文档内容
第 04 讲 基本不等式及其应用
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：基本不等式..................................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................4
题型一：基本不等式及其应用....................................................................................................................................5
题型二：直接法求最值................................................................................................................................................8
题型三：常规凑配法求最值........................................................................................................................................9
题型四：化为单变量法...............................................................................................................................................11
题型五：双换元求最值..............................................................................................................................................12
题型六：“1”的代换求最值......................................................................................................................................15
题型七：齐次化求最值..............................................................................................................................................17
题型八：利用基本不等式证明不等式......................................................................................................................20
题型九：利用基本不等式解决实际问题..................................................................................................................22
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值.....................................................................................................25
题型十一：三角换元法..............................................................................................................................................28
题型十二：多次运用基本不等式..............................................................................................................................32
题型十三：待定系数法..............................................................................................................................................35
题型十四：多元均值不等式......................................................................................................................................36
题型十五：万能K法..................................................................................................................................................38
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题...................................................................................................41
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题..............................................................................................43
题型十八：整体配凑法..............................................................................................................................................45
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................47
05课本典例·高考素材........................................................................................................................50
06易错分析·答题模板........................................................................................................................52
易错点：忽视基本不等式应用条件..........................................................................................................................52
答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定）..............................................................................................52考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解基本不等式
的推导过程． 高考对基本不等式的考查比较稳定，考
2022年II卷第12题，5分
（2）会用基本不等式 查内容、频率、题型难度均变化不大，应适
2021年乙卷第8题，5分
解决简单的最值问题． 当关注利用基本不等式大小判断、求最值和
2020年天津卷第14题，5分
（3）理解基本不等式 求取值范围的问题．
在实际问题中的应用．
复习目标：
1、掌握基本不等式的内容．
2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题．
3、会用基本不等式解决实际问题．知识点1：基本不等式
如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立．其中， 叫作 的算术平均
数， 叫作 的几何平均数．即正数 的算术平均数不小于它们的几何平均数．
基本不等式1：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；
基本不等式2：若 ，则 （或 ），当且仅当 时取等号．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求
最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．
解题方法总结
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 （当且仅当“ ”时取“ ”）．
特例： （ 同号）．
（3）其他变形：
① （沟通两和 与两平方和 的不等关系式）
② （沟通两积 与两平方和 的不等关系式）
③ （沟通两积 与两和 的不等关系式）
④重要不等式：即调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知 ．
（1）如果 （定值），则 （当且仅当“ ”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果 （定值），则 （当且仅当“ ”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一： ，当且仅当 时等号成立.
模型二： ，当且仅当 时
等号成立．
模型三： ，当且仅当 时等号成立.
模型四： ，当且仅当 时等号成立.
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵ 可能为负数，如 时， ，∴A错误；∵ 可能为负数，如 时， ，∴B错误；
∵ ，如 时， ，∴C错误；
∵ ， ， ，∴ ，当且仅当 ，即 等号成立，∴D正确．
故选：D．
【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所
示图形，在等腰直角三角形 中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设
， ，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图知： ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
故选：C
【方法技巧】
熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验
证．
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时， 的最小值是
C．当 时， D．当 时， 的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当 时， ，故A错误，对于B，当 时， ，当且仅当 时等号成立，故B错误，
对于C，当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，故C正确，
对于D，当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，故D错误，
故选：C
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且 ，则下列选项不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】x，y都是正数，
由基本不等式， ， ， ，这三个不等式都是当且仅当 时等号
成立，而题中 ，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当 时取等号，如 即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
【变式1-3】给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴ ；
②∵x，y为正实数，∴ ；
③∵ ， ，∴ ；
④∵ ， ，∴ ．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】根据基本不等式的条件判断，① ，∴ ，因此 正确；
② 时，若 ，则 ，不等式 错误；③ 时，不等式 错误；
④ ，则 ， ，因此不等式 正确，从而不等式
正确．
故选：D．
题型二：直接法求最值
【典例2-1】若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ,当且仅当 ，
即 时取到等号.
故答案： .
【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测） 的最小值为 .
【答案】9
【解析】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为9.
故答案为：9
【方法技巧】
直接利用基本不等式求解，注意取等条件．
【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足 ，则 的最小值等于 ．
【答案】4
【解析】 ，当 ，即 ， 时等号成立，
则 的最小值为4．
故答案为：4．【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号.
故答案为： .
题型三：常规凑配法求最值
【典例3-1】函数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数
又由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，所以
即函数 的最大值是 .
故选：C.
【典例3-2】（2024·广东·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为 ，此时
．
【答案】 12 或1
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取到等号，故 的最小值为12，
此时满足 ，解方程得 或 ，故 或1.
故答案为：12； 或1
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
【变式3-1】若 ，则 的最小值为 .
【答案】0
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立.
故答案为：0
【变式3-2】函数 （ ）的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为：
【变式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】因为 ，
所以，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
题型四：化为单变量法
【典例4-1】（2024·高三·上海·竞赛）若正实数 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】9
【解析】解析一: ，
则 ，等号成立时 .
所以 的最小值是9.
解析二: ，
则 ，
等号成立时 所以 的最小值是9.
故答案为：9.
【典例4-2】（2024·天津河东·一模）若 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由 ，
故
，当且仅当 时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4
【方法技巧】化为单变量法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求
解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！
【变式4-1】（2024·陕西西安·三模）已知 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ， 且 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
故答案为： ．
【变式4-2】已知实数 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【解析】由 可得： ，将其代入 ，则有： ，
因 ，故有： ，
当且仅当 时等号成立，即 时， 取得最小值 .
故答案为： .
题型五：双换元求最值
【典例5-1】设 为正实数，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】∵ ,令 ，
∴ ，
∴ ，∴
又∵
∴ ；
当且仅当 时，即 时 取得最小值，
∴ 的最小值为 .
故答案为：
【典例5-2】（2024·江苏南京·三模）若实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】已知条件可化为 ，故可设 ，从而目标代数式可化为
，利用基本不等式可求其最大值.由 ，得 ，
设 ，其中 .
则 ，从而 ，
记 ，则 ，
不妨设 ，则 ,
当且仅当 ，即 时取等号，即最大值为 .
故答案为： .
【方法技巧】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式
的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
1、代换变量，统一变量再处理．
2、注意验证取得条件．【变式5-1】若非零实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】令 ， ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ,
所以 ，所以 ，
从而 ，当且仅当 时，等号成立，
故 取得最大值 .
故答案为： .
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，得到 ， ，
于是 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
又因为 ，解得 ， ，满足 ．
，
，
令 ，
则 ，令 ，得 ，此时函数 单调递增；
令 ，得 ，此时函数 单调递减，
，
又当 时， ，当 时， ，
， ．
故答案为： .
题型六：“1”的代换求最值
【典例6-1】已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】16
【解析】
当且仅当 时等号成立.即当 时， 取得最小值为16.
故答案为：16.
【典例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 ，且 ，则 的最小值
是 ．
【答案】24
【解析】因为 ，且 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故答案为：
【方法技巧】
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过
程中要特别注意等价变形．
1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．
2、注意验证取得条件．
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】 / ．
【解析】由 ，得 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
【变式6-2】（2024·河南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ．
故答案为： .
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·一模）已知 ，且 ，则 的最小值为 ．【答案】 /
【解析】由 ， ，
得
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故答案为：
题型七：齐次化求最值
【典例7-1】已知 ， ， ，则（ ）
A．S的最大值是 B．S的最大值是
C．S的最大值是 D．S的最大值是
【答案】B
【解析】∵
，
令 ，
∵ ， ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，可得 ，
又∵ 在 上单调递增，则 ，∴ ，即S的最大值是 .
故选：B.
【典例7-2】已知正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】任意的正实数 ， ， ，满足 ，
所以
，
由于 ， 为正实数，
故由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上， 的最小值为16．
故答案为：16．
【方法技巧】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式
进行求解．
【变式7-1】（四川省成都市第七中学2024届高三三诊模拟考试文科数学试卷）设 ，若
，则实数 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A【解析】因为 ，若 ，可得 ，
设 ，只需要 小于等于右边的最小值即可，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
即 的最大值为 ．
故选：A．
【变式7-2】已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，即有 且 ，
将 代入 得 ，
令 ， ， ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值 ，即 的最小值是 .
故选：D.题型八：利用基本不等式证明不等式
【典例8-1】（2024·全国·模拟预测）已知正实数 满足 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）由 ，且 可得 ，
故 ，当且仅当 时等号成立．
，
，当且仅当 时等号成立．
（2）
，
当且仅当 时等号成立．故 ．
【典例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 的最小值是 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，且 ，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
此时 ；
当 时， ，
此时 ；
当 时， ，
此时 ；
综上所述，函数 的最小值是2，即 .
（2）要证 ，
即证 ，
即证 ，因为 ， ，且 ，
故只需证 ，
由基本不等式可知， ，
当且仅当 时，等号成立，
故命题得证.
【方法技巧】
类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．
【变式8-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知 ，且 .
(1)求 的最大值与最小值；
(2)证明： .
【解析】（1）因 ，由均值不等式，
.
则 ，
注意到函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
得 .
即 时， 有最小值 ；
时， 有最大值 ；
（2）由均值不等式， ，当且仅当 时取等号.
又由（1）， ，当且仅当 时取等号.
注意到前后取等条件不一致，则 .
【变式8-2】（2024·河南·模拟预测）已 均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）证明：由柯西不等式可得 ，当且仅当 时取等号．
即 ，则原式成立；
（2）证明：
．
当且仅当 时取等号.
【变式8-3】（1）设 且 ．证明： ；
（2）已知 为正数，且满足 ．证明：
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ， 都不为 ，则 ，
所以 .
（2）因为a，b，c为正数， ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
即
题型九：利用基本不等式解决实际问题
【典例9-1】（2024·广东湛江·二模）当 ， 时， .这个基本不等式可以推广为当x，
时， ，其中 且 ， .考虑取等号的条件，进而可得当 时，
.用这个式子估计 可以这样操作： ，则 .用这样的方法，可得 的近似值为（ ）
A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039
【答案】C
【解析】依题意， ，则 .
故选：C
【典例9-2】（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的
标准足球场，其底线宽 ，球门宽 ，且球门位于底线 的中间，在某次比赛过程中，
攻方球员带球在边界线 上的 点处起脚射门，当 最大时，点 离底线 的距离约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，所以 ；
记 可得 ；
，
当 取最大时， 取最大即可，
易知 ，此时 取到最大值，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
将 代入可得 .
故选：C
【方法技巧】
1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．
2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．
【变式9-1】（2024·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入
生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年
增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【答案】B
【解析】设第 年的维修保养费为 万元，数列 的前 项和为 ，该机的年平均耗费为 ，
据题意，数列 是首项为12，公差为4的等差数列.
则 .
当且仅当 ，即 时， 取最小值38.
所以这台冰激凌机的使用年限是7年.
故选: .
【变式9-2】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的
单价分别为m元和n元 ，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周
购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为 ，则（ ）
A． B． C． D． 的大小无法确定
【答案】B
【解析】由题意得 ， ，
因为 ，故 ， ，
即 ，
故选：B
【变式9-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其
中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在
距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视
的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45
【答案】A【解析】
如图，设观赏者的眼睛在点 处，油画的上沿在点 处，下沿在点 处，
点 在线段 延长线上，且保持与点 在同一水平线上，
则 即观赏时的视角.
依题意 ，
不妨设 ，则 ，
在 中，由余弦定理，
，
因 ，则 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
由 可得 ，
则 ，则 ，
因函数 在 上单调递减，故得 ，
即最大视角为 ，此时观赏者距离油画的直线距离为 .
故选：A.
题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值
【典例10-1】（多选题）（2024·湖南·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】解析：对于A和B，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，，则 ，当且仅当 时，等号成立，故A错误，B正确；
对于C，若 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故C错误；
对于D，若 ，则 ，
所以 ，
由 及 ，可知 ，则当 ，
即 时， 取得最小值 ，故D正确．
故选：BD．
【典例10-2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知 ，且 ，则（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】BD
【解析】对于A， ，
因为 ， ，
令 ，得 ，解得 或 ，即 或 ，
当且仅当 或 时，等号成立，故A错误；
对于B， ，解得 或 ，
当且仅当 或 时，等号成立，故B正确；
对于C， ，所以 ，
当且仅当 或 时，等号成立，故C错误；
对于D， ，
由选项B知， 或 ，所以 或 ，
则 或 ，故D正确.
故选：BD.
【方法技巧】
利用基本不等式变形求解
【变式10-1】（多选题）若 ， ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A， ， ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，A正确；
对于B， ， ， ，
又 ，则 ，当且仅当 时取等号，B错误；
对于C， ， ，则 ，
当且仅当 时取等号，C正确；
对于D， ， ， ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，D正确，
故选：ACD
【变式10-2】（多选题）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，所以 不恒
成立，故错误；
对于B：因为 且 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故正确；
对于C：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误；
故选：BC.
题型十一：三角换元法
【典例11-1】（多选题）若x，y满足 ，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为 （ R），由 可变形为，
，解得 ，当且仅当 时， ，
当且仅当 时， ，故A正确，B错误；
由 可变形为 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，故D正确；
因为 变形可得 ，
设 ，所以 ，因此
，所以当 时，即 时，
此时 ， 取到最大值2，故C错误.
故选：AD.
【典例11-2】已知非负实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，用换元法，令 ， ，
将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.由题意得： ，令 ，
，
又 ， 为非负实数，
，
， ，即 ，
解得 ， .
故 （其中 ），
，即 ，
，即
又 在 上单调递增，∴当 时， 取得最大值，
故当 ， 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
【变式11-1】已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由条件知 令 ，
则 ，令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， 时， ，
故当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 取得最大值 ，
故答案为：
【方法技巧】
出现平方和结构（ ）形式，引入三角函数表示 和 .
【变式11-2】已知 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的
条件.令 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，
所以
所以 ，
当且仅当 ， ， ，时取等号，
即当且仅当 时， 的最小值为 ，
故选：A
【变式11-3】（2024届广东省惠州市大亚湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试卷）已知
为函数 图象上一动点，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】设 ，原点 ，则 ， ；
所以 ，即 ，
如图所示，所以当直线 与函数 在 轴右侧相切时， 取到最大值，即 取
得最大值；
联立直线 与函数 可得 ，
所以 ，解得 （ 舍去）；
此时 ，所以 ，
即 的最大值为 .
故答案为：
【变式11-4】（2024·高三·重庆·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 ；的取值范围为 ．
【答案】 1
【解析】由题意 ，等号成立当且仅当 ，即 的最大值为1；
由题意 ，
因为 ，所以设 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：1； .
题型十二：多次运用基本不等式
【典例12-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】64
【解析】法一：因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
所以 的最小值为64．
法二：因为 ， ， ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
所以 的最小值为64．
故答案为：64.
【典例12-2】已知正实数 、 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得出 ，利用不等式的性质结合基本不等式可求得 的
最小值. ， ， ，
由于 、 、 均为正数，则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值是 .
故选：C.
【方法技巧】
多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.
【变式12-1】（2024·天津·一模）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】4
【解析】化简原式为 ，两次运用基本不等式可得结果.，
当且仅当 ，即 等号成立，
所以， 的最小值为4，
故答案为：4.
【变式12-2】对任意的正实数 ，满足 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】任意的正实数 ，满足 ，
由于 为正实数，故由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上， 的最小值为 .
故答案为：
题型十三：待定系数法
【典例13-1】（2024·高三·河北邢台·期末）设 ，若 ，则 的最小值为
（ ）A．6 B． C． D．4
【答案】D
【解析】设 ， ，
令 ，解得 ，所以 ，
即 ，当且仅当 ， 时，等号成立．
故选：D.
【典例13-2】已知实数 ， ， 满足 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】设 ，因为 ，
所以
，
令 ，解得 或 （舍去），
因此 ，即 ，当 且 时取等号，
故 的最大值为 .
故答案为：
【方法技巧】
出现 结构形式，通常用待定系数法.
【变式13-1】已知x，y，z为正实数，则 的最大值为
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 的最大值为 ，选C.
【变式13-2】 为正整数，求 的最小值为 .
【答案】4
【解析】由题意知，引入参数k ，使之满足
,
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立，
所以 ，
故 的最小值为4.
故答案为：4.
题型十四：多元均值不等式
【典例14-1】已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意， ，则 ，且 ，
，
当且仅当 时等号成立.
故答案为：
【典例14-2】函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D【解析】设 ，则 ， ，
因为 ，
由对勾函数性质可知 在 上单调递增，
所以 .
故选：D.
【方法技巧】
， 为正数.
【变式14-1】已知xyz+y+z=12，则 的最大值为 .
【答案】3
【解析】由已知条件有 ， ，
则 ，
当且仅当 ，y=z=4时取得最大值3.
故答案为：3．
【变式14-2】设正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】6
【解析】由三元均值不等式，可得
①
. ②
当且仅当 时，①中等号成立；当且仅当 时，②中等号成立.
①+②，得 .又已知 ，故 ，整理得 .当且仅当 时等号成立.
所以， 的最小值为6.
题型十五：万能K法
【典例15-1】（2024·安徽·模拟预测）已知正实数 满足 ，则 的取值范围为
.
【答案】
【解析】根据题意可得： ，即 ，
设 ，
则： ， ，
，
， ，
解得 或 ，
又 ，
，化简得 ，
①当 时，不等式不成立；
②当 时， ，即 ，
，又 恒成立，可得 ，
的取值范围为 .
故答案为： .
【典例15-2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最大值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，
方程 可化为 ，
整理得 ，则满足 ，
解得 ，所以 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
【方法技巧】
利用一元二次方程有实数根时 .
【变式15-1】若正数 ， ， 满足 ，则 的最大值是 .
【答案】
【解析】把式子 看作是关于 的方程，则问题等价于关于 的方程
有解，则 ，即 ，则问题转
化为关于 的不等式 有解，则 ，化简得 ，所以
，此时 ， ，符合条件.
故答案为：
【变式15-2】已知实数x，y，z满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 的最大值是 B． 的最大值是
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【答案】A
【解析】对于C，由 ，
整理得， ，可以看作关于 的一元二次方程，
所以 ，即 ，可以看作关于 的一元二次不等式，
所以 ，解得 ，
当 时， ， ，
所以x的最大值是 ，故C正确；
对于B，由 ，
即 ，
即 ，
令 ， ， ，则 ，
即 ，即 ，
由 ，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，
所以
即 ，即 ，
所以 ，
即 ，
即 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
对于D，所以 的最大值是 ，故B正确；
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最大值是 ，故D正确；对于A，取 ， ， ，
则 ，
而 ，
又 ，
而 ，
所以 ，故A错误.
故选：A.
题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题
【典例16-1】已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，
所以
，当且仅当 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，解得 .
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
【典例16-2】已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】 ，故 ， ，
， ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，故 ，
最小值是16，由不等式 恒成立可得 .
a的取值范围是 ，
故选：B.
【方法技巧】
，使得 ，等价于 ， ，使得 ，等价于
【变式16-1】（2024·辽宁·模拟预测）若关于 的不等式 对任意 恒成立，则正实数 的
取值集合为 ．
【答案】
【解析】∵ ，则 ，
原题意等价于 对任意 恒成立，
由 ， ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
∴ ，解得 ．
故正实数 的取值集合为 .
故答案为： ．
【变式16-2】（2024·山西晋中·二模）若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
.
【答案】【解析】因为对任意 ， 恒成立，只需满足 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
故实数 的取值范围是 .
故答案为：
题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题
【典例17-1】（2024·上海杨浦·一模）已知 （ 、 为正整
数）对任意实数 都成立，若 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 ,
= ,
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， 的最小值为 ，
故答案为： .
【典例17-2】（2024·四川南充·二模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知
．则 的最大值为
【答案】 /
【解析】因为 ，所以由正弦定理可得 .
由余弦定理 ，得 ，
整理得 .
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，又 ，所以 ，即 .
故答案为： .【方法技巧】
基本不等式经常与解三角形、数列、立体几何、解析几何等知识汇合求最值.
【变式17-1】（2024·宁夏银川·二模）已知 ，P是椭圆 上的任意一点，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】由已知可得 为椭圆 的焦点，
根据椭圆定义知 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为 .
故答案为： .
【变式17-2】（2024·全国·模拟预测）已知正三棱锥 满足 ，则该三棱锥侧面积
的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设 为 的外心， 为 的中点，连接 ，设 ，
．
因几何体 为正三棱锥，则 平面 ，O为 重心，则 ．
注意到， ，则 ，所以 ，
所以 ．又 中，有 ，所以 ．
记三棱锥 的侧面积为 ，在 中， ，
又 ， ，则 .
故 ，
而 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以该三棱锥 侧面积的最大值为 ．故答案为： .
题型十八：整体配凑法
【典例18-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）若 ，则 的最小值是 （ ）
A． B．1
C．2 D．
【答案】C
【解析】 ，当且仅当 时取等号，
因此 ，即 ，解得 ，
所以当 时， 取得最小值2.
故选：C
【典例18-2】（2024·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 为正实数，所以 ，因此 ，故 的最大值为 ，此时 ，
故选：B.
【方法技巧】
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
【变式18-1】（2024·高三·湖北·开学考试）已知正数 满足 ，则 的最大值是
.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 ，解得 ，即 的最大值 ，当且仅当 ，即 ，
时取等号.
故答案为：
【变式18-2】（2024·全国·模拟预测）在解决问题“已知正实数 满足 ，求 的取值范
围”时，可通过重新组合，利用基本不等式构造关于 的不等式，通过解不等式求范围．具体解答如下：
由 ，得 ，即
，解得 的取值范围是 ．
请参考上述方法，求解以下问题：
已知正实数 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以
，
得 ，即 ，解得 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式18-3】已知 为正实数且 ，则 的取值范围为 .
【答案】[2，4]
【解析】因 为正实数，则有 ，当且仅当 时取“=”，而 ，于是得
，
从而得 ，整理得 ，解得 ，
显然当且仅当 时， 取最小值2，当且仅当 时， 取最大值4，
所以 的取值范围为[2，4].
故答案为：[2，4]
1．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知 是互不相同的锐角，则在 三
个值中，大于 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，故选：C.
3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不
符合题意．
故选：C．
1．（1）已知 ，求 的最小值；
（2）求 的最大值.
【解析】（1） ， ， ，
当且仅当 时，即当 时等号成立， 的最小值为 ；
（2）由 知 .
当 或 时， ；
当 时， ，由基本不等式可得 .当且仅当 ，即当 时等号成立.
综上， 的最大值为 .
2．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为 ，房屋正面每平方米的造价为 元，房屋侧面每
平方米的造价为 元，屋顶的造价为 元，如果墙高为 ，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎
样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
【解析】设房屋的正面边长为 ，侧面边长为 ，总造价为 元，则 ，即 ，
.
当 时，即当 时， 有最小值，最低总造价为 元.
答：当房屋的正面边长为 ，侧面边长为 时，房屋总造价最低，为 元.
3．已知 、 、 都是正数，求证： .
【解析】 ， ， ，由基本不等式可得 ， ， ，
由不等式的性质可得 ，
当且仅当 时等号成立.
4．设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设
AB=x，求△ADP的最大面积及相应x的值.
【解析】由题意可知，矩形 的周长为24，
，即 ，
设 ，则 ，而 为直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴.
当且仅当 ，即 时，此时 ，满足 ，
即 时， 取最大面积为 .
5．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放
在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄
金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于 ，等于
，还是大于 ？为什么？
【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 ，右臂长为 ，则 ，
再设先称得黄金为 ，后称得黄金为 ，则 ， ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，但 ，等号不成立，即 .
因此，顾客购得的黄金大于 .
易错点：忽视基本不等式应用条件
易错分析： 基本不等式 取等号的条件是“一正，二定，三相等”．在解题
过程中，一定要先检查取等的三个条件是否成立．常见的技巧是①如果积或和不是定值，则构造“定值”；
②若是 不能保证，可构造“正数”；③若等号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用函数
的单调性求解．
答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定）
1、模板解决思路
在求代数式的最值，特别是求代数式的和或积的最值时，通常根据已知条件和所求问题凑配出和或积
为定值的两个形式，然后利用基本不等式求解．利用基本不等式求最值需注意“一正、二定、三相等”．
2、模板解决步骤第一步：将所求代数式凑配出两个代数式的和（或积）形式，且两个代数式的积（或和）为定值．
第二步：验证两个代数式均为正数．
第三步：应用基本不等式将变形后的代数式进行放缩．
第四步：验证取等的条件．
【易错题1】已知实数 满足 ，则 （ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值6 D．有最大值6
【答案】C
【解析】 ， (当且仅当 ，即 时，
取等号）
故选:C.
【易错题2】下列命题中错误的是（ ）
A．当 时， B．当 时， 的最小值为2
C．当 时， D．当 时，
【答案】B
【解析】利用基本不等式可判断选项A；利用对勾函数的性质可判断选项B；利用基本不等式可判断选项
C；利用基本不等式可判断选项D．对于A，当 时， ，当且仅当 时取等
号，正确；
对于B，当 时， ，错误；
对于C，当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，正确；
对于D，当 时， ， ，当且仅当 时取等号，
正确；
故选：B
【易错题3】函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，令 ，由 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
二次函数的图象开口向上，对称轴 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 .
故选：B.
