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§10.6 二项分布与正态分布
考试要求 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试
验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及
曲线所表示的意义．
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，
用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则
P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立
事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P ( B ) ．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔ A 与 B 相互独立 ．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种
试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率
都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率
为p，则P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ( k ＝ 0,1,2 ， … ， n ) ，此时称随机变量X服从二项分布，记为X
～ B ( n ， p )，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) ．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) ．5．正态分布
(1)正态曲线：函数 φ (x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ和σ为参数(σ>0，
μ，σ
μ∈R)．我们称函数φ (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
μ，σ
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称．
③曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a2c－1)＝P(X2c－1)＝P(XP(X≤σ)，故B错；
1 1 2 2 1
对任意正数 t，P(X>t)t)，即有 P(X≥t)t)t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D正确．
(2)(八省联考)对于一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．
已知最后结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量
n n
________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|ε－μ|<2σ)＝0.954 5，
n
又μ＝0，σ2＝，
即P(μ－2σ<ε<μ＋2σ)＝P＝0.954 5，
n
由题意知2σ≤0.5，即2≤，所以n≥32.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利
用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，
则μ等于( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
答案 C
解析 由题意，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，解得ξ>4，所以P(ξ>4)
＝，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.
课时精练
1．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋
装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取 1
个球，则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，
从甲袋中取出红球的概率为＝，
从乙袋中取出红球的概率为，
故所求事件的概率为×＝.
2．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P(X＝3)＝C×3×3＝＝.
3．(2021·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3
次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的
概率P＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C×2×＝.
1
4．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试
验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则
X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
5．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7)，P(μ－2σ＜
ξ＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3)
A．E(X)＝100 B．D(X)＝100
C．P(X≥90)≈0.841 35 D．P(X≤120)≈0.998 65
答案 ABC
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(100,102)，
∴正态曲线关于x＝100对称，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，
根据题意可得，P(90＜x＜110)≈0.682 7，P(80＜x＜120)≈0.954 5，
∴P(x≥90)≈0.5＋×0.682 7＝0.841 35，故C正确；
P(x≤120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误．
而A，B都正确．故选ABC.
6．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A ，A 和A 表示由甲罐取出的球是红球，
1 2 3
白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，
则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝ B．P(B|A)＝
1
C．事件B与事件A 相互独立 D．A，A，A 是两两互斥的事件
1 1 2 3
答案 BD
解析 易见A，A，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
P(B)＝P(BA)＋P(BA)＋P(BA)＝×＋×＋×＝.
1 2 3
故选BD.
7．(2021·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等
奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等
奖的概率为________．
答案
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率
是×＋×＝.
8．(2021·宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若D(X)＝1，则E(X)＝
____.
答案 2
解析 由题意知，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.
9．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，
绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B
＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
答案
解析 因为P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
10．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中
目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次
得分之和为2的概率为，则p的值为________．
答案
解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则
“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，
P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
11．小李某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率
分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝
0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P＝P(BC)＋P(AC)＋P(A B)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
1
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
2
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为
样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此
得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．
(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计
盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为
＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克．
(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为，则X～B.
X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C0×3＝，P(X＝1)＝C1×2＝，
P(X＝2)＝C2×1＝，P(X＝3)＝C3×0＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应
顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A(0,0)点出发，6秒
后到达B(4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B的概率为C×2×4＝＝.
14．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2021级高一
新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团
“乐研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为，a，b.已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则a＋b＝________.
答案
解析 根据题意有
解得a＋b＝.
15．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发
现是假币，则这两张都是假币的概率是( )
A. B. C. D．以上都不正确
答案 A
解析 设事件A表示“抽到的两张都是假币”，事件B表示“抽到的两张至少有一张是假
币”，则所求的概率即P(A|B)．
又P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
由公式P(A|B)＝＝＝＝.
16．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度
(单位：分米)，按数据分成[1.2,1.3)，[1.3,1.4)，[1.4,1.5)，[1.5,1.6)，[1.6，1.7)，[1.7,1.8]这6
组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长
度分别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69，
1.71，1.72,1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．
(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值；
(2)若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在[1.4,1.6)的个数，求X的分布列
和均值；
(3)若变量S满足|P(μ－σ
