文档内容
22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质(第二课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函
数”22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时，内容包括：二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定．
2.内容解析
已知一次函数图象上的两个点的坐标，可以确定一次函数解析式，同样二次函数也可以通过图象上已
知点的坐标来确定解析式．本节课的主要内容是通过三个点的坐标来确定二次函数解析式．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定．
二、目标和目标解析
1.目标
1)会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
2)通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
3）理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系．
2.目标解析
达成目标1）的标志是：将已知的坐标正确代入到函数解析式中，并能求出解析式的系数．
达成目标2）的标志是：通过观察给出的点的坐标或其他条件，能够正确地选择用一般式或顶点式确
定二次函数解析．
达成目标3）的标志是：根据二次函数的图象，确定各项系数的符号，及式子的符号．
三、教学问题诊断分析
学生在学习一次函数时，对于待定系数法确定一次函数已经不陌生了，但是相对间隔时间较长，所以
在教学过程中首先要让学生充分回忆．另外，对于基础较薄弱的学生，对于三个式子能否正确代入也是教
师需要观察的一方面，在具体教学过程中，要充分发挥小组学习的优势，教师也要注意巡场．
另外，由于二次函数有一般式、顶点式，如何正确选择最佳的解题方案也是很重要的，当条件涉及对
称轴、顶点、最高(低)点、对称点等时，采取顶点式较好，对于给出多个点坐标，采取一般式较好．
基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想确定二次函数的解析式．
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】尝试说出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质？
师生活动：教师提出问题，学生回答．教师将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质进行板书．
【问题】已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？利用了怎样的方法？师生活动：教师提出问题，学生回答．
【提问】已知y是x的一次函数，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y=-5.求y关于x的一次函数解析式？
师生活动：教师提出问题，学生回答．
【设计意图】复习回顾二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质，及回顾利用待定系数法确定一次
函数解析式的方法，为后续学习求二次函数的解析式进行铺垫．
（二）探究新知
【问题】若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？
师生活动：学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤：
{
a−b+c=10
{
a=2
解：设二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得 a+b+c=4 解得 b=−3因此二次函数解析式为
4a+2b+c=7 c=5
y=2x2−3x+5．
【设计意图】尝试类比探究确定一次函数解析式的方法，探究确定二次函数解析式的方法：根据已
知图象上的三个点的坐标，设一般式确定二次函数解析式．
【问题】已知抛物线的顶点为(-1，-3)，与y轴交点为(0，-5)，求抛物线的解析式.
师生活动：学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤：
由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3)，设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3．
∵函数图象经过点(0，-5)，∴a(0+1)2－3＝－5．解得a＝-2．
所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3．
【设计意图】已知抛物线顶点和坐标轴交点，可以利用顶点式求二次函数解析式．
【问题】已知二次函数的图像经过点(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求这个二次函数的解析式.
师生活动：学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤：
解：∵(-3，0),(-1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.
∴当y=0时，x=-3, x=-1.
1 2
而方程a(x+3)(x+1)=0的两根为：x=-3, x=-1.
1 2
∴设这个二次函数的解析式是y=a(x+3)(x+1).
∵函数图象经过点(0，-3)，
∴ a(0+3)(0+1) ＝-3．
解得a＝-1．
所求二次函数是y=- (x+3)(x+1)，即y=-x2-4x-3
【设计意图】已知抛物线与x轴两个交点和y轴交点，可以利用交点式求二次函数解析式．
【问题】尝试总结二次函数解析式的一般方法？师生活动：学生小组讨论交流回答问题．师生共同总结写出一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出
二次函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k，再将另一点的坐标代入，即
可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，
1 2 1 2 1 2
再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
【设计意图】让学生掌握多种求解二次函数解析式的方法.
（三）典例分析与针对训练
例1 请写出如图所示的抛物线的解析式：
师生活动：两名学生板书（分别用一般式和顶点式求解），其他学生在练习本上完成，教师巡视，指
导．然后小组交流，并评价．
[针对训练]
1
1．已知抛物线y= x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且经过点（0，1），求该抛物线的表达式．
4
2．已知二次函数y=x2+bx+c的图像经过A(0,2)，B(1,−3)两点．
(1)求b和c的值；
(2)试判断点P(−1,4)是否在此函数图像上？
3．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
(1)已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
(2)已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
4．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点
为C． (1)求该图象的解析式；(2)求AC长．【设计意图】通过练习，检查学生对利用待定系数法求解二次函数解析式方法的掌握.
（四）探究新知
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与二次项系数a的关系吗？
师生活动：学生小组讨论交流回答问题．师生共同总结：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中
1)当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之，a的值越小，开口越大；
2)当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之，a的值越大，开口越大。
【总结】a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次项系数b的关系吗？
师生活动：学生小组讨论，结合表格信息，探索与理解二次函数与一次项系数的关系，教师引导与
总结：
在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置。
b
即对称轴x= - 在y轴左侧则ab>0，在y轴的右侧则ab<0，概括的说就是“左同右异”。
2a
【问题】结合之前所学，你知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与常数项c的关系吗？
师生活动：学生小组讨论交流回答问题．师生共同总结：
c决定了抛物线与y轴交点的位置．
【设计意图】让学生理解二次函数图象与各项系数之间的关系，并能根据二次函数的图象，确定各项
系数的符号，及式子的符号．
（五）典例分析与针对训练
【设计意图】考查一次函数与二次函数的综合.
（六）直击中考
1．（2021·山东泰安真题）如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直
线x=1，有下列四个结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实
数根．其中正确的为 （将所有正确结论的序号都填入）．2．（2022·辽宁锦州中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) (−1,0) (2,0)
1
以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x< 时，y随x的增大而减小．其中正确的结
2
论有 ．（填写代表正确结论的序号）
3．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c
的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
1.本节课学了哪些主要内容？
2.确定解析式的关键是什么？
3.简述二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与各项系数之间的关系？（八）布置作业
P41：习题22.1第10题
五、教学反思
