22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（知识解读+达标检测）（教师版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识解读与题型专练-V14_2025版

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴和最值问题】 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 2. 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一 y ax2 bxc 般式 ． 3. 一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ； 故选D． 【变式1-1】把二次函数 化为顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式： ， ， 是常数， ，该形式的优势是能直接根据解析式知 道抛物线与 轴的交点坐标是 ； ②顶点式： ， ， 是常数， ，其中 为顶点坐标，该形式的优势 是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为 ； ③交点式： ， ， 是常数， ，该形式的优势是能直接根据解析式 得到抛物线与 轴的两个交点坐标 ， ． 直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解： ， 故答案是： ．【变式1-2】把二次函数 用配方法化成 的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式： 一般式： （ ， 、 、 为常数）；顶点式： ；交点式 （与 轴）： ． 【详解】解： ， 即： ， 故答案为： ． 【变式1-3】二次函数 化为 的形式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．直接利用配方法 表示出顶点式即可． 【详解】解： 故答案为∶ ． 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴】 【典例2】抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ） A．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是B．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线 ，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线 ，顶点是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．把抛物线解析式化为顶点 式，即可求解． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 故选：B 【变式2-1】二次函数 的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键 是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解： ， ， 二次函数的对称轴为： ， 故答案为： ． 【变式2-2】把抛物线 化成 的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 直线 【分析】 本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式，即可求解． 【详解】解： ，对称轴为直线 ，顶点坐标为故答案为： ，直线 ， ． 【变式2-3】抛物线 的顶点关于原点对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把二次函数的一般式转化为顶点式是解题的关键． 先求出抛物线 的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出结 论． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∴关于原点对称的点的坐标是 ． 故选：C． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这 两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、 D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称 点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象， 可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） 图象 a0 a0开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例3】关于抛物线 ，下列说法正确的是（ ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与 轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ． 根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题． 【详解】解： ，则抛物线的顶点坐标为： ，故A错误，不符合题意； 函数的对称轴为直线 ，故B正确，符合题意； ，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意； 由 知，抛物线与 轴有一个交点，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式3-1】关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于点 D．与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意， 利用二次函数的性质解答． 先将函数解析式化为顶点式和交点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的 说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数 ， 当 时，解得 ， ， 故函数与x轴两个交点为 ， 当 时，解得 ， 故函数与y轴的交点为 ， 故函数与x轴有两个交点， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线 ，故选项B错误，不符合题意； 与 轴的交点坐标为 ，故选项C错误，不符合题意； 与 轴有两个交点，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】关于二次函数 ，下列说法中正确的是（ ）A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点 在函数图象上，当 时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于 ，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小 值及图象的增减性． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为 ，故A不正确； 函数有最大值，最大值为 ，故B不正确 当 ，y随x的增大而增大，当 ，y随x的增大而减小，故D不正确； 当 时， ，故C正确． 故选：C． 【变式3-3】已知二次函数 ，当 时， 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据 可可知二次函数 开口 向下，且对称轴为 ，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴二次函数 开口向下，∵对称轴为 ，且 ， ∴离对称轴距离越远的，函数值越小，即当 时，y取的最小值为： 当 时，y取的最大值为： ， ∴当 时，， 的取值范围为 ． 故答案为： ． 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例4】已知点 ， ， 都在抛物线 上，则 下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，确定 的大小关系. 【详解】解：抛物线 的对称轴为直线 ， ∵点 ， ， 都在抛物线 上，且 ， ∴ ， 故选B. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性 质解答. 【变式4-1】若 为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先求出二次函数的对称轴，根据 时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越 大，进行判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式4-2】已知点 在二次函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，根据函数解析式求出二次函数开口 向上对称轴为直线 ，则离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线 ， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点 在二次函数 的图象上， ， ∴ ， 故选B． 【变式4-3】已知点 在抛物线 上，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，再利用函数的增减性比较即可． 【详解】解：∴抛物线开口向上，对称轴 ， ∵离对称轴越近，则点的纵坐标越低， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，是 本题的关键． 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【典例5】已知二次函数 ，当 时， 的最大值为9，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质， 先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二 次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：已知二次函数 ， ∴对称轴为： ， ∴ 时与 时的函数值相等， 时与 时的函数值相等， ∴当 时的函数值大于 时的函数值， ∴当 时， ， ∴ ， 解得， ， 故答案为： ．【变式5-1】已知二次函数 （其中 ），当 时， 的最大值是 4，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的图象 和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ 时，抛物线开口向上，对称轴 两侧离对称轴越远，数值越大， ∴当 时y有最大值 ，即 ，解得： ； 故答案为： ． 【变式5-2】已知二次函数 ，在 有最大值7，则所有满足条 件的实数 的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线 的性质四种情况讨论，即可求解． 【详解】解： ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 当 时， ， 当 时， ， ∵在 有最大值7，抛物线开口向上， ∴当 ，即 时， ，此时， （舍去）； 当 ，即 时， 若 ，即 ， 此时 ，解得： （舍去）； 若 ，即 ， 此时 ，解得： （舍去）； 此时 ，解得： ； 当 ，即 时， 此时 ，解得： ； 综上所述，a的值为9或 ． 故答案为：9或 【变式5-3】已知二次函数 ，当 时， ，则 的取值范围是 . 【答案】 且 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 当 时，抛物线与 轴的交点为 ，当 时， ，则满足 的任意 都有 ，从而求出 的范围，当 时，抛物线与 轴的交点为 ，对称轴为直线 ，抛物线开口向下，故该情况下 的任意 都有 ，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ， 当 时，抛物线与 轴的交点为 ，当 时， ，则满足 的任意 都有 ，即 ，解得： ， 当 时，抛物线与 轴的交点为 ，对称轴为直线 ，抛物线开口向下，故 该情况下 的任意 都有 ， 综上所述， 且 ． 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【典例6】函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关 系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函 数图象经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴ ， ， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当 时，即 ， ， 当 时，即 ，则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关 系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函 数图象经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴ ， ， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当 时，即 ， ， 当 时，即 ， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象 可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布 于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到 即 ，根据抛物线的图象， 得 ，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到 即 ，根据抛物线的图象，得 ， 即 ， ，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到 即 ， ，根据抛物线的图象，得 ， 即 ，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到 即 ， ，根据抛物线的图象，得 ，即 ， 一致，符合题意； 故选D 【变式6-3】一次函数 和二次函数 在同一平面直角坐标系中 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系 数与图象的关系，是解题的关键．逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及 与y轴的位置关系，即可得出 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即 可得出结论． 【详解】解：A． ∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴ ， ， ∴一次函数 过二，三，四象限，故本选项符合题意； B． ∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴ ， ， ∴一次函数 图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为 ，故本 选项不符合题意； C． ∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴ ， ∴一次函数 图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D． ∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴，∴ ， ∴一次函数 图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 考点4 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 y=ax2 +bx+c （1）上下平移 若原函数为 {向上平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c+m 向下平移m个单位，则平移后函数为 y=ax2 +bx+c−m 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 y=ax2 +bx+c 若原函数为 ，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式 y=a(x−h) 2 +k 然后再进行相应的变形 {若向左平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h+n) 2 +k 若向右平移了n个单位，则平移后的函数为y=a(x−h−n) 2 +k 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【典例7】若将函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物 线的表达式是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关 键． 根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】若将函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 得到的抛物线的表达式是 ． 故选：C． 【变式7-1】将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的 抛物线的函数关系表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律，“上加下减，左加右减”即可 求解． 【详解】解：将抛物线 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线的函数关系表达式为 即 ， 故选：C． 【变式7-2】将二次函数 的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单 位长度后得到的图象的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题． 根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标．【详解】解：将 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个 单位长度可得： ， 则平移后的二次函数图象的顶点为 ． 故选：B． 【变式7-3】把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单 位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么 的值可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数与坐标轴的交点问题，先根 据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式为 ，再根据平 移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点，得到 ，据此可得答案． 【详解】解：把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度， 再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为 ，即 ， ∴平移后的抛物线顶点坐标为 ， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点， ∴ ， ∴ ， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D．考点5 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例8】如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，结合图象分析如下结论：① ；②当 时， 随 的增大而增大；③ ；④ ．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴 ，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到 ，即可判断①；根据函数性质 即可判断②；根据抛物线 经过点 和 时， ，得到 ， ，即可判断③；根据图象对称轴为直线 ，可知 ，即可求得 ，根据二次函数 的图象顶点坐标为 ，求得 ，得到 即可判断④． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴ ； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴ ， ∴ ， 故①正确； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当 时，y随x的增大而增大； 故②错误； ③∵图象与x轴交于点 ，对称轴为直线 ， ∴图象与x轴的另一个交点为 ， ∴ ， ∴ ，即 ； 故③正确； ④∵图象对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∵二次函数 的图象顶点坐标为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故④错误； 综上所述，正确的有①③共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【变式8-1】如图，二次函数 的图象与x轴负半轴交于 ，对称 轴为 ，有以下结论：① ；② ；③若点 ， 均在函 数图象上，则 ；④对于任意实数m，都有 ．其中结论正确的有 （ ） A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题 关键．该二次函数的图象的对称轴为 ，则 ，由图象可知， ，即可 判断①；根据图象可知，当 时， ，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大， 值越大，即可判断③，根据 时函数取得最小值，即可判断④，即 可求解． 【详解】∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为 ， ∴ ， ∴ ， 由图象可知， ， ∴ ， ∴ ，故①不正确； 根据图象可知，当 时， ，故②不正确； ∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大， 值越大， 又∵ ， ∴ ，故结论③正确； ∵ 时函数取得最小值， ∴ ， ∴ ，故④正确 故选：D． 【变式8-2】已知二次函数 （ 为常数，且 ）的图象如图所示， 其对称轴为直线 ，且经过点 ．给出下列结论：① ；② ③ ．正确的是（ ） A．①② B．①②④ C． D． 【答案】D【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与 轴的交 点位置，判断①②③，利用抛物线与x轴的交点即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线 ，与 轴交于正半轴， ∴ ， ∴故①正确，②正确； ∵ ；故③正确； ∵由图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴ ，④正确； 故选D． 1．已知二次函数y=2x2-4x+5，若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤2 D．x≥2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数的图象的性质是解题关键． 先判定二次函数的开口方向和对称轴，利用开口方向即可得出二次函数的图象的增减性， 即可解答． b 【详解】解：二次函数y=2x2-4x+5的对称轴为直线x=- =1， 2a ∵a=2>0， ∴在对称轴右侧y随着x的增大而增大， ∴x的取值范围是x≥1， 故选：B． 2．在二次函数y=x2-4x+5中，当00， ∴当x=2时，y有最小值，最小值为1， ∵2-0>3-2， ∴当x=0时，y=5， ∴当0y >y B．y >y >y 1 2 3 3 2 1 C．y >y >y D．y >y >y 1 3 2 3 1 2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线 3 y=-x2+3x-1的开口向下，对称轴为直线x= ，然后根据三个点离对称轴的远近判断函 2 数值的大小．熟知二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵y=-x2+3x-1， 3 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x= ， 2 ∵点A(0，y )，B(-1，y )，C(2，y )是抛物线y=-x2+3x-1上的三点， 1 2 3 ∴B(-1，y )离对称轴的距离最远，C(2，y )离对称轴最近， 2 3 ∴y >y >y ， 3 1 2 故选：D． 4．关于抛物线y=x2-4x+4，下列说法正确的是（ ） A．顶点坐标是(-2,0) B．对称轴是直线x=2 C．抛物线有最高点 D．抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a(x-h) 2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k)．根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题． 【详解】解：y=x2-4x+4=(x-2) 2， 则抛物线的顶点坐标为：(2,0)，故A错误，不符合题意； 函数的对称轴为直线x=2，故B正确，符合题意； ∵a=1>0，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意； 由y=x2-4x+4=(x-2) 2知，抛物线与x轴有一个交点，故D错误，不符合题意， 故选：B． 5．二次函数． y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax-b的图象大致是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解答本 题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数y=ax²+bx+c的图象可以得到a、b的正负，从而可以得到一次函数 y=ax-b的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，可得，a>0， b 又函数图象的对称轴在y轴右侧，则- >0， 2a ∴b<0， ∴一次函数y=ax-b的图象经过第一、二、三象限， 故选：C．6．已知抛物线 y=-(x-n)²-1(n为常数)，当1≤x≤4时，其对应的函数值最大为-10， 则n的值为（ ） A．-2或7 B．1 或7 C．4 D．-2 或4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分n<1， 1≤n≤4和n>4三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵y=-(x-n)²-1，-1<0，对称轴为直线x=n， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当n<1时，则x=1时，函数值y有最大值， 故-(1-n) 2-1=-10， 解得：n =-2,n =4（舍去）； 1 2 当1≤n≤4时，y=-(x-n) 2-1的最大值为-1，不符合题意； 当n>4时，则x=4时，函数值y有最大值， 故-(4-n) 2-1=-10， 解得：n =1（舍去），n =7． 3 4 综上所述：n的值为-2或7． 故选：A． 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于A(-1，0)，B(2，0)两点， 则以下结论：①ac<0；②对称轴为x=1；③2a+c=0；④a+b+c>0．其中正确的个数 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系，掌握二次函数系数与图象的关系以及特殊点的性质是解题关键．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的a决定抛物线开口方向； b - 决定抛物线对称轴位置；c决定抛物线与y轴交点位置． 2a 【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，与y轴交于负半轴， ∴a>0，c<0， ∴ac<0， 故①正确； ∵图象与x轴相交于A(-1，0)，B(2，0)两点， b 2-1 1 ∴抛物线对称轴为：直线x=- = = ， 2a 2 2 故②错误； b 1 ∵- = ， 2a 2 ∴b=-a， ∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(-1，0)， ∴a-b+c=0， ∴a-(-a)+c=0，即2a+c=0， 故③正确； 由图可知：当x=1时，y<0， ∴a+b+c<0， 故④错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 1 8．已知二次函数y=x2-2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x> 时，y随x 2 的增大而增大，则实数m的取值范围是（ ） 3 1 3 1 3 1 A．m>- B．n≤ C．- 时，y随x的增大而增大，得出¿，从而得出答案． 2 【详解】解：∵二次函数y=x2-2mx+m2+2m+3=(x-m) 2+2m+3， ∴图象开口向上，顶点为(m,2m+3)，对称轴为直线x=m， 1 ∵二次函数y=x2-2mx+m2+2m+3的图象不经过三、四象限，且当x> 时，y随x的增 2 大而增大， ∴¿， 3 1 ∴- ≤m≤ ． 2 2 故选：D． 9．已知二次函数y=x2向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数 y=(x+2) 2-3，则h和k的值分别为（ ） A．-2，3 B．-2，-3 C．2，-3 D．2，3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下 减．”是解题的关键． 【详解】解：二次函数y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得到二次函数y=(x+2) 2-3， 故选：D． 10．函数y=¿的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据二次函数的以及一次函数的解析式分 析判断，即可求解．【详解】解：∵y=¿ ∴当x≥1时，函数图象为直线，且k>0，当x<1时，为对称轴为直线x=-1的抛物线， 3 当x=1时，y=1+1=2，代入二次函数解析式的y= (1+1) 2-1=2， 4 ∴两段函数图象是连续的， 故选：A． 11．若二次函数y=x2-2x+c 的图象经过点(-2,y )，(3,y )，则y 与y 的大小关系为 1 2 1 2 ． 【答案】y >y 1 2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析 式．分别把x=-2和x=3代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当x=-2时，y =(-2) 2-2×(-2)+c=4+4+c=8+c； 1 当x=3时，y =32-2×3+c=9-6+c=3+c， 2 所以y >y ． 1 2 故答案为：y >y ． 1 2 12．已知二次函数y=x2-4x-7，当-2≤x≤3时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方 向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当-2≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解 决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为y=x2-4x-7可知， b -4 抛物线开口向上，对称轴为直线x=- =- =2， 2a 2 所以当x=2时，函数取得最小值，且y=2×2-4×2-7=-11， 则当x=-2时，y=4+4×2-7=5， 当x=3时，y=9-4×3-7=-10， ∴在-2≤x≤3中，函数的最大值为5， 故答案为：5． 13．如图，OA=AB，∠BAO=90°，OB=2，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解 析式为y= ．【答案】x2+2x/2x+x2 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求 二次函数解析式．先求出A(-1,-1),B(-2,0)，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作AC⊥OB于点C ∵OA=AB，∠BAO=90°，OB=2， 1 ∴OC=BC=AC= OB=1， 2 ∴A(-1,-1),B(-2,0)， 设函数解析式为y=ax2+bx， ∴¿， ∴¿， ∴y=x2+2x． 故答案为：x2+2x． 14．已知二次函数y=x2+2ax-4a，点A(-a,y )，点B(a+6,y )都在该函数图象上． 1 2 (1)若a=3时，求该二次函数的顶点坐标． (2)若y = y 时，求a的值． 1 2 (3)求y + y 的最小值． 1 2 【答案】(1)(-3，-21) (2)a=-3 (3)4【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解 题的关键． （1）把a=3代入y=x2+2ax-4a，得y=x2+6x-12，结合对称轴性质，把x=-3代入 y=x2+6x-12，即可作答． （2）分别得出y =-a2-4a，y =3a2+20a+36，再代入y = y ，进行计算化简，即可 1 2 1 2 作答． （3）因为y =-a2-4a，y =3a2+20a+36，所以y + y =2a2+16a+36，根据二次函 1 2 1 2 数的图象性质进行作答即可 【详解】（1）解：依题意，把a=3代入y=x2+2ax-4a 得出y=x2+6x-12 6 则对称轴x=- =-3， 2×1 把x=-3代入y=x2+6x-12， 得出y=9-18-12=-21， ∴该二次函数的顶点坐标为(-3，-21)； （2）解：∵二次函数y=x2+2ax-4a，点A(-a,y )，点B(a+6,y )都在该函数图象上 1 2 ∴y =(-a) 2+2a×(-a)-4a=-a2-4a， 1 y =(a+6) 2+2a(a+6)-4a=3a2+20a+36， 2 ∵y = y ， 1 2 ∴-a2-4a=3a2+20a+36， 则(a+3) 2=0， 解得a=-3； （3）解：由（2）知y =-a2-4a，y =3a2+20a+36， 1 2 ∴y + y =-a2-4a+3a2+20a+36=2a2+16a+36， 1 2 ∵2>0， ∴该函数的开口向上，16 ∴该函数的对称轴为a=- =-4， 2×2 则把a=-4代入y + y =2a2+16a+36， 1 2 得出y + y =2a2+16a+36=32+(-64)+36=4， 1 2 ∴y + y 的最小值为4． 1 2 15．已知二次函数y=x2+2x-7． (1)当x=-1时，求函数y的值． (2)当x取何值时，函数y的值是8？ 【答案】(1)-8 (2)3或-5 【分析】本题考查了二次函数的函数值，已知二次函数的函数值求自变量的值．熟练掌握 已知二次函数的函数值求自变量的值是解题的关键． （1）当x=-1时，y=(-1) 2+2×(-1)-7，计算求解即可； （2）当y=8时，x2+2x-7=8，计算求解即可． 【详解】（1）解：当x=-1时，y=(-1) 2+2×(-1)-7=-8， ∴函数y的值为-8． （2）解：当y=8时，x2+2x-7=8，整理得x2+2x-15=0， (x-3)(x+5)=0， ∴x-3=0或x+5=0， 解得，x =3，x =-5， 1 2 ∴当x取或时，函数y的值是8．