文档内容
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(第二课时) 导学案
学习目标
1 会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2 通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3 理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
重点难点突破
二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次
函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即可求
出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，再将
1 2 1 2 1 2
另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
1 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之，a的值越小，开口越大；
2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之，a的值越大，开口越大。
【总结】a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
2 在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴左侧则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括地说就是“左同右异”。
2a
1）当c > 0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴；
2）当c = 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点；
3）当c < 0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴。
【小结】c决定了抛物线与y轴交点的位置．
核心知识
二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入____________的坐标列出关于____________的方程组，并求出a, b, c，就可
以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点____________，可设顶点式y=____________，再将____________代
入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3 ） 交 点 式 y=a(x-x)(x-x). 当 抛 物 线 与 ____________ 的 两 个 交 点 为 ____________ 时 ， 可 设
1 2
y=____________，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象各项系数的关系：
1二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
①当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；
②当a____________0时，抛物线开口向____________，a的值越____________，开口越____________；
【总结】a的____________决定开口方向，a的____________决定开口的大小(|a|越____________，抛物线
的开口____________)．
2 在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴____________则____________>0，在y轴的____________则____________<0，
2a
概括的说就是“____________”。
1）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点在____________；
2）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点为____________；
3）当c ____________ 0时，抛物线与y轴的交点在____________。
【小结】c决定了抛物线与____________交点的位置．
思维导图引入新课
【问题】已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？利用了怎样的方法？
【提问】已知y是x的一次函数，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y= -5.求y关于x的一次函数解析式？
新知探究
【问题】若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？
【问题】已知抛物线的顶点为(-1，-3)，与y轴交点为(0，-5)，求抛物线的解析式.
【问题】已知二次函数的图像经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求这个二次函数的解析式.【问题】尝试总结二次函数解析式的一般方法？
典例分析
例1 请写出如图所示的抛物线的解析式：
[针对训练]
1
1．已知抛物线y= x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．
4
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过A(0,2)，B(1,−3)两点．
(1)求b和c的值；
(2)试判断点P(−1,4)是否在此函数图像上？
3．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
4．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为
C． (1)求该图象的解析式；(2)求AC长．
新知探究
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与二次项系数a的关系吗？
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次项系数b的关系吗？
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与常数项c的关系吗？
典例分析
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图
1）a____0, b____0, c____0
2）2a+b ____0
3）4ac-b2____0
4）a+b+c____05）a-b+c____0
6）8a+c____0
7）当-10；③ b>0，其中正确的结论有 ．（填序号）
2．如图，二次函数 图象的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，给
y=ax2+bx+c(a≠0) x=1 (3，0)
出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为(−1，0)；③当x<0时，y随x的增大而增大，④
y =a+b+c．正确结论的序号是 ．
最大
3．（2022·湖南株洲真题）已知二次函数 ，其中 、 ，则
y=ax2+bx−c(a≠0) b>0 c>0
该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
例3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[针对训练]
1.如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a (a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
直击中考
1．（2021·山东泰安真题）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线
x=1，有下列四个结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数
根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．
2．（2022·辽宁锦州中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，以
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0) (2,0)
1
下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x< 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论
2
有 ．（填写代表正确结论的序号）3．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c
的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
课堂小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.确定解析式的关键是什么？
3.简述二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与各项系数之间的关系？
【参考答案】
【提问】已知y是x的一次函数，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y=-5.求y关于x的一次函数解析式？
解：(1)设函数解析式为y=kx+b,
将x=1,y=-1;x=-1,y=-5,{&k+b=−1, {&k=2,
代入得 解得
&−k+b=−5, &b=−3,
所以函数解析式为y=2x-3.
新知探究
【问题】若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？
{
a−b+c=10
{
a=2
解：设二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得 a+b+c=4 解得 b=−3因此二次函数解析式为
4a+2b+c=7 c=5
y=2x2−3x+5．
【问题】已知抛物线的顶点为(-1，-3)，与y轴交点为(0，-5)，求抛物线的解析式.
由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3)，设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3．
∵函数图象经过点(0，-5)，∴a(0+1)2－3＝－5．解得a＝-2．
所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3．
【问题】已知二次函数的图像经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求这个二次函数的解析式.
解：∵(-3，0),(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴当y=0时，x=-3, x=-1.
1 2
而方程a(x+3)(x+1)=0的两根为：x=-3, x=-1.
1 2
∴设这个二次函数的解析式是y=a(x+3)(x+1).
∵函数图象经过点(0，-3)，
∴ a(0+3)(0+1) ＝-3．
解得a＝--1．
所求二次函数是y=- (x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3
【问题】尝试总结二次函数解析式的一般方法？
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出
二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即
可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，
1 2 1 2 1 2
再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.典例分析
例1 请写出如图所示的抛物线的解析式：
方法一：由题意可得，抛物线的顶点为(2，4)
设所求二次函数为y＝a(x-2)2+4．
∵函数图象经过点(0，1)，
∴a(0-2)2+4＝1．
3
解得a＝- ．
4
3
所求二次函数是y＝ - (x-2)2+4．
4
3
即y=- x2+3x+1
4
方法二：解：设二次函数为y=ax2+bx+c
b
{- =2
2a
{
a=2
解
条件得 4ac−b2 得 b=−3
=4
4a c=5
c=1
3
因此二次函数解析式为y=- x2+3x+1
4
[针对训练]
1
1．已知抛物线y= x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．
4
1 1
【详解】解：∵抛物线y= x2+bx+c的对称轴为直线x=2，a= ，
4 4
b
－ ＝2
∴ 1 ，∴b＝－1．
2×
4
∵抛物线经过点（0，1），代入函数解析式可得：
∴c＝1．
1
∴该抛物线的解析式为y= x2−x+1．
4
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过A(0,2)，B(1,−3)两点．
(1)求b和c的值；
(2)试判断点P(−1,4)是否在此函数图像上？【详解】（1）解：把A(0,2)，B(1,−3)两点代入二次函数y=x2+bx+c得
{ c=2 ，解得{b=−6
1+b+c=−3 c=2
（2）解：由（1）得y=x2−6x+2，
把x=1代入y=x2−6x+2，得y=1+6+2=9≠4，
点P在(−1,4)不在此函数图象上．
3．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
【详解】
（1）解：∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为： ，
y=a(x+1) 2−8
把（0,﹣6）代入得： ，
−6=a(0+1) 2−8
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为： ；
y=2(x+1) 2−8
【详解】（2）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（﹣1,0）、B（0,3），对称轴为直线x＝1代入得：
a−b+c=0
{ {a=−1
c=3 ，解得： ，
b=2
b
− =1 c=3
2a
故二次函数解析式为：y=−x2+2x+3．
4．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为
C． (1)求该图象的解析式；(2)求AC长．
（1）把点A(−1,0),B(1,−2)代入y=x2+bx+c中得，
{1−b+c=0 解得{b=−1
， ,
1+b+c=−2 c=−2
∴二次函数的解析式为：y=x2−x−2.
（2）对于二次函数y=x2−x−2,令y=0，得x2−x−2=0,
∴x =−1,x =2,
1 2
∴A(−1,0),C(2,0),
∴OA=1,OC=2,
∴AC=OA+OC=1+2=3.
新知探究
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与二次项系数a的关系吗？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之，a的值越小，开口越大；
2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之，a的值越大，开口越大。
【总结】a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次项系数b的关系吗？
在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴左侧则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”。
2a
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与常数项c的关系吗？
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
典例分析
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图
1）a>0, b<0, c<0
2）2a+b = 0
3）4ac-b2<_0
4）a+b+c < 0
5）a-b+c = 0
6）8a+c > 0
7）当-10；③ b>0，其中正确的结论有①②（填序号）2．如图，二次函数 图象的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，给
y=ax2+bx+c(a≠0) x=1 (3，0)
出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为(−1，0)；③当x<0时，y随x的增大而增大，④
y =a+b+c．正确结论的序号是②③④．
最大
3．（2022·湖南株洲真题）已知二次函数 ，其中 、 ，则
y=ax2+bx−c(a≠0) b>0 c>0
该函数的图象可能为（ C ）
A． B． C． D．
例3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（ D ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[针对训练]
1.如图，函数y=ax2−2x+1和y=ax−a (a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ B ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象可能是（ D ）
A． B． C． D．
直击中考
1．（2021·山东泰安真题）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线
x=1，有下列四个结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数
根．其中正确的为②④（将所有正确结论的序号都填入）．
2．（2022·辽宁锦州中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，以
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0) (2,0)
1
下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x< 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论
2
有①②③．（填写代表正确结论的序号）
3．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c
的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ D ）
