§1.5 一元二次不等式及其解法
考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元
二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次
不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋
bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数 有两个相等的实数根
没有实数根
(a>0)的根 根x，x(x<x) x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
ax2＋bx＋c>0(a>0)
{ x | x < x 或 x > x} R
1 2
的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{ x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
的解集
3.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
(2)≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 且 g ( x ) ≠ 0 .
微思考
1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？
提示 二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与 x轴交点的横坐
标．
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？
提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x，x)，则必有a>0.( √ )
1 2
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．
( √ )
(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
题组二 教材改编
2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B等于( )
A．(－2,3) B．(1,3)
C．(3,4) D．(－2,4)
答案 B
解析 由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，
所以A∩B＝(1,3)．
3．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
答案 (－4,1)
解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，
得－4<x<1.
4．函数y＝log (3x2－2x－2)的定义域是____________________________．
2
答案 ∪
解析 由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x＝，x＝，
1 2
∴3x2－2x－2>0的解集为∪.
题组三 易错自纠
5．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.
答案 －14
解析 ∵x＝－，x＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
1 2
∴解得∴a＋b＝－14.
6．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．
答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)
解析 由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.题型一 一元二次不等式的求解
命题点1 不含参的不等式
例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于( )
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
答案 D
解析 ∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－1<x<4}，B＝{－4,1,3,5}，
∴A∩B＝{1,3}．
(2)不等式≥0的解集为( )
A．[－2,1] B．(－2,1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案 B
解析 原不等式化为
即
解得－2<x≤1.
命题点2 含参不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得<x<1；
当a＝1时，解集为∅；
当0<a<1时，解得1<x<.
综上，当0<a<1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为.
在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.综上，当0<a<1时，不等式的解集为，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练 1 (1)已知不等式 ax2－bx－1>0 的解集是，则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是
________．
答案 {x|x≥3或x≤2}
解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，
所以解得
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2.
(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x＝－，x＝.
1 2
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题
例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(
)
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．(－2,2) D．(－2,2]
答案 D
解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；
当a－2≠0，即a≠2时，
则有解得－2<a<2.
综上，实数a的取值范围是(－2,2]．
命题点2 在给定区间上的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围
为________．
答案
解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x) ＝g(3)，即7m－6<0，
max
所以m<，所以0<m<；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x) ＝g(1)，即m－6<0，
max
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0，
所以m<.令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．
答案
解析 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线
段，
则即
解得<x<，
故x的取值范围为.
思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定
区间上恒成立．
对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二
次函数的图象全部在x轴下方；
对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
跟踪训练2 (1)若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为( )
A．a<－或a> B．a>或a<0
C．a> D．－<a<
答案 C
解析 当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；
当a≠0时，即
解得a>.
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴即
解得m≤－5.
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x ，x ，且x<x ，相应的二次函数
1 2 1 2
为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况
见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．
表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
一正根一负根即一个
两个负根即两根都小 两个正根即两根都大
分布情况 根小于0，一个根大
于0(x<0，x<0) 于0(x>0，x>0)
1 2 1 2
于0(x<0<x)
1 2大致图象(a>0)
得出的结论 f(0)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(0)>0
综合结论
a·f(0)<0
(不讨论a)
表二：(两根与k的大小比较)
两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个
分布情况
x<k，x<k x>k，x>k 根大于k即x<k<x
1 2 1 2 1 2
大致图象(a>0)
得出的结论 f(k)<0
大致图象(a<0)
得出的结论 f(k)>0
综合结论
a·f(k)<0
(不讨论a)
表三：(根在区间上的分布)
一根在(m，n)内，另
两根有且仅有一根在
一根在(p，q)内，
分布情况 两根都在(m，n)内 (m，n)内(图象有两种
m<n<
情况，只画了一种)
p<q
大致图象(a>0)
得出的结论 f(m)·f(n) <0 或大致图象(a<0)
或
得出的结论 f(m)·f(n) <0
综合结论
f(m)·f(n) <0
(不讨论a)
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x<m，
1
x>n，(图形分别如下)需满足的条件是
2
(1)a>0时，
(2)a<0时，
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有
一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参
数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以mx2－(m＋
2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得<m<2即为所求；
(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出
参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若
不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m
的取值范围．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－；②由Δ＝0即
16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝，当m＝－1时，根x＝－2∈(－3,0)，即m＝－1满
足题意；当m＝时，根x＝3 (－3,0)，故m＝不满足题意．综上分析，得出－3<m<－或m＝
－1. ∉
例1 已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，
由(2m＋1)·f(0)<0 ，即(2m＋1)(m－1)<0，
解得－<m<1，即m的取值范围为.例2 已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由⇒
⇒ ⇒0<m<3－2或m>3＋2，
即m的取值范围为(0,3－2)∪(3＋2，＋∞)．
例3 已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个
小于1，求实数m的取值范围．
解 由(m＋2)·f(1)<0 ，
即(m＋2)·(2m＋1)<0 ⇒－2<m<－，
即m的取值范围为.
课时精练
1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于( )
A．(0,2) B．(－1,0)
C．(－3,2) D．(－1,3)
答案 B
解析 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，
∴A∩B＝(－1,0)．故选B.
2．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 原不等式可化为(x－t)<0，
∵0<t<1，∴t<，
∴原不等式的解集为.
3．(2020·廊坊调研)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么
不等式f(－2x)<0的解集为( )
A.∪
B.
C.∪D.
答案 A
解析 由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，
即a＝－1，b＝－3.
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，
故不等式f(－2x)<0的解集是∪.
4．已知某产品的总成本 y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，
x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最
低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 由题设，产量为x台时，总售价为25x；
欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，
即25x≥3 000＋20x－0.1x2，
即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．
5．(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，
b)的值可以是( )
A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.
答案 AD
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，
且即a＝2b<0，故选AD.
6．(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则( )
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x，x)，则xx>0
1 2 1 2
D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x，x)，且|x－x|＝4，则c＝4
1 2 1 2
答案 ABD
解析 因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，
显然(b－2)2≥0，故A正确；
对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；
对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x，x)，故xx＝－b<0，故C错误；
1 2 1 2
对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x ，x)，且|x －x|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0
1 2 1 2
的两根为x，x，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4.
1 2
7．不等式>2的解集为________．
答案 {x|1<x<4}
解析 原不等式可化为－2>0，
即>0，即>0，
即(x－1)(x－4)<0，解得1<x<4，
∴原不等式的解集为{x|1<x<4}．
8．一元二次方程x2－(k－2)x＋k＋1＝0有一正一负实数根，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)
解析 依题意
解得k<－1.
9．若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是
________．
答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴
⇒x<1或x>3.
10．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中恰有两个整数，则实数 a的取值范围是
________．
答案 [－2，－1)∪(3,4]
解析 不等式x2－(a＋1)x＋a<0，
可化为(x－1)(x－a)<0，
当a＝1时，不等式为(x－1)2<0，解集为∅，舍去，
当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，则3<a≤4，
当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，
则－2≤a<－1，
综上有－2≤a<－1或3<a≤4.11．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；
当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>
－2时， 不等式的解集为(－1，a＋1)．
12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝
10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，
所以100－80≥0，
解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
13．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下
列不等式正确的是( )
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
答案 D
解析 f(x)＝2 021－(x－a)(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 021，又f(a)＝f(b)＝2 021，c，d为
函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图
所示，由图可知c>a>b>d，故选D.14．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
答案 A
解析 由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为xx ＝－2<0，所以方程必有一正根，
1 2
一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是
f(5)>0，解得a>－.
15．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间
[a，b]的长度为b－a)，则实数m的值是________．
答案 －5
解析 不等式f(x)≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，
令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x|x≤x≤x}，
1 2
则x－x＝6，
2 1
∵
又∵(x－x)2＝(x＋x)2－4xx＝36，
2 1 1 2 1 2
∴4－4(m－3)＝36，即m＝－5.
16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得解得
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组
即解得
因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，解得－2≤k<－1，
所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，
即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有
即
解得－≤t≤，所以0<t≤；
当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，解得t≥－，即－≤t<0，
综上，t的取值范围是.
