ）
A．形状与抛物线y=−x2相同 B．对称轴是直线x=−1
C．当x>−1时，y随x的增大而减小 D．该抛物线与x轴没有交点
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0
）的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … −2 0 3 5 …
y … 5 −3 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线x=1
C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小
D．当0− B．m≥ C．m<− D．− y >y B．y >y = y C．y = y >y D．y >y >y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 3
3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）点 ， ， 都在二次
P (−1,y ) P (3,y ) P (6,y )
1 1 2 2 3 3
函数y=−2x2+4x图象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >y >y B．y >y = y
3 2 1 3 1 2
C．y >y >y D．y = y >y
1 2 3 1 2 3
4．（24-25九年级上·重庆秀山·期中）已知 三点都在二次函
A(−1,y ),B(1,y ),C(0,y )
1 2 3
数 的图象上，则 的大小关系为（ ）
y=−(x−2) 2+m y ,y ,y
1 2 3
A．y 0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④
am2+bm>a+b．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知二次函数 的图象如图
y=ax2+bx+c(a≠0)
所示，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②2a−b=0；③b2−4ac>0；④
a−b+c<0，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线 与 轴的交点坐标分别
y=ax2+bx+c(a≠0) x
为(−1,0)，(3,0)，有以下结论：①abc<0；②4a+b<0；③2c+b>0；④
5a+b+c=0．其中结论正确的有（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
4．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观
察得出了下面四条结论：①a<0；②b>0；③a−b+c>0；④ 2a+b<0．你认为
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（24-25九年级下·江西九江·阶段练习）已知二次函数 的图象如图
y=ax2+bx+c(a≠0)
所示，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0；③2a+b<0；④m为任何实数时，都
有：m(am+b)≤a+b．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线 与 轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0) x
1
(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<
2
时，y随x的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点
A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，以下结论：①abc>0；②当x>0时，y随x的增
大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
经过点( 1 )，其对称轴为直线 ．下面是5个结论：① ；②
− ,0 x=1 abc<0
2
a−2b+4c=0；③2a+b>0；④2c−3b<0；⑤a+b≤am2+bm．其中正确的结论
有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（24-25九年级上·黑龙江鸡西·期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：① ；② ；③ ；④其顶点坐标为(1 )；⑤当 1时，
abc>0 4ac0 ,−2 x<
2 2
y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0；⑦方程ax2+bx+c=−4有实数解．其中结论正
确的序号为 ．
【题型7： 待定系数法求二次函数解析式】
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过(−3,0),(1,0),(0,3)三点，
则该抛物线对应的函数表达式为 ．
2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点(1,1)和点
(−1,1)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该二次函数图象的顶点坐标；
(3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？
3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为(−1,0)，图像与y轴的交于
点A(0,−2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大．
4．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)，
点B(−1,0)
(1)求该二次函数的解析式；
(2)将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．5．（24-25九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线 ，经过 ，
L:y=ax2+bx+c(a≠0) A(3,0)
B(−1,0)，C(0,3)三点．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)当x为何值时，函数y随x的增大而增大？
1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知抛物线的二次项系数为1，顶点坐标为
(1,3)，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
y=(x−1) 2+3 y=(x+1) 2+3
C． D．
y=(x−1) 2−3 y=(x+1) 2−3
2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线y=x2+2x+3关于直线x=4对称后所
得抛物线的解析式是 ．
3．（2025·山东淄博·一模）已知二次函数y=x2−3x+2，当1≤x≤3时，y的取值范围为
．
4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交
于点A(−4,−5)，B(1,−2)，则关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为 ．
