§10.2 排列、组合
考试要求 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理
解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
1．排列与组合的概念
名称 定义 区别
排列 从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
排列有序，组合无序
组合 m(m≤n)个元素 合成一组
2.排列数与组合数
定义 计算公式 性质 联系
从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有
排
不同排列的个数，叫做 A＝ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) ＝ (1)A＝ n ！ ；
列
从n个不同元素中取出 (n，m∈N*，且m≤n) (2)0！＝1
数
m个元素的排列数．用
符号“A”表示
C＝
从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素的所有
组
(1)C＝C＝1；
不同组合的个数，叫做
合 C＝＝(n，m∈N*，且m≤n) (2)C＝ C ；
从n个不同元素中取出
数
(3)C＝ C ＋ C
m个元素的组合数．用
符号“C”表示
微思考
1．排列问题和组合问题的区别是什么？
提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？
提示 (1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.
(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．
前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．( × )
(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．
也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( √ )
题组二 教材改编
2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(
)
A．12 B．24 C．64 D．81
答案 B
解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝
24.
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
答案 D
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的
坐法种数为A＝4×3×2＝24.
4．C＋C＋C＋C的值为________．(用数字作答)
答案 210
解析 原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.
题组三 易错自纠
5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(
)
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
答案 B
解析 第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，
甲不在最右端，
有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有120＋96＝216(种)排法．
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程
中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
答案 30
解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A
类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种).
题型一 排列问题
1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字
的五位数，共有( )
A．96个 B．78个 C．72个 D．64个
答案 B
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的
一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当万位数是
2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有
54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．
2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数
是( )
A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800
答案 A
解析 除甲、乙外，其余5个人排列为A种排法，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的
排法种数是AA＝3 600(种)．
3．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年
级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队
吃饭的不同安排方案共有( )
A．240种 B．120种 C．188种 D．156种
答案 B
解析 根据题意，按甲班位置分3种情况讨论：
(1)甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有4A＝8(种)，将剩余的三个班全排列，安
排到剩下的3个位置，有A＝6(种)情况，此时有8×6＝48(种)安排方案；
(2)甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有3A＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安排
到剩下的三个位置，有A＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)安排方案；
(3)甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有3A＝6(种)，将剩下的三个班全排列，安
排到剩下的三个位置，有A＝6(种)情况，此时有6×6＝36(种)安排方案．
由分类加法计数原理可知共有48＋36＋36＝120(种)方案．
思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际
进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③
有限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素
的全排列数．
题型二 组合问题
1．(2020·新高考全国Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，
甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
答案 C
解析 先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安
排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘
法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．
2．为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4
人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
答案 182
解析 甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共
有CC＋C＝182(种)．
3．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共
有______种．(用数字填写答案)
答案 16
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加
有CC种．故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．
方法二 间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有
C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种)．
思维升华 (1)解排列、组合问题要遵循的两个原则
①按元素(位置)的性质进行分类．
②按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其
他元素(位置)．
(2)两类含有附加条件的组合问题的方法
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外
元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
②“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类
复杂时，可用间接法求解．
题型三 排列与组合的综合问题
命题点1 相邻问题
例1 北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导
人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )
A．12种 B．24种 C．48种 D．96种
答案 C
解析 从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩
下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时
共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插
入乙，∴共有12×4＝48(种)不同排法．
命题点2 相间问题
例2 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则
同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
答案 B
解析 安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，
小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1 歌舞 1 小品2□
相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种
情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排
方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．
命题点3 特殊元素(位置)问题
例3 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍
存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打
车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐 4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，
其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的
乘坐方式共有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
答案 B
解析 根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三
个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲
车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝
12(种)乘坐方式．
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.
思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类．
(2)按事情发生的过程进行分步．
具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其
他元素(位置)．
跟踪训练 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相
邻，则不同的摆法有________种．
答案 36
解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产
品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 AA种方法．
于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．
(2)数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，
且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )
A.A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
答案 B
解析 方法一 首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个
不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数
原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)，故选B.
方法二 根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第
三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，
第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选
法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种，故选B.
课时精练
1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中 China又可以简写为 CN，从“CN
Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()
A．360种 B．480种 C．600种 D．720种
答案 C
解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有CA＝600(种)，故选C.
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48(种)．
3．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站
在一起，则不同的站法有( )
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
答案 B
解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有ACAA＝96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧
时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．
4．不等式A<6×A的解集为( )
A．{2,8} B．{2,6} C．{7,12} D．{8}
答案 D
解析 <6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.
又x≤8，x－2≥0，
∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.
5．(2020·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要
摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方
法( )
A．A种 B．A种
C．AA种 D．CCAA种
答案 D
解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一
盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有CCAA种摆放方法．
6．(2021·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮
灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种 B．20种 C．10种 D．8种
答案 C
解析 根据题意，可分为两步：
第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路
灯，有C＝10(种)情况．
故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)．
7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车
B不能停在第1道上， 则5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63 C．72 D．78
答案 D
解析 若没有限制，5列火车可以随便停，则有A种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，
则5列火车不同的停靠方法为A种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A
种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A种，故
符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A－2A＋A＝120－48＋6＝78.
8．(多选)(2021·苏州质检)现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是( )
A．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，则共有24种放法
B．若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C．若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D．若编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子
的编号全不相同的放法共有9种
答案 BCD
解析 若4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，共有44＝256(种)放法，故A错误；
若4个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另
一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有C(A＋1)＝18(种)放法，故B正确；若4
个不同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，
另一个盒子中放2个小球，共有C·＝144(种)放法，故C正确；若编号为1,2,3,4的小球放入
编号为1,2,3,4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若(2,1,4,3)代表
编号为1,2,3,4的盒子放入的小球编号分别为2,1,4,3，列出所有符合要求的情况：(2,1,4,3)，
(4,1,2,3)，(3,1,4,2)，(2,4,1,3)，(3,4,1,2)，(4,3,1,2)，(2,3,4,1)，(3,4,2,1)，(4,3,2,1)共9种放法，
故D正确．故选BCD.
9．若把英语单词“good”的字母顺序写错，则可能出现的错误方法共有________种(用数字
作答)．
答案 11
解析 把g，o，o，d,4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；
第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误
的共有A－1＝12－1＝11(种)．
10．某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，
并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案 84
解析 方法一 在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分为三类：一类是从
某1个车队抽调3辆，有C种方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另
1个车队抽调2辆，有A种方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种方法．故共有C
＋A＋C＝84(种)抽调方法．
方法二 由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可看作将10个小球
排成一排，在相互之间的 9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成 7份，故共有C＝
84(种)抽调方法．
11．(2020·梅州质检)某省高考实行3＋3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政
治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，
则他们至少有两科相同的选法有________种．
答案 200
解析 根据题意，分2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有C＝20(种)选法，
②两人选择的科目有且只有2科相同，有CCC＝180(种)选法，
则两人至少有两科相同的选法有20＋180＝200(种)．
12．(2020·全国Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1个小区，每
个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
答案 36
解析 将4名同学分成人数为2,1,1的3组，有C＝6(种)分法，再将3组同学分到3个小区，
共有A＝6(种)分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36(种)．
13．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能
住同一房间，则不同的安排方法有( )
A．114 B．90 C．108 D．60
答案 A
解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，
有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，
有·A＝90(种)，A，B住同一房间有C·A＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数
原理可知，共有42＋72＝114(种)．
14．(2021·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求
男生甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为________．(用数字作答)
答案 23
解析 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为
C－C＝9；
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为 C－C
＝9；
③设甲、乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为C＝5.
综合①②③得，不同的选法种数为9＋9＋5＝23.
15．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；
“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；
“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天
课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，
则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( )
A．120种 B．156种 C．188种 D．240种
答案 A
解析 当“数”排在第一节时有A·A＝48(种)排法；
当“数”排在第二节时有A·A·A＝36(种)排法；
当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A·A＝12(种)排法
当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有A·A·A＝24(种)排法，
所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法，故选A.
16．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和
为偶数的四位数共有________个．(用数字作答)
答案 324
解析 当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时，若选出的三个偶数含有 0，则千位上把
剩余数字中任意一个放上即可，方法数是CAC＝72；若选出的三个偶数不含0，则千位上只
能从剩余的非0数字中选一个放上，方法数是AC＝18，故这种情况下符合要求的四位数共
有72＋18＝90(个)．
当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时，若选出的偶数是 0，则再选出两个
奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为CAC＝72；若选出的偶数不是
0，则再选出两个奇数后，千位上只能从剩余的非 0数字中选一个放上，方法数是CCAC＝
162，故这种情况下符合要求的四位数共有72＋162＝234(个)．
根据分类加法计数原理，可得符合要求的四位数共有90＋234＝324(个)．
