2022届高考数学一轮复习(新高考版)第1章§1.2　充分条件与必要条件_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年一轮复习各版本_1.新高考2022年高考数学一轮复习

§1.2 充分条件与必要条件 考试要求 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p ⇏ p是q的充要条件 p⇔q ⇏ p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p ⇏ ⇏ 微思考 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充 分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． 提示 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A⃘B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件． ⊉ 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ ) (2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.( √ ) (3)q不是p的必要条件时，“p q”成立．( √ ) (4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．( × ) ⇏ 题组二 教材改编 2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 3．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 必要不充分 4．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________． 答案 m＝－2 题组三 易错自纠 5．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件． 6．已知p：x>a是q：2a}，∴a≤2. 题型一 充分、必要条件的判定 例1 (1)已知p：x<1，q：log x<0，则p是q的( ) 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log x<0知02，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4. 当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4 a>2， b>2， ⇏故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围 的推断问题． 跟踪训练1 (1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列， 当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要 不充分条件． (2)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行， 则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0， 解得λ＝1或λ＝－3， 经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A. 题型二 充分、必要条件的应用 例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的 必要条件，求m的取值范围． 解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则 ∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． 若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围． 解 由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA， ∴或 解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3， 故m的取值范围是[0,3]． 思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 跟踪训练2 (1)使≥1成立的一个充分不必要条件是( ) A．14 C．a≥1 D．a>1 答案 B 解析 要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的 充分不必要条件． (2)(2020·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 ________． 答案 ac<0 解析 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 即ac<0. 课时精练 1．“log (2x－3)<1”是“4x>8”的( ) 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 log (2x－3)<1⇔0<2x－3<2⇔8⇔2x>3⇔x>，所以“log (2x－3)<1”是 2 2 “4x>8”的充分不必要条件，故选A. 2．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( ) A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4 答案 A 解析 若2x>a－x，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立， 即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3. 6．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围 是( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]答案 B 解析 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即 实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B. 7．(多选)若x2－x－2<0是－2”是“ab>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件 答案 BC 解析 A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所 以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误； B项，>不能推出a－，但是2>－3；a，比如－2<3，－<，所以“>” 是“abn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0,1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是 a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误． 9．已知命题p：>，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的________条件． (选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 命题p等价于00等价于或则0≤a<4，所以命 题p成立是命题q成立的充分不必要条件． 10．已知f(x)是R上的奇函数，则“x ＋x ＝0”是“f(x)＋f(x)＝0”的__________条件．(选 1 2 1 2 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴若x＋x＝0，则x＝－x，则f(x)＝f(－x)＝－f(x)，即f(x)＋ 1 2 1 2 1 2 2 1 f(x)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x ＝x ＝2时，满足f(x)＝ 2 1 2 1 f(x)＝0，此时满足f(x)＋f(x)＝0，但x ＋x ＝4≠0，即必要性不成立．故“x ＋x ＝0”是 2 1 2 1 2 1 2 “f(x)＋f(x)＝0”的充分不必要条件． 1 211．若x∈{－1，m}是不等式2x2－x－3≤0成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ________． 答案 解析 不等式可转化为(x＋1)(2x－3)≤0，解得－1≤x≤，由于x∈{－1，m}是－1≤x≤的充 分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m∈. 12．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的________条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”) 答案 充要 解析 设f(x)＝x＋ln x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵a>b，∴f(a)>f(b)， ∴a＋ln a>b＋ln b，充分性成立； ∵a＋ln a>b＋ln b， ∴f(a)>f(b)，∴a>b，必要性成立， 故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”成立的充要条件． 13．(2021·深圳模拟)对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2， 〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 令x＝1.8，y＝0.9，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x〉≠〈y〉，可知 充分性不成立．当〈x〉＝〈y〉时，设〈x〉＝x＋m，〈y〉＝y＋n，m，n∈[0,1)，则|x－y| ＝|n－m|<1，可知必要性成立．所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件．故 选B. 14．已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q 的充分条件，则a的取值范围是________________． 答案 解析 由2－m>m－1>0，得10，x，y∈R，p：|x|＋≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数 r的取值范围是________． 答案 解析 画出|x|＋≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部， 当x>0，y>0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x＋＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的 必要不充分条件，可得圆 x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又 r>0，所以实数r的取值范围是.