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高考专题突破六 高考中的概率与统计问题
题型一 随机事件的概率
例1 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同
时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都
回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解 (1)记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道
题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P＝P()＝P()·P()·P()＝××＝，
0
有1个家庭回答正确的概率为
P＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
1
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P－P＝1－－＝.
0 1
思维升华 随机事件的概率求解策略
(1)对复杂的随机事件表示成互斥事件的和，独立事件的积；
(2)利用概率的性质进行计算．
跟踪训练1 (1)(2020·上海市七宝中学模拟)通过手机验证码登录哈啰单车App，验证码由四
位数字随机组成，如某人收到的验证码(a ，a ，a ，a)满足a10.828，
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
思维升华 统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、独立重复实验、超几
何分布、二项分布、独立性检验、线性回归等知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能
力、运算求解能力及应用意识．
跟踪训练4 (2020·济宁模拟)下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y (单位：
kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年～2018年的年份代码x分别
为1～7).(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；
(2)根据散点图相应数据计算得 ＝1 074，y＝4 517，求y关于x的线性回归方程；
i i i
(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．(只写出结论)
附：线性回归方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b＝ ＝ ，a＝－b.
解 (1)由散点图可以看出，点大致分布在某一直线的附近，且当 x由小变大时，y也由小变
大，从而y与x之间是正相关关系．
(2)由题中数据可得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×1 074＝，
从而b＝ ＝＝，
a＝－b＝－×4＝，
从而所求y关于x的线性回归方程为y＝x＋.
(3)由残差图可以看出，残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合
效果较好．
课时精练
1．(2020·全国Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，
C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费
90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个
分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家
为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产
品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选
哪个分厂承接加工业务？
解 (1)由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4，乙分厂加
工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28.
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为
40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1 500(元)，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元；
乙分厂加工100件产品的总利润为
28×(90－20)＋17×(50－20)＋34×(20－20)－21×(50＋20)＝1 000(元)，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元．
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选择甲分厂承接加工业务．
2．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到
如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为
4∶2∶1.
(1)求这些产品的质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标
值位于[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列与均值．
解 (1)设落在区间[75,85]内的频率为x，则落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和
2x，
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，
解得x＝0.05.
所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.
(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从
二项分布X～B(n，p)，其中n＝3.由(1)得，落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C×0.61×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×0.41＝0.432，P(X＝3)＝C×0.63×0.40＝0.216，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
所以X的均值为E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
(或直接根据二项分布的均值公式得到E(X)＝np＝3×0.6＝1.8)
3．(2019·全国Ⅲ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾
客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K2＝.
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.8，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的频率为＝0.6，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2)K2的观测值k＝≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
4．(2021·四川省成都市第七中学模拟)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合
格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y＝c·xb(b，c为大于0的常数)．按照某
指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302,0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格
产品，测得数据如下：
尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88
质量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5
质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；
(2)根据测得的数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
(ln x·ln y) (ln x) (ln y) (ln x)2
i i i i i
75.3 24.6 18.3 101.4
根据所给统计量，求y关于x的非线性回归方程．
附：对于样本(v，u)(i＝1,2，…，6)，其回归直线u＝b·v＋a的斜率和截距的最小二乘估计
i i
公式分别为：
b＝ ＝ ，a＝－b.
解 (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比∈(0.302,0.388)，
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a，b，c，
有3件为非优等品，记为d，e，f，
现从抽取的6件合格产品中再任选2件，所有结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)(a，f)，
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，
选中的两件均为优等品的所有结果为(a，b)，(a，c)，(b，c)，
所以所求概率为＝.
(2)对y＝c·xb两边取自然对数得ln y＝ln c＋bln x，
令v＝ln x，u＝ln y，则u＝b·v＋a，且a＝ln c，
i i i i
由所给统计量及最小二乘估计公式有
b＝＝＝＝，
a＝－b＝＝1，
由a＝ln c得c＝e，
所以y关于x的非线性回归方程为y＝ex0.5.
5．(2021·南阳模拟)2020年初，新型冠状病毒肆虐，全民开启防疫防控．冠状肺炎的感染主
要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫以及粪便进行传染，冠状肺炎感染人群年龄大多数
是40岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现
临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对200个病例的潜伏期
(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.1，方差为5.06.如果认为超
过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
长潜伏期 非长潜伏期 总计
40岁以上 30 110 14040岁及40岁以下 20 40 60
总计 50 150 200
(1)是否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？
(2)假设潜伏期Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.现
在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
(3)以题目中的样本频率估计概率，设1 000个病例中恰有k(k∈N*)个属于“长潜伏期”的概
率是g(k)，当k为何值时，g(k)取得最大值？
附：K2＝.
P(K2≥k) 0.1 0.05 0.01
0
k 2.706 3.841 6.635
0
若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋
2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，≈2.25.
解 (1)k＝≈3.17，
由于3.17<3.841，
故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关．
(2)由题意知潜伏期Z～N(7.1，2.252)，
由P(Z≥13.85)≈＝0.001 35，
得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的．
(3)由于200个病例中有50个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，
于是g(k)＝C·k·1 000－k.
则＝＝＝·＝·.
当01；
当g(251)>…>g(1 000)．
故当k＝250时，g(k)取得最大值．
