§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机
现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进
行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机
变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题．
1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为
离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x ，x ，…，x，…，x ，X取每一个值
1 2 i n
x(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝x)＝p，则称表
i i i
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①p≥0，i＝1,2，…，n；
i
②＝1.
i
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．
其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x … x
1 2 i n
P p p … p … p
1 2 i n
(1)均值
称E(X)＝xp ＋ xp ＋ … ＋ xp ＋ … ＋ xp 为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随
1 1 2 2 i i n n
机变量取值的平均水平．(2)方差
称D(X)＝(x－E(X))2p为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离
i i
程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) .(a，b为常数)
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝ (k＝
0,1,2，…，m)，即
X 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
微思考
1．某电子元件的使用寿命x ，掷一枚骰子，正面向上的点数x ，思考x ，x 可作为离散型
1 2 1 2
随机变量吗？
提示 x 不可作为离散型随机变量，x 可作为离散型随机变量．
1 2
2．期望和算术平均数有何区别？
提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越
小，则偏离均值的平均程度越小．( √ )
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．( × )
题组二 教材改编
2．设随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P p
则p为( )
A. B. C. D.
答案 C解析 由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
3．已知X的分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B．4 C．－1 D．1
答案 A
解析 E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
4．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案 0
解析 ∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
题组三 易错自纠
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
答案 C
解析 选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变
量，可能取值为0,1,2.
6．若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案 C
解析 由随机变量X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝
0.8，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．题型一 分布列的求法
例1 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，
编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
解 (1)设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则
P(A)＝＝.
所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
X的分布列为
X 1 2 3 4
P
思维升华 离散型随机变量分布列的求解步骤
跟踪训练1 有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入座编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个
学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知X＝2
时，共有6种坐法．
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列．
解 (1)因为当X＝2时，有C种方法，
所以C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意可知X的可能取值是0,2,3,4，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的分布列为
X 0 2 3 4
P
题型二 均值与方差
例2 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的
收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足
1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1
小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间
都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.
两人都付0元的概率为P＝×＝，
1
两人都付40元的概率为P＝×＝，
2
两人都付80元的概率为P＝×＝，
3
则两人所付费用相同的概率为
P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
1 2 3
(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值的定义求E(ξ)．
(5)由方差的定义求D(ξ)．
跟踪训练2 现有A，B，C 3个项目，已知某投资公司投资A项目的概率为，投资B，C项
目的概率均为p，且投资这3个项目是相互独立的，记X是该投资公司投资项目的个数，若
P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
答案
解析 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3，由于P(X＝0)＝，故(1－p)2＝，∴p＝.P(X
＝1)＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
题型三 超几何分布
例3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自
甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这
8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求
事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列，并求E(X)．
解 (1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超
几何分布的特征是：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X
的概率分布．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟踪训练3 某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单
位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
(1)求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
(2)考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中女员工
人数为X，求随机变量X的分布列和均值．
解 (1)抽取的5人中男员工的人数为×27＝3，
女员工的人数为×18＝2.
(2)由(1)可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．
所以，随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
根据题意，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
随机变量X的分布列是
X 0 1 2
P
均值E(X)＝0＋1×＋2×＝.
课时精练
1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 ξ，则
“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
答案 D
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由分布列的性质，得＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝＝.
3．(2021·沈阳模拟)设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，若X的均
值为E(X)＝3，则a－b等于( )
A. B．0 C．－ D.
答案 A
解析 由题意知(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值E(X)＝
3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，∴a＝，b＝0，∴a－b＝.
4．已知随机变量的分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为( )
ξ 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b＝1，所以b＝0.4，所以E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋
9×0.4＝6.3，所以a＝7.
5．(多选)(2021·泰安模拟)设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P q 0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是( )
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
答案 ACD
解析 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋
2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2
＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确，B不正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．
6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P b－a b a
则当a在内增大时( )A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小
C．D(ξ)先增大后减小 D．D(ξ)先减小后增大
答案 AC
解析 由随机变量ξ的分布列得
解得b＝0.5,0≤a≤0.5，
∴E(ξ)＝0.5＋2a,0≤a≤0.5.
故a在内增大时，E(ξ)增大．
D(ξ)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋＝－42＋，
所以当a∈时，D(ξ)单调递增，当a∈时，D(ξ)单调递减，故选AC.
7．某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为______．
答案 40%
解析 由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
8．随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
9．已知随机变量ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P 0.5 x y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
答案
解析 由分布列性质，得x＋y＝0.5.又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得
D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑
球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝
________.
答案
解析 由题意可知，P(ξ＝2)＝＝.
11．(2021·武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能
答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测
试，至少答对2题才算合格．
(1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为X，Y，写出随机变量X，Y的分布列；
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
解 (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量Y的所有可能取值为1,2,3，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
所以随机变量Y的分布列为
Y 1 2 3
P
(2)由(1)知甲合格的概率为P(A)＝＋＝，
乙合格的概率为P(B)＝＋＝，
因为事件A，B相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为
P(·)＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝×＝，
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1－＝.
12．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供
选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失
30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解 若按“项目一”投资，设获利为X 万元，X 的所有可能取值为300，－150.则X 的分布
1 1 1
列为
X 300 －150
1
P
∴E(X)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
1
若按“项目二”投资，设获利为X 万元，X 的所有可能取值为500，－300,0.则X 的分布列
2 2 2
为
X 500 －300 0
2
P
∴E(X)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
2
D(X)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
1
D(X)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
2
∴E(X)＝E(X)，D(X)<D(X)，
1 2 1 2
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)
＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
答案 B
解析 设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝，所以x＝2或x＝8.因为次品率不超过
40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.
14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125个同样大小的小正方体，经过搅拌
后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.答案
解析 由题意知X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
15．(2020·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一
家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论不正确的是( )
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为
答案 B
解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A种，
则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为＝，故 A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概
率为＝，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为＝，故 C正确；设四人中
去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)
＝，P(ξ＝4)＝，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故D正确．
16．(2021·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X，若
X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提
成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每
单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择
一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2020年4月份
(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x(单) 13 14 16 17 18 20
天数 2 6 12 6 2 2表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y(单) 11 13 14 15 16 18
天数 4 5 12 3 5 1
(1)设美团外卖配送员月工资为f(X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300,600]
时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；
(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解 (1)因为X＝Y∈(300,600]，
所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，
当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，
故当X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)，
故X∈(400,600]时，f(X)<g(Y)．
(2)①甲日送餐量x的分布列为
x 13 14 16 17 18 20
P
乙日送餐量y的分布列为
y 11 13 14 15 16 18
P
则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16，
E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.
②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，
美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，饿了么外卖配送员，估计月薪
平均为2 100＋4E(Y)＝3 780(元)，由于3 780元>3 720元，
故小王应选择做饿了么外卖配送员．
