文档内容
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(第一课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时，内容包括：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。
2.内容解析
本节课在讨论了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质的基础上对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和
性质进行研究．主要的研究方法是通过配方将二次函数y＝ax2＋bx＋c变为y＝a(x－h)2＋k的形式，体会
知识之间的内在联系．在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0和a＜0的情况，再从特殊
到一般得出y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：通过配方将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，
并能由此得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2）由二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征及性质类比地学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征及性
质，并能发现它们的联系，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：通过配方二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到二
次函数图象的顶点坐标，经历画二次函数 y＝ax2＋bx＋c图象的一般过程，说出图象的开口方向，画出图
象的对称轴，进一步体会转化思想．
达成目标（2）的标志是：在探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质的过程中，先通过类比二次函
数y=a（x-h）2+k的研究方法，得出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象特征及性质，a<0的情况又是
类比a>0的学习方法开展研究，最终经历以上探究过程，得出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质．
三、教学问题诊断分析
在本节课前，学生已经探究过二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质．面对形如y＝ax2＋bx＋c的二
次函数，要想到将其转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，这种化归思想是学生学习经验中所欠缺的．在将y＝
ax2＋bx＋c通过配方化为y＝a(x－h)2＋k时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次
方程与配方为顶点式混淆．基于以上分析，本节课的教学难点是：将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k的形式来
研究它的图象和性质．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】尝试说出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象特征和性质？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质进行板书．
【提问】抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生回答．
【 设 计 意 图 】 复 习 回 顾 二 次 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 特 征 和 性 质 ， 及
y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系，为本节课学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质进行
铺垫．
（二）探究新知
1
【问题】如何将y＝ x2－6x＋21转化成y＝a(x－h)2＋k的形式？
2
师生活动：教师引导学生观察：两个等式右边的多项式结构各有什么特点？教师与学生一起进行配方
变形，教师展示配方的具体过程：
1 1 1 1
2 2 2 2
y＝ x2－6x＋21＝ (x2－12x＋42)＝ (x2－12x＋36－36＋42)＝ (x－6)2＋3．
1 1
【问题】抛物线y= x2如何平移可以得到抛物线y= x2−6x+21？
2 2
师生活动：教师提出问题，学生回答．
设计意图：构建y＝ax2＋bx＋c的图象和性质的探究思路，明确通过配方进行转化的方法及具体过程．
1
【问题】用描点法画二次函数y= x2−6x+21的图象。
2
1
师生活动：学生动手实践画出二次函数y= x2−6x+21的图象，在学生完成图象后，教师通过多媒
2
体展示画图过程。
【问题】如何画y=ax2+bx+c的图象？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师归纳总结如下：
1）利用配方法将
二次函数y=ax2+bx+c化为y=a(x−h) 2+k的形式。
2）确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
3）在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。1
【问题】抛物线y= x2−6x+21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
2
师生活动：小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性等方面描述图象特征和性
质．如果学生在探究过程出现困难，需教师引导学生回顾二次函数 的相关内容，类比探究．
y=a(x−h) 2+k
【问题】你能用前面的方法讨论二次函数y=−2x2−4x+1的图象和性质？
师生活动：学生动手实践画出抛物线y=−2x2−4x+1图象，教师通过多媒体展示抛物线的图象，
引导学生通过图象特征，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，发现不足。
【问题】尝试将 （a ）化为 的形式吗？
y= ax2+bx+c ≠0 y=a(x−h) 2+k
教师引导学生观察：两个等式右边的多项式结构各有什么特点？教师与学生一起进行配方变形，教师
展示配方的具体过程：
y=ax2+bx+c = a ( x2+ b x+ c)
a a
= a ( x2+ b x+ b2 − b2 + c)= a ( x2+ b x+ b2 − b2 + 4ac) = a ( x+ b ) 2 + 4ac−b2
a 4a2 4a2 a a 4a2 4a2 4a2 2a 4a
师：你能说出二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质吗？
师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳：
【设计意图】整体梳理二次函数ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质．
（三）典例分析与针对训练
例1 求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．1)y=2x2-4x+5 2)y=-x2+2x-3 3)y=3x2+2x 4)y=-x2-2x 5)y=-2x2+8x-8
【针对训练】
1．已知二次函数y=–x2+2mx，以下点可能成为二次函数顶点的是（ ）．
A．(–2，4) B．(1，2) C．(–1，–1) D．(2，–4)
2．已知二次函数y=-x2+kx-k+1的图像顶点在x轴上，则k=_________
3．抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（−1，0），（−3，0），该抛物线的对称轴是直线
________．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则该图象的对称轴是___________
5．如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=3，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中
点A的坐标为(0,5)，则点B的坐标为_____．
【设计意图】理解与掌握二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质。
例2．把二次函数y=x2+3x+4的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象对应的函
数解析式是______．
【针对训练】
1．抛物线y=x2−2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标
是______．
2．将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点(1,−1)，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
【设计意图】考查二次函数ax2+bx+c（a≠0）图象的平移。
例3．抛物线y=x2+bx+c的图象上有两点A(1,m),B(5,m)，则b的值为____________
【针对训练】
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图
象上，求n的值为____．
【设计意图】利用二次函数的对称性，求未知数的值。
例4．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， 在抛物线
(n−2,y ) (n−1,y ) (n+1,y )
1 2 3
上，若 ，则 ， ， 的大小关系为_____（用“<”表示）
y=ax2−2ax−2(a<0) 00时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图像上，
其中所有正确的结论序号是__________．
【设计意图】通过配套练习，加深学生理解与掌握二次函数二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象
特征与性质。
（五）直击中考1．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的
抛物线是（ ）
A． B．
y=(x−3) 2+4 y=(x+3) 2+4
C． D．
y=(x+3) 2−4 y=(x−3) 2−4
2．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴
左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
3．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数y=−ax2+2ax+3（a>0），若点P(m,3)在
该函数的图象上，且m≠0，则m的值为________．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（六）归纳小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的联系是什么？
3.通过本节课的学习，你想继续探究的知识是什么？
（七）布置作业
P39:课后练习
P41:习题22.1第6题(2) (4),第7题(2)
五、教学反思
