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§1.3 全称量词与存在量词
考试要求 1.理解全称量词和存在量词的意义.2.能正确地对含一个量词的命题进行否定．
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，
用符号“∀”表示．
(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在
量词，用符号“∃”表示．
2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定
对M中任意一个x，有
全称命题 ∀ x ∈ M ， p ( x ) ∃x∈M， 綈 p ( x )
0 0
p(x)成立
存在M中的一个x，使
0
特称命题 ∃ x ∈ M ， p ( x) ∀x∈M，綈p(x)
0 0
p(x)成立
0
微思考
1．怎样判断一个特称命题是真命题？
提示 要判定特称命题“∃x∈M，P(x)”，只需在集合M找到一个x，使P(x)成立即可．
0 0 0 0
2．命题p和綈p可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？
提示 命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定
的真假．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．( × )
(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( √ )
题组二 教材改编
2．命题“∀x∈R，x2＋x＋1>0”的否定是________．
答案 ∃x∈R，x＋x＋1≤0
0 0
3．命题“∃x∈N，x≤0”的否定是________．
0答案 ∀x∈N，x2>0
4．命题“对于函数f(x)＝x2＋(a∈R)，存在a∈R，使得f(x)是偶函数”为________命题．
(填“真”或“假”)
答案 真
解析 当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数．
题组三 易错自纠
5．(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x－x＋<0
0 0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x＋2x＋2＝0
0 0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
答案 AC
解析 由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝2≥0，
x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为特称命题且为假命题，故选AC.
6．若命题“∃t∈R，t－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
0 0
答案 (－∞，－1]
解析 命题“∃t∈R，t－2t－a<0”是假命题，等价于∀t∈R，t2－2t－a≥0是真命题，
0 0
∴Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1.
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]．
题型一 全称命题、特称命题的真假
例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足
x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；
D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
(2)下列四个命题：①∃x∈(0，＋∞)， ；
0
②∃x∈(0,1)， ；
0
③∀x∈(0，＋∞)， ；
④∀x∈， .
其中真命题的序号为________．
答案 ②④
解析 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有x>x成立，故①是假命题；
对于②，当x＝时，有 成立，故②是真命题；
对于③，当00
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
0 0
D．∃x∈R，tan x＝2
0 0
答案 B
解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易
知A，C，D正确，故选B.
(2)已知函数f(x)＝ ，则( )
A．∃x∈R，f(x)<0
0 0
B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x，x∈[0，＋∞)，<0
1 2
D．∀x∈[0，＋∞)，∃x∈[0，＋∞)，f(x)>f(x)
1 2 1 2答案 B
解析 幂函数f(x)＝ 的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C
错误，D选项中当x＝0时，结论不成立．
1
题型二 含有一个量词的命题的否定
1．已知命题p：“∃x∈R， －x－1≤0”，则綈p为( )
0 0
A．∃x∈R， －x－1≥0
0 0
B．∃x∈R， －x－1>0
0 0
C．∀x∈R，ex－x－1>0
D．∀x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( )
A．所有正方形都不是平行四边形
B．有的平行四边形不是正方形
C．有的正方形不是平行四边形
D．不是正方形的四边形不是平行四边形
答案 C
解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈
p为有的正方形不是平行四边形．
3．命题：“∃x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________．
0 0 0
答案 ∀x∈R，sin x＋cos x≤2
4．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是____________________．
答案 ∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1
0 0
思维升华 对全称命题、特称命题进行否定的方法
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
例2 (1)已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都
是真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案 (－∞，－2]解析 由命题 p为真，得 a≤0，由命题 q为真，得 Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a≤－2或
a≥1，所以a≤－2.
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x∈[0,3]，∃x∈[1,2]，使得f(x)≥g(x)，则实数
1 2 1 2
m的取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[0,3]时，f(x) ＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，
min
g(x) ＝g(2)＝－m，由题意得f(x) ≥g(x) ，
min min min
即0≥－m，所以m≥.
本例中，若将“∃x∈[1,2]”改为“∀x∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的
2 2
取值范围是________________．
答案
解析 当x∈[1,2]时，g(x) ＝g(1)＝－m，
max
由题意得f(x) ≥g(x) ，
min max
即0≥－m，
∴m≥.
思维升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围．
(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最
值)解决．
跟踪训练2 (1)由命题“∃x∈R，x＋2x ＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，
0 0
＋∞)，则实数a＝________.
答案 1
解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
所以Δ＝4－4m<0，即m>1，
故实数m的取值范围是(1，＋∞)，
从而实数a的值为1.
(2)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使g(x)＝f(x)，则实数a
1 0 1 0
的取值范围是________．
答案
解析 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得g(x)＝
0 1
f(x)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，因
0
为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取
值范围是.课时精练
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log x＝0 B．∃x∈R，cos x＝1
0 2 0 0 0
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案 C
解析 因为log 1＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，
2
2x>0，选项D为真命题，故选C.
2．(2021·长沙期末)命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为( )
A．∀x∈N*，x>
B．∀x N*，x>
∉
C．∃x N*，
0
∉
D．∃x∈N*，
0
答案 D
解析 命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“x≤”改为“ ”即可，故选D.
3．下列命题是真命题的是( )
A．所有的素数都是奇数
B．∀x∈R，x2＋1≥0
C．对于每一个无理数x，x2是有理数
D．∀x∈Z，∉Z
答案 B
解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0
恒成立，B真；对于C，是无理数，()2＝π还是无理数，C假；对于D,1∈Z，但＝1∈Z，D
假，故选B.
4．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是( )
A．∃x∈R,2x－1<0 B．∀x∈R,2x2－1≥0
0
C．∃x∈R,2x－1≤0 D．∀x∈R,2x2－1<0
0
答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p：∀x∈R,2x2－1>0的否定是
“∃x∈R,2x－1≤0”．
0
5．已知命题p：∀x，x∈R，[f(x)－f(x)](x－x)≥0，则綈p是( )
1 2 2 1 2 1
A．∃x，x∈R，[f(x)－f(x)](x－x)≤0
1 2 2 1 2 1
B．∀x，x∈R，[f(x)－f(x)](x－x)≤0
1 2 2 1 2 1
C．∃x，x∈R，[f(x)－f(x)](x－x)<0
1 2 2 1 2 1
D．∀x，x∈R，[f(x)－f(x)](x－x)<0
1 2 2 1 2 1
答案 C
解析 已知全称命题p：∀x ，x∈R，[f(x)－f(x)]·(x －x)≥0，则綈p：∃x ，x∈R，[f(x)
1 2 2 1 2 1 1 2 2
－f(x)]·(x－x)<0，故选C.
1 2 1
6．已知命题“∃x∈R,4x＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
0 0
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
答案 D
解析 因为命题“∃x∈R,4x＋(a－2)x ＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x
0 0
＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，
解得02,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β
D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 ABD
解析 ∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln 1＝0，故A为假命题；
当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；
当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sin α－sin β，故C为真命题；
当x＝时，sin 0”的否定是“∃x∈R，x＋x－1<0”
0 0
C．“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D．已知f(x)在x 处存在导数，则“f′(x)＝0”是“x 是函数f(x)的极值点”的必要不充分条
0 0 0
件答案 BC
解析 对于A，设f(x)＝2x－，x∈(0,1)，因为f′(x)＝2xln 2＋>0，所以f(x)在(0,1)上单调递
增，而f ＝－2<0，f(1)＝1>0，∴f f(1)<0，即∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0，即 ，A正
0 0
确；
对于B，“∀x∈R，x2＋x－1>0”的否定是“∃x∈R，x＋x－1≤0”，B不正确；
0 0
对于C，“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分条件，C不正
确；
对于D，因为f(x)在x 处存在导数，根据极值点的定义可知，“x 是函数f(x)的极值点”可以
0 0
推出“f′(x)＝0”，但是“f′(x)＝0”不一定可以推出“x 是函数f(x)的极值点”，比如函
0 0 0
数f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，但是x＝0不是函数f(x)的极值点，D正确．
9．(2021·北京通州区模拟)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的
取值范围是______________．
答案
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式 x2
－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
10．已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－1]
解析 由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1.
11．若命题“∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．
答案 (－4,0]
解析 “对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有
k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4x3”的否定是“∃x∈(0,2)， ≤x”；
0
②若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；
③若f(x)＝x＋，则∃x∈(0，＋∞)，f(x)＝1.
0 0
其中真命题是________．(将所有真命题的序号都填上)
答案 ①②
解析 对于①，命题“∀x∈(0,2)，3x>x3”的否定是“∃x∈(0,2)， ≤x”，故①为真命题；
0对于②，若f(x)＝2x－2－x，则∀x∈R，f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，故②为真命题；
对于③，对于函数f(x)＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，x>－1，当且仅当x＝0时，f(x)＝1，故
③为假命题．故答案为①②.
13．(2019·石家庄质检)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )
A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．∃x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
0 0 0
D．∃x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
0 0 0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否
定是“∃x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0”．故选D.
0 0 0
14．若“∃x∈，使得2x－λx ＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________．
0 0
答案 (－∞，2]
解析 若“∃x∈，使得2x－λx ＋1<0成立”是假命题，
0 0
即“∃x∈，使得λ>2x＋成立”是假命题，
0 0
x∈，当x＝时，2x＋取最小值2，
0 0 0
故实数λ的取值范围为(－∞，2]．
15．(多选)下列命题正确的是( )
A．∃x>0，ln x＋≤2
0 0
B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
0 0 0
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案 ABD
解析 当x＝>0时，ln x<0，ln x＋<0，故A正确；
0 0 0
根据特称命题的否定为全称命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是“∀x∈(0，
0 0 0
＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；
当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因
此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
因为当a≠0时，ab有可能等于0，当ab≠0时，必有a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必
要不充分条件，故D正确．
16．已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若命题p，q一真一假，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 ∀x∈，2x>m(x2＋1)，即m<＝在上恒成立，
当x＝时， ＝，∴ ＝，
max min
∴若p为真，则m<.
设t＝2x，则t∈(0，＋∞)，
则函数f(x)化为g(t)＝t2＋2t＋m－1，
由题意知g(t)在(0，＋∞)上存在零点，
令g(t)＝0，得m＝－(t＋1)2＋2，
又t>0，所以若q为真，则m<1.
又命题p，q一真一假，
则或
解得≤m<1.
故所求实数m的取值范围是.
