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专题22.20 二次函数图象的对称性（分层练习）（基础练）
【知识要点】
（1） 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x x 其对应的纵坐标相等那么对称轴：
1, 2
x x
x 1 2
2
（2）与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)
（3）当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
一、单选题
1．已知抛物线 经过A ，B 两点，则它的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定
2．已知抛物线 过不同的两点 和 ，若点 在这条抛物线上，则 的
值为（ ）
A． 或 B． C． D． 或
3．已知二次函数 的图像上有两点 和 ，则当 时，二次函数的值
是（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2
4．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，如果关于x的方程 的一
个根为 ，那么该方程的另一个根为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．35．已知二次函数 （a为常数，且 ）的图象上有三点 ， ， ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数 的自变量 与函数值 之间满足下列数量关系：
2 4 5
0.35 0.35 3
那么 的值为（ ）
A．18 B．15 C．9 D．3
7．坐标平面上有一水平线 与二次函数 的图形，其中 为一正数，且 与二次函数图象
相交于 、 两点，其位置如图所示．若 ： ： ，则 的长度为（ ）
A．17 B．19 C．21 D．24
8．如图，A，B分别是抛物线 上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（
）A．y=3 B．y=6
C．y=9 D．y=36
9．下表列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … 0 …
y … 4 0 0 a …
其中，a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在
抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
二、填空题
11．抛物线 经过 和 两点，则a值为 ．
12．某二次函数图象经过 ， ， ，那么该图象的对称轴的解析式为 ．
13．已知抛物线 经过点 ， ，若函数值y随x的值的增大而减小，则x的取值
范围是 ．
14．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ， 同号；②当 和
时，函数值相等；③ ；④当 时， 正确的结论有 ．15．二次函数 图像上部分点的坐标满足如表：
x … …
y … …
那么m的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为
，则与 轴的另一个交点为 ．
17．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线
的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．
18．如图，在正方形 中， ，点E、F分别在边 、 上，且 ，将线段 绕点F
顺时针旋转90°至线段 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．三、解答题
19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点 ．
（2）如图2，四边形 为平行四边形，请画出抛物线的对称轴．
20．已知抛物线 经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的表达式和顶点坐标．
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在 点处，并写出平移后抛物线的表达式．
21．如图，已知二次函数 的图像经过点 ．
（1）求a的值和二次函数图像的顶点坐标．
（2）已知点 在该二次函数图像上．①当 时，求n的值；
②当 时，该二次函数有最大值 ，请结合函数图像求出m的值．
22．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的
值及点Q到x轴的距离．23．如图，已知抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，连
接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，点 的坐标为___________；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 ﹖若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明
理由．
24．如图，抛物线 经过点 ，与 轴交于点 过点 且平行于 轴的直线交抛物线于
点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出 点的坐标；若不存在，
请说明理由．参考答案
1．B
【分析】根据A、B两点的纵坐标相等即可求解．
解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，
所以对称轴是直线 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性，正确得出A、B两点关于抛物线的对称轴对称是解题关键．
2．A
【分析】根据对称性可得 ，代入解方程即可求解．
解：∵抛物线 ，对称轴为直线 ，
又抛物线 过不同的两点 和 ，∴ ，
∴ 即 ，代入解析式，得，
解得： 或 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据题意得出抛物线的对称轴为直线 ，也可表示为直线 ，可得 ，代
入函数的解析式即可求得二次函数的值．
解： 二次函数 的图像上有两点 和 ，
∴ ，
∴ ，
当 时，二次函数 ．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，图像上的点坐标符合解析式是解
题的关键．
4．A
【分析】根据抛物线 与抛物线 的对称轴相同，即可求解．
解：∵关于x的方程 有一个根为4，
∴抛物线 与x轴的一个交点为 ，
抛物线 的对称轴为直线
抛物线 的对称轴也是 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为∴方程的另一个根为
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握抛物线 的对称
轴方程是： ．
5．D
【分析】先确定对称轴 ，根据 把点A的对称点确定，转化为对称轴同侧的点，根据
抛物线开口向上，对称轴的右侧y随x的增大而增大比较即可．
解：因为二次函数 （ 为常数，且 ）的图象上有三点 ， ， ，
所以对称轴 ，
设点A的对称点为 ，
所以 ，
解得 ，
因为抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧y随x的增大而增大，
因为 ，
所以 ．
故选D．
【点拨】本题考查了抛物线的开口方向，增减性，对称性，熟练掌握增减性是解题的关键．
6．A
【分析】根据 和 时的y值相等，两点关于对称轴对称可得对称轴，再根据二次函数的对称性可求
出 时， ，从而可得 ，然后代入求值即可得．
解：由表可知， 和 时的y值相等，即两点关于对称轴对称，
则该二次函数的对称轴是 ，
由二次函数的对称性得： 时的y值与 时的y值相等，即为 ，将 代入二次函数的解析式得： ，
则 ，
，
，
，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性与对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．C
【分析】根据对称轴 ，结合 即可求解．
解：设对称轴与 交于点 ．
.
，
．
对称轴 ， ． ，
： ： ．
： ： ： ：
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键．
8．C
【分析】根据抛物线的对称性可知B点的横坐标为3，代入抛物线解析式可求B点的纵坐标，从而可得直
线AB的表达式．
解：∵线段AB⊥y轴，且AB＝6，∴由抛物线的对称性可知，B点横坐标为3，
当x＝3时， ，
∴直线AB的表达式y＝9．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性与点的坐标的关系，关键是根据对称性求B点的横坐标．
9．A
【分析】根据表格可求出该抛物线的对称轴为 ，从而得出当 时，y的值和当 时，y的值
相等，即得出a的值为4．
解：∵ 时， ； 时， ，
∴该二次函数的对称轴为 ，
∴当 时，y的值和当 时，y的值相等．
∵当 时， ，
∴当 时， ，
∴a的值为4．
故选A．
【点拨】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．
10．C
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F
即为所求最短距离．
解：∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，
得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最
短距离为线段C'F的长是解题的关键．11．3
【分析】由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．
解：∵抛物线 经过 和 两点，
∴对称轴为：直线 ，
解得： ，
故答案为：3
【点拨】本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．
12．
【分析】根据二次函数的对称性可知，点 和点 关于二次函数的对称轴对称，根据对称轴
，即可求得答案．
解：∵点 和点 关于二次函数的对称轴对称，
∴对称轴 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴，注意抓住图象上点的特
征，选用适当的方法解答．
13．
【分析】根据 、 的坐标特征确定出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
解： 点 ， 的纵坐标相同，
、 是对称点，
对称轴 ，
当 时， 随 的增大而减小；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据 、 的坐标求得对称轴．
14．②③④【分析】利用抛物线开口方向得到 ，利用抛物线的对称轴得到 ，则可对①③进行判断；利
用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线的对称性确定抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，再根
据二次函数的图象可对④进行判断．
解： 抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，所以①错误，
，所以③正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 和 时，函数值相等，所以②正确；
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
而抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
当 时， ，所以④正确．
故答案为：②③④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是利用图象进行分析，得到相应系数的符号．
15．
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
解： 、 时的函数值相等都是 ，
函数图像的对称轴为直线
和 也关于直线 对称，
当 和 时的函数值也相等，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
16．
【分析】根据对称性得出抛物线与 轴的另一个交点．
解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点为 ，∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．
17．
【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作
点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点
D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．
解：如图，
在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1），
∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，2），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
= ，
∴四边形EDFG的周长的最小值为： ．
故答案是： ．【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位
置是解题的关键．
18．
【分析】过点 作 交 于点 ，连接 ，过 作 于 ，根据四边形 是正方
形，将线段 绕点 顺时针旋转 至线段 ，可得 ， ，又 ，即可证
明 ，得 ，四边形 是平行四边形，故 ，设 ，
可得 ，由二次函数性质可得答案．
解：过点 作 交 于点 ，连接 ，过 作 于 ，如图：
四边形 是正方形，
，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
将线段 绕点 顺时针旋转 至线段 ，
， ，
，
，
，
， ，，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
设 ，则 ， ，
，
，
当 时， 最小为 ，
最小为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查正方形中的旋转变换，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造
全等三角形．
19．(1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）连接 交l于点C，连接 并延长交抛物线于点 ；
（2）延长 交抛物线于点M，延长 交抛物线于点N，分别连接 ，相交于点E，分别延长
相交于点F，作直线 即可．
解：（1）如图1，点 即为所求．（2）如图2，直线l即为所求．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关
键．
20．(1) ，
（2）把抛物线向左平移1个单位，向上平移 个单位平移后抛物线的顶点落在 点处；
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
（2）根据顶点坐标和 的坐标即可得出把抛物线向左平移一个单位，向上平移 个单位平移后抛物线的顶
点落在 点处，进而得到平移后抛物线的表达式为
解：（1）解： 抛物线 经过 ， ， 三点，而 、 两点的纵坐标相
同，
抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ，
把 的坐标代入 得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ，，
顶点坐标为 ；
（2）解： 抛物线的顶点为 ， ，
把抛物线向左平移1个单位，向上平移 个单位平移后抛物线的顶点落在 点处，
∴平移后抛物线的表达式为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确
记忆二次函数平移规律是解题关键．
21．(1) ，顶点坐标为
(2)① ；② 或
【分析】（1）把点 代入 ，解得a的值并配方，得 ，即得二次函
数图像的顶点坐标；
（2）①把 代入 即可；②结合函数图像，即可得到当 时，该二次函数
有最大值 时的m的值．
解：（1）解：将点 代入 ，
得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
配方，得 ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：①将 代入 ，得 .
∴当 时， .
②由（1）可知抛物线的对称轴为直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，如解图所示：根据函数图像，若满足当 时，该二次函数有最大值 ，则 或 ，
∴ 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数图像性质以及应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，
并熟练二次函数图像性质以及应用知识内容．
22．（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；（3）点P
与点Q关于对称轴x＝2对称，m＝6，所以点Q到x轴的距离为6
【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式进行求解即可；
（2）把二次函数解析式化为顶点式即可求解；
（3）将点P的坐标代入（1）中函数解析式求得m的值，然后根据二次函数的对称性可进行求解
解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c，
得 ，解得 ，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6；
（2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知：
对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）；
（3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6．
解得 ，
因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6，
所以P点坐标为（6，6）；
因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特
征．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．(1)
(2)(3)存在， 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，再把 代入求出 的值即可；
（2）连接 交 于点 ，点 即为所求，设 ，代入直线 即可求解；
（3）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点 的坐标，利用待定系数法
求出直线 的解析式，求出 点的坐标，所以可得出 的面积，进而得出点 的坐标．
解：（1）解：∵抛物线与x轴交于 ， 两点，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）如图，连接 交 于点 ，连接
∵点 是抛物线对称轴上的一个动点，
，
∴对称轴为 ，
根据对称轴可得 关于 对称轴,
∴ ，
当 三点共线时， 最小，∵ ， ，设直线 的解析式为 ，
,
解得 ,
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
当 时， ，
∴ ,
∴当 的值最小时，点 的坐标为 ;
（3）解：∵抛物线的解析式为 ；
∴其对称轴 ，顶点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴设 ，
∵ ， ，
∴设过点 、 的直线解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 与 轴的交点的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，解得 ，
当点 在 点上方时， ，解得 ，
∴此时 ；
当点 在 点下方时， ，解得 ，
∴此时 ，
综上所述，可得： 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、根据轴对称的性质求求线段和的
最小值，三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
24．（1） ；（2）6；（3）存在， ，理由见解析．
【分析】（1）将点 代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）当 时， ，可确定点B的坐标，然后由对称轴及 轴，可得点C的坐标，据此得出
， ，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，此时，
的周长最小，设直线AC的解析式为 ，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴
求解即可确定点P的坐标．
解：（1）将 代入 中，得： ，
解得：
抛物线的解析式： ；
当 时， ，
，
∴
由（1）知，抛物线的对称轴： ，
轴，
∵
点 、 关于对称轴 对称，则 ，
∴
， ，
；
（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，
点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，此时， 的周长最小，
∴
设直线AC的解析式为 ，代入 、 ，得：
，
解得 ，
直线 ： ；
点P为直线AC与抛物线对称轴 的交点，，
∴
解得 ，
．
【点拨】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次
函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
