§10.6 二项分布与正态分布
考试要求 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试
验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及
曲线所表示的意义．
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，
用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件的个数，则
P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立
事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝ P ( B ) ．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔ A 与 B 相互独立 ．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种
试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率
都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率
为p，则P(X＝k)＝ C p k (1 － p ) n － k ( k ＝ 0,1,2 ， … ， n ) ，此时称随机变量X服从二项分布，记为X
～ B ( n ， p )，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) ．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) ．5．正态分布
(1)正态曲线：函数 φ (x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ和σ为参数(σ>0，
μ，σ
μ∈R)．我们称函数φ (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
μ，σ
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称．
③曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃφ (x)dx，则称随机
μ，σ
变量X服从正态分布，记作 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
微思考
1．两点分布(0－1分布)和二项分布什么关系？
提示 二项分布中当n＝1时就是两点分布．
2．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示 不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发
生的概率．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( √ )
(3)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的．( √ )
题组二 教材改编
2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为( )
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案 A
解析 C0.94×0.1≈0.33.
3．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，
已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件A(其中i＝1,2)，
i
依题意知，要求的概率为P(A|A)．
2 1
由P(A)＝，P(AA)＝＝，
1 1 2
所以P(A|A)＝＝＝.
2 1
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝______.
答案
解析 ∵X～N(3,1)，
∴正态曲线关于x＝3对称，
又P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，
∴2c－1＋c＋3＝3×2，
∴c＝.
题组三 易错自纠
5．(2021·荆州模拟)孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲
理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人，其中每一人在每一行业中胜
过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率
为( )
(参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973≈0.912 673)
A．0.002 7% B．99.997 3% C．0 D．91.267 3%
答案 B
解析 一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为0.99360≈0.03，三个人三百六十行都不如
孔圣人的概率为0.033＝0.000 027，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为1－
0.000 027＝0.999 973＝99.997 3%.6．(2021·三明模拟)近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车
的核心技术．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到 800次的概率为
90%，充放电次数达到1 000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800
次的充放电，那么他的车能够达到充放电1 000次的概率为( )
A．0.324 B．0.36 C．0.4 D．0.54
答案 C
解析 设事件A表示“充放电次数达到800”，事件B表示“充放电次数达到1 000”，
则P(A)＝90%＝0.9，P(AB)＝P(B)·P(A|B)＝P(B)·1＝P(B)＝36%＝0.36，
因为该用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，
那么他的车能够达到充放电1 000次的概率为P(B|A)＝＝＝0.4.
题型一 条件概率
例1 (1)(2020·葫芦岛模拟)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回
地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 记A＝“第一次摸出的是次品”， B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P＝×＝，则P＝＝＝.
(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下
求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
跟踪训练1 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每
次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．答案
解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为
“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件
产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.
(2)(2020·荆州模拟)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，n阶幻
方(n≥3，n∈N*)是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n
个数之和(简称幻和)相等，例如“3阶幻方”的幻和为15.现从如图所示的3阶幻方中任取3
个不同的数，记“取到的3个数的和为15”为事件A，“取到的3个数可以构成一个等差数
列”为事件B，则P(B|A)＝________.
答案
解析 根据题意，事件 A 的所有可能结果为(8,1,6)，(3,5,7)，(4,9,2)，(8,3,4)，(1,5,9)，
(6,7,2)，(8,5,2)，(4,5,6)，共8个；事件A，B同时发生的所有可能结果为(3,5,7)，(1,5,9)，
(8,5,2)，(4,5,6)，共4个，所以P(B|A)＝＝＝.
题型二 独立重复试验与二项分布
命题点1 相互独立事件的概率
例2 (八省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概
率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值．
解 设“部件1,2,3中需要调整的事件”分别为A ，A ，A ，则P(A)＝0.1，P(A)＝0.2，
1 2 3 1 2
P(A)＝0.3.
3
(1)设“部件1,2中至少有1个需要调整的事件”为B，则为“部件1,2中都不需要调整”．
由于部件1,2的状态相互独立，
则P(B)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(A)]＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.
1 2
(2)由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(A)][1－P(A)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504.
1 2 3P(X＝1)＝P(A)[1－P(A)][1－P(A)]＋[1－P(A)]P(A)[1－P(A)]＋[1－P(A)][1－P(A)]·P(A)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.056＋0.126＋0.216＝0.398，
P(X＝2)＝P(A)P(A)[1－P(A)]＋P(A)[1－P(A)]P(A)＋[1－P(A)]P(A)P(A)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.014＋0.024＋0.054＝0.092.
P(X＝3)＝P(A)P(A)P(A)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.
1 2 3
则X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.504 0.398 0.092 0.006
故E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.398＋0.184＋0.018＝0.6.
命题点2 独立重复试验
例3 (2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得
到的点数为a，若存在正整数k，使a＋a＋…＋a＝6，则称k为你的幸运数字．
i 1 2 k
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；
若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．
解 (1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A，A，A，
1 2 3
其中A ：三次恰好都为2；A ：三次中恰好1,2,3各一次；A ：三次中有两次为1，一次为
1 2 3
4，A，A，A 为互斥事件，
1 2 3
则k＝3的概率P(A)＝P(A)＋P(A)＋P(A)＝C3＋C··C··C·＋C2·＝.
1 2 3
(2)由已知得ξ的所有可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，P(ξ＝4)＝2＋C··＋C··＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ 6 4 2 0
P
∴E(ξ)＝6×＋4×＋2×＋0×＝.
命题点3 二项分布
例4 (2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更
多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有 9张大小相同
的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规
则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利
国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，
再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示
获奖的人数，求X的分布列和均值．
解 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为×＋×＝，
所以X～B，
P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝3×＝.
思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确
利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定
二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
跟踪训练2 (2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假
定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和均
值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之
前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均
为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P随机变量X的均值E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}
∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝
1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝
3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
题型三 正态分布
例5 (1)设X～N(μ，σ)，Y～N(μ，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确
1 2
的是( )
A．P(Y≥μ)≥P(Y≥μ) B．P(X≤σ)≤P(X≤σ)
2 1 2 1
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
答案 D
解析 由正态分布密度曲线可知，x＝μ 为 Y 曲线的对称轴，μ<μ ，所以 P(Y≥μ)＝
2 1 2 2
<P(Y≥μ)，故A错；由正态分布密度曲线可知，0<σ<σ ，所以P(X≤σ)>P(X≤σ)，故B错；
1 1 2 2 1
对任意正数 t，P(X>t)<P(Y>t)，即有 P(X≥t)<P(Y≥t)，故 C 错；对任意正数 t，
P(X>t)<P(Y>t)，因此有P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D正确．
(2)(八省联考)对于一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．
已知最后结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量
n n
________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 5)
答案 32
解析 P(|ε－μ|<2σ)＝0.954 5，
n
又μ＝0，σ2＝，
即P(μ－2σ<ε<μ＋2σ)＝P＝0.954 5，
n
由题意知2σ≤0.5，即2≤，所以n≥32.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利
用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是，
则μ等于( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
答案 C
解析 由题意，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，解得ξ>4，所以P(ξ>4)
＝，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是时，μ＝4.
课时精练
1．甲、乙两个袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋
装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取 1
个球，则取出的两个球都是红球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，
从甲袋中取出红球的概率为＝，
从乙袋中取出红球的概率为，
故所求事件的概率为×＝.
2．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P(X＝3)＝C×3×3＝＝.
3．(2021·昆明诊断)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3
次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的
概率P＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C×2×＝.
1
4．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试
验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则
X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
5．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100,102)，则下列选项正确的是( )
(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.682 7)，P(μ－2σ＜
ξ＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3)
A．E(X)＝100 B．D(X)＝100
C．P(X≥90)≈0.841 35 D．P(X≤120)≈0.998 65
答案 ABC
解析 ∵随机变量X服从正态分布N(100,102)，
∴正态曲线关于x＝100对称，且E(X)＝100，D(X)＝102＝100，
根据题意可得，P(90＜x＜110)≈0.682 7，P(80＜x＜120)≈0.954 5，
∴P(x≥90)≈0.5＋×0.682 7＝0.841 35，故C正确；
P(x≤120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误．
而A，B都正确．故选ABC.
6．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑
球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A ，A 和A 表示由甲罐取出的球是红球，
1 2 3
白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，
则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝ B．P(B|A)＝
1
C．事件B与事件A 相互独立 D．A，A，A 是两两互斥的事件
1 1 2 3
答案 BD
解析 易见A，A，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
P(B)＝P(BA)＋P(BA)＋P(BA)＝×＋×＋×＝.
1 2 3
故选BD.
7．(2021·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等
奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等
奖的概率为________．
答案
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率
是×＋×＝.
8．(2021·宁波模拟)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若D(X)＝1，则E(X)＝
____.
答案 2
解析 由题意知，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.
9．一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，
绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，事件B
＝“取出一个黄球，一个蓝球”，则P(B|A)＝________.
答案
解析 因为P(AB)＝＝，
P(A)＝＝，
故P(B|A)＝＝.
10．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中
目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为和p.若甲、乙两人各射击一次
得分之和为2的概率为，则p的值为________．
答案
解析 设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则
“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则P(A)＝，
P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p.依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.
11．小李某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率
分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝
0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P＝P(BC)＋P(AC)＋P(A B)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
1
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
2
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为
样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此
得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．
(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计
盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为
＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克．
(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为，则X～B.
X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C0×3＝，P(X＝1)＝C1×2＝，
P(X＝2)＝C2×1＝，P(X＝3)＝C3×0＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．如图，在网格状小地图中，一机器人从A(0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应
顶点，已知向上的概率是，向右的概率是，则6秒后到达B(4,2)点的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A(0,0)点出发，6秒
后到达B(4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B的概率为C×2×4＝＝.
14．某中学三大社团“乐研社”“摄影社”和“外联社”招新，据资料统计，2021级高一
新生通过考核选拔进入三个社团成功与否相互独立，新生小明通过考核选拔进入三个社团
“乐研社”“摄影社”和“外联社”的概率依次为，a，b.已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则a＋b＝________.
答案
解析 根据题意有
解得a＋b＝.
15．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发
现是假币，则这两张都是假币的概率是( )
A. B. C. D．以上都不正确
答案 A
解析 设事件A表示“抽到的两张都是假币”，事件B表示“抽到的两张至少有一张是假
币”，则所求的概率即P(A|B)．
又P(AB)＝P(A)＝，P(B)＝，
由公式P(A|B)＝＝＝＝.
16．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度
(单位：分米)，按数据分成[1.2,1.3)，[1.3,1.4)，[1.4,1.5)，[1.5,1.6)，[1.6，1.7)，[1.7,1.8]这6
组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长
度分别为 1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69，
1.71，1.72,1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率．
(1)求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值；
(2)若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在[1.4,1.6)的个数，求X的分布列
和均值；
(3)若变量S满足|P(μ－σ<S≤μ＋σ)－0.682 7|≤0.05且|P(μ－2σ<S≤μ＋2σ)－0.954 5|≤0.05，
则称变量S满足近似于正态分布N(μ，σ2)的概率分布．如果这批零件的长度Y(单位：分米)
满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否
则，公司将拒绝签收．试问，该批零件能否被签收？
解 (1)由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，
则这批零件的长度大于1.60分米的频率为＝0.15，
记Y为零件的长度，则P(1.2≤Y<1.3)＝P(1.7≤Y≤1.8)＝＝0.025，
P(1.3≤Y<1.4)＝P(1.6≤Y<1.7)＝＝0.125，
P(1.4≤Y<1.5)＝P(1.5≤Y<1.6)＝×(1－2×0.025－2×0.125)＝0.35，故m＝＝0.25，n＝＝1.25，t＝＝3.5.
(2)由(1)可知从这批零件中随机选取1件，长度在[1.4,1.6)的概率P＝2×0.35＝0.7.
且随机变量X服从二项分布X～B(3,0.7)，
则P(X＝0)＝C×(1－0.7)3＝0.027，
P(X＝1)＝C×(1－0.7)2×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C×0.72×0.3＝0.441，
P(X＝3)＝C×0.73＝0.343，
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
E(X)＝0×0.027＋1×0.189＋2×0.441＋3×0.343＝2.1(或E(X)＝3×0.7＝2.1)．
(3)由题意可知μ＝1.5，σ＝0.1，
则P(μ－σ<Y≤μ＋σ)＝P(1.4<Y≤1.6)＝0.7，
P(μ－2σ<Y≤μ＋2σ)＝P(1.3<Y≤1.7)＝0.125＋0.35＋0.35＋0.125＝0.95，
因为|0.7－0.682 7|＝0.017 3≤0.05，|0.95－0.954 5|＝0.004 5≤0.05，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5,0.01)的概率分布．
应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．
