文档内容
y=a（ x-h ） 2
专题22.1.4 二次函数
+k
的图象和性质（7个考
点）
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】
1．抛物线 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线的顶点式，根据所给抛物线的解析式即可得，掌握抛物线的顶
点式是解题的关键．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
2．二次函数 的对称轴是 ．
【答案】直线
【分析】直接根据抛物线的顶点式写出对称轴即可．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴该抛物线的顶点坐标为（-2，-4）
∴该抛物线的对称轴为：直线 ．故填： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点式，掌握顶点式与对称轴及顶点坐标关系是解答本
题的关键．
3．二次函数 的图象的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的顶点式解析式，如果 ，那么函数
图象的顶点坐标为 ，根据二次函数的顶点式解析式写出即可，熟练掌握其性质是解决
此题的关键．
【详解】二次函数 图象的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】
4．关于抛物线 ，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．与 轴交于点
C．与 轴没有交点
D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象与性质即可得出答案．
【详解】解：A．对称轴为直线 ，原说法错误，故该选项不符合题意；
B．另 ， ，与 轴交于点 ，原说法错误，故该选项不符合题
意；
C．当 时，即 ，化为 ，且 ，方程两个不相等的实数根，∴抛物线 与 轴有两个交点，故该选项不符合题意；
D．∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ，∴当 时， 随 的增大而减小，说法
正确，故该选项符合题意；
故选：D．
5．点 在二次函数 的图象上，则 的值是（ ）
A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定
【答案】B
【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
根据所给函数解析式可得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可解决问题．
【详解】
解：由题知，
抛物线的对称轴是直线 ，
又 ，
则所给的两个点是关于直线 对称的，
所以它们的纵坐标相等，
即 ．
所以 ．
故选：B．
6．二次函数 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的最值，根据二次函数的顶点式的性质进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 开口向上，
∴当 时，二次函数 的最小值是3，故选：D
7．关于二次函数 的最大值或最小值，下列叙述正确的是（ ）
A．当 时， 有最大值 B．当 时， 有最大值
C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最小值
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数 中 ，可得抛物线
开口向上，有最小值，顶点坐标为 ，由二次函数的性质即可求解，掌握二次函数顶
点式及性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 ， ，
∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，
∴当 时，二次函数有最小值为 ．
故选： ．
8．在二次函数 的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
由题可知，函数图象开口向下，对称轴为 ，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在
对称轴左侧，y随x的增大而增大，据此即可得到答案．
【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为 ，
当 时， y 随 x 的增大而减小．
故选： C ．
9．已知点 与 在函数 的图象上，则 、 的大小关系为
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及开口方向，
然后根据两点据对称轴的距离判断大小即可．
【详解】解：根据解析式可知抛物线对称轴为 ，开口方向向下，
∴两点离对称轴越远函数值越小，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象的性质；根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点
坐标是 ，且图象开口向上，由此即可求解．
【详解】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是 ，抛物线开口向上，
∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，
故答案是： ．
【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】
11．设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解
析式是解题的关键．
把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得 ， ， 的值，比较大小即可．
【详解】∵ ， ， 是抛物线 上的三点，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ．
故选：A．
12．已知点 在抛物线 上，则 的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根
据三点到对称轴的距离判断即可，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小是
解此题的关键．
【详解】解： ，
，对称轴为直线 ，
抛物线开口向下，
， ， ， ，
，
故选：C．
13．点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象具
有对称性可以求得 的大小，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴该抛物线开口向下，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
当 时取得最大值，
∵点 在抛物线 上，∴ 与 时的函数值相等，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
14．已知抛物线 ，若点 ， ， 都在该抛物线上，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称
轴为直线 ，再根据点距离抛物线越远，函数值越小，即可得出答案，熟练掌握二次函
数的性质是解此题的关键．
【详解】解： ，
，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
， ， ， ，
，
故选：D．
15．抛物线 过 ， ， 三点，则 大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点
的纵坐标的大小；
对二次函数 ，对称轴 ，开口向上，在对称轴两侧时，三点的横坐标离
对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断 、 、 的大小．【详解】在二次函数 ，对称轴 ， ，开口向上，
在图象上的三点 ， ， ，点 离对称轴的距离最远，点 离对
称轴的距离最近，
故选：D．
16．设 是抛物线 上的三点，则 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质得到抛物线
的开口向下，对称轴为直线 ，然后根据三个点离对称轴的远近判断函
数值的大小．
【详解】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴为直线 ，
，
∴ ．
故选：A．
【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】
17．关于二次函数 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数顶点式进行解答即可．
【详解】解：二次函数
顶点坐标为： ， ，开口向上，有最小值 ，
故选：D．
18．已知二次函数 ，下列关于函数值的说法正确的是（ ）
A．最大值4 B．最小值4 C．最大值3 D．最小值3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．判断出
二次函数开口向上，有最小值，在对称轴处取最小值．
【详解】解：由题意得开口向上，有最小值，
当 时，取最小值 ，
故选D．
19．当 时，二次函数 有最大值 ，则实数 的值为( )
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质；求出二次函数对称轴为直线 ，再分 ，
， 三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数对称轴为直线x=m，
① 时， 取得最大值，
解得 ；
② 时， 取得最大值为 ，不合题意；
③ 时， 取得最大值， ，
解得 ．
故选：C．
20．已知二次函数 （h为常数）；当 时，与其对应的函数y的最小值为
4，则h的值为（ ）
A． 或5 B． 或3 C．1或5 D．1或3【答案】A
【分析】由解析式可知该函数在 时取得最小值0， 时， 随 的增大而增大；当
时， 随 的增大而减小；根据 时，函数的最小值为4可分如下三种情况：
①若 ， 时， 取得最小值4；②若 ，当 时， 取得最小值
4，③若 时，当 时， 取得最小值为0，不是4，分别列出关于 的方程求解
即可．
【详解】解：∵当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，
∴①若 ， 时， 取得最小值4，
可得： ，
解得： 或 （舍）；
②若 ，当 时， 取得最小值4，
可得： ，
解得： 或 （舍）；
③若 时，当 时， 取得最小值为0，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上， 的值为 或5，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解
题的关键．
21．在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点 旋转 ，在旋转后所
得的抛物线上，当 时， 随 的增大而减小，则 的最大值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质；先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再根据
增减性列不等式求k的范围．
【详解】解： ，
∴原抛物线的开口向上，对称轴是直线 ．将该抛物线绕点 旋转 后，开口向下，对称轴为直线 ，整理得 ，
当 时， 随 的增大而减小．
当 时， 随 的增大而减小，
，解得 ，故 的最大值是5．
故选：C．
22．已知二次函数 的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值
范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值 ，有最大值0
C．有最小值 ，有最大值3 D．有最小值 ，无最大值
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的
关键．根据图象可直接排除选项即可．
【详解】解：由图象可知：二次函数 的最大值为3，最小值为 ；
故选：C．
23．如图，点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线 的顶点在线段
上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐
标最小值为 ，则点D的横坐标最大值为（ ）A． B．1 C．5 D．8
【答案】D
【分析】根据图象，当抛物线顶点为 时，C点横坐标最小，根据此时抛物线的对称
轴，可判断出 间的距离；当抛物线顶点为 时，D点横坐标最大，进而可判断出D
点横坐标最大值．
【详解】解：根据题意，当抛物线顶点为 时，C点横坐标最小为 ，则抛物线的对
称轴为直线 ，此时点D坐标为 ，则 ，
当抛物线顶点为 时，D点横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线 ，又 ，
∴ ， ，
点D的横坐标最大为8，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐
标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．
【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】
24．将抛物线 绕原点旋转 ，旋转后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质和关于原点对称的抛物线的解析式的确定，解题的关
键是确定旋转后的a的值和顶点坐标．先确定旋转后的a的值和顶点坐标，再根据顶点式写出即可．
【详解】解：∵抛物线 的 ，顶点是 ，
∴将抛物线 绕原点旋转 ，得到的抛物线的 ，顶点是 ，
∴旋转后的抛物线解析式为 ．
故选：C．
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是 ，当 时，y随x的增大而增大，
则抛物线解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、 的顶点是 ，故不符合题意；
B、 的顶点是 ，故不符合题意；
C、 的顶点是 ，当 时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 的顶点是 ，当 时，y随x的增大而增大，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26．如果二次函数图象的形状与 的形状相同，且顶点坐标是 ，那么这个
函数的解析式为（ ）
A． B． 或
C． D． 或【答案】B
【分析】根据二次函数图象的形状与 的形状相同，可得到所求函数解析式的
二次项系数为 ，再根据顶点坐标是 ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象的形状与 的形状相同，即二次项系数 相同，
∴所求函数解析式的二次项系数为 ，
∵顶点坐标是 ，
∴这个函数的解析式为 或 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数 相同是解题的关
键．
27．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象得出顶点位置及开口方向，进而根据各选项得出答案．
【详解】解：由图象可得二次函数顶点坐标位于第三象限且开口向下则 ，所以：
A、 的顶点为 ，故本选项不符合题意；B、 的 ，则图象开口向上，故本选项不符合题意；
C、 的顶点 在第三象限且 ，故选项符合题意；
D、 的顶点为 在第四象限，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，根据图象得出顶点位置及开口方向是解题关键．
28．将抛物线 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
【答案】
【分析】根据抛物线沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
【详解】解：∵将抛物线 沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反
数，
∴得到的新的抛物线的解析式是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线沿 轴翻折后，横坐标不
变，纵坐标变为相反数是解答此题的关键．
29．如图所示，已知抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称．如果抛物线 的解析式为
，那么抛物线 的解析式为 ．【答案】
【分析】根据抛物线 的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的
性质确定抛物线 的开口方向及顶点坐标，即可求解．
【详解】解：抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线 的开口向上，顶点坐标为 ，
∵抛物线 ，抛物线 关于原点中心对称，
∴抛物线 的开口向下，顶点坐标为 ，
抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握
运用二次函数的基本性质是解题关键．
【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图象问题】
30．已知二次函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图
象大致是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，关键是由二次函数的图象判断出
和 的符号．由二次函数 （其中 ）可得 ， ，再判断出一
次函数的图象经过一、三、四象限即可．
【详解】由已知二次函数图象，可得抛物线与 轴的交点为 和
∵
，
一次函数 中 随 的增大而增大，与 轴的负半轴相关．
故选：C．
31．二次函数 的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论
选择．
【详解】解： ，
抛物线开口方向向下，
二次函数解析式为 ，
顶点坐标为 ，对称轴为 ，
故选：D．
【点睛】判断图象的大体位置根据：（1）根据 的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐
标或对称轴确定图象位于哪些象限．
32．二次函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．
【详解】解：∵抛物线 的顶点坐标是 ，开口向下，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图象变换问题】
33．将抛物线 向右平移4个单位长度后，再向下平移1个单位长度，所得到的抛
物线的顶点坐标为（ ）
A．（4， ） B．（4，1） C．（ ，1） D．（ ， ）
【答案】A
【分析】根据二次函数平移的规律“把抛物线 向上 或向下 平移 个单
位；再向左 向右 平移 个单位可得到 的图象”进行解答即可
得．
【详解】解：抛物线 的向右平移4个单位长度后，抛物线为 ，再向下平移1个单位长度后所得抛物线为 ，
∴ 的顶点坐标为（4，-1），
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数平移的规律．
34．将抛物线 向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的顶点坐标再求出平移后的顶点坐标即可得到答案．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，
故将抛物线 向左平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为 ，
故向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ．
故选A．
【点睛】本题主要考查抛物线的平移，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
35．已知 是由抛物线y＝ －2x2向上平移3个单位长度，再向右平移1个单
位长度得到的，则a＝ ，h＝ ，k＝ ．
【答案】 -2 1 3
【解析】略
