文档内容
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(第一课时) 导学案
学习目标
1）通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2）由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性质，
并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
重点难点突破
核心知识
思维导图引入新课
【提问】抛物线y = a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
[小结]一般地，抛物线y=a(x-h)2+k由y=ax2向上（或下）向左(或右)平移得到，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2
___________________ 。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。
新知探究
1
【问题】如何将y＝ x2－6x＋21转化成y＝a(x－h)2＋k的形式？
21 1
【问题】抛物线y= x2如何平移可以得到抛物线y= x2−6x+21？
2 2
1
【问题】用描点法画二次函数y= x2−6x+21的图象。
2
【小结】画y=ax2+bx+c图象的基本步骤：
1
【问题】抛物线y= x2−6x+21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
2
1
1) 抛物线y= x2−6x+21 的开口方向________、对称轴________，顶点坐标是___________
2
2)顶点都是最_____点，函数都有最______值，最______值为________
3)当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势； 当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势.
【问题】你能用前面的方法讨论二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质？y
4
1)抛物线
y=−2x2−4x+1的开口方向________、对称轴________,
2
顶点坐标是_____________ x
O
-3 -2 -1 1 2 3
2)顶点都是最_____点，函数都有最______值，
-2
最______值为________
-4
3)当x________时，抛物线从左到右呈上升趋势； -6
当x________时，抛物线从左到右呈下降趋势. -8
【问题】尝试将 （a ）化为 的形式吗？
y=ax2+bx+c ≠0 y=a(x−ℎ) 2+k
[小结]二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴______________,顶点坐标为______________
【总结】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质:
典例分析
例1 求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
1)y=2x2-4x+5 2)y=-x2+2x-3 3)y=3x2+2x 4)y=-x2-2x 5)y=-2x2+8x-8
【针对训练】
1．已知二次函数y=–x2+2mx，以下点可能成为二次函数顶点的是（ ）．
A．(–2，4) B．(1，2) C．(–1，–1) D．(2，–4)
2．已知二次函数y=-x2+kx-k+1的图像顶点在x轴上，则k=_______3．抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴的公共点是（−1，0），（−3，0），该抛物线的对称轴是直线
_______
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则该图象的对称轴是_______
5．如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=3，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A
的坐标为(0,5)，则点B的坐标为_______
例2．把二次函数y=x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解
析式是_______
【针对训练】
1．抛物线y=x2−2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是
_______
2．将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1，−1)，则a＝_______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为_______．
例3．抛物线y=x2+bx+c的图象上有两点A(1,m),B(5,m)，则b的值为_____________
【针对训练】
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，
求n的值为_______．
例4．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， 在抛物线
(n−2,y ) (n−1,y ) (n+1,y )
1 2 3
上，若 ，则 ， ， 的大小关系为_______（用“<”表示）
y=ax2−2ax−2(a<0) 00时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图像上，
其中所有正确的结论序号是_______．
直击中考
1．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物
线是（ ）
A． B．
y=(x−3) 2+4 y=(x+3) 2+4
C． D．
y=(x+3) 2−4 y=(x−3) 2−4
2．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧
的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是______________．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3（a>0），若点P(m,3)在该函
数的图象上，且m≠0，则m的值为_____________________．
课堂小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
【参考答案】
新知探究1
【问题】如何将y＝ x2－6x＋21转化成y＝a(x－h)2＋k的形式？
2
1
y＝ x2－6x＋21
2
1
＝ (x2－12x＋42)
2
1
＝ (x2－12x＋36－36＋42)
2
1
＝ (x－6)2＋3．
2
1 1
【问题】抛物线y= x2如何平移可以得到抛物线y= x2−6x+21？
2 2
向右平移6个单位再向上平移3个单位
1
【问题】用描点法画二次函数y= x2−6x+21的图象。
2
【小结】画y=ax2+bx+c图象的基本步骤：
1）利用配方法将
二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x−h) 2+k的形式。
2）确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3）在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。
1
【问题】抛物线y= x2−6x+21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
2
1
1)抛物线y= x2−6x+21的开口方向向上、对称轴x=6,顶点坐标是（6，3）
2
2)顶点都是最低点，函数都有小值，最小值为y=3
3)当x<6时，抛物线从左到右呈下降趋势；当x>6时，抛物线从左到右呈上升趋势.
【问题】你能用前面的方法讨论二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质？
1)抛物线y=−2x2−4x+1的开口方向向下、
对称轴x=-1,顶点坐标是（-1，3）
2)顶点都是最高点，函数都有最大值，
最大值为y=3
3)当x<-1时，抛物线从左到右呈上升趋势；
当x>-1时，抛物线从左到右呈下降趋势.
【问题】尝试将 y=ax2+bx+c （a ≠0 ）化为 y=a(x−ℎ) 2+k 的形式吗？ y=ax2+bx+c = a ( x2+ b x+ c) =
a a
( b b2 b2 c)
a x2+ x+ − +
a 4a2 4a2 a
= a ( x2+ b x+ b2 − b2 + 4ac)= a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2
a 4a2 4a2 4a2 2a 4a
b b 4ac−b2
[小结]二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=- ,顶点坐标为(- ， ）
2a 2a 4a
【总结】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质:典例分析
例1 求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．
1)y=2x2-4x+5 2)y=-x2+2x-3 3)y=3x2+2x 4)y=-x2-2x 5)y=-2x2+8x-8
1）开口向上，x = 1，（1， 3）
2）开口向下，x = 1，（1，-2）
1 1 1
3）开口向上，x = - ，(- , - )
3 3 3
4）开口向下，x = -1，（-1,1）
5）开口向下，x = 2，（2,0）
【针对训练】
1．已知二次函数y=–x2+2mx，以下点可能成为二次函数顶点的是（ A ）．
A．(–2，4) B．(1，2) C．(–1，–1) D．(2，–4)
2．已知二次函数y=-x2+kx-k+1的图像顶点在x轴上，则k=_____2____
3．抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（−1，0），（−3，0），该抛物线的对称轴是直线x=−2
_．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则该图象的对称轴是x=−2_
5．如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=3，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A
的坐标为(0,5)，则点B的坐标为(6,5)．
例2．把二次函数y=x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解1 13
析式是y=(x− ) 2− ．
2 4
【针对训练】
1．抛物线y=x2−2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是
（3，5）
2．将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，则a＝3或1．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为2．
例3．抛物线y=x2+bx+c的图象上有两点A(1,m),B(5,m)，则b的值为-6
【针对训练】
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，
求n的值为4．
例4．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， 在抛物线
(n−2,y ) (n−1,y ) (n+1,y )
1 2 3
上，若 ，则 ， ， 的大小关系为 （用“<”表示）
y=ax2−2ax−2(a<0) 00时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图像上，
其中所有正确的结论序号是①②④．
直击中考
1．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物
线是（ A ）
A． B．
y=(x−3) 2+4 y=(x+3) 2+4
C． D．
y=(x+3) 2−4 y=(x−3) 2−4
2．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧
的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是y=-x2+1．
