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§10.3 二项式定理
考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项
展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示第 k ＋ 1 项
k＋1
二项式系数 C ( k∈{0,1,2,3，…，n})
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值
当n是偶数时，中间一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且
同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2 n .
微思考
1．总结(a＋b)n的展开式的特点．
提示 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第
一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？
提示 不一定．(a＋b)n的展开式的通项是Can－kbk，其二项式系数是C(k∈{0,1,2,3，…，
n})，不一定是系数．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．( × )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ )(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )
(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式
系数不同．( √ )
题组二 教材改编
2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( )
A．C B．C
C．C D．(－1)m－1C
答案 D
解析 (x－y)n二项展开式第m项的通项为
T ＝C(－y)m－1xn－m＋1，
m
所以系数为C(－1)m－1.
3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．60 B．80 C．84 D．120
答案 D
解析 (利用公式C＋C＝C)
(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝
120.
4．C＋C＋C＋…＋C＝________.
答案 210
题组三 易错自纠
5．已知n(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
答案 C
解析 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则
二项式的展开式通项为T ＝C()5－k·k＝akC ，令＝0，得k＝3，则其常数项为Ca3，根
k＋1
据题意，有Ca3＝80，可得a＝2.
6．在n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____．
答案 1
解析 因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.
在5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.
题型一 多项展开式的特定项命题点1 二项展开式问题
例1 (1)(2020·北京)在(－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
答案 C
解析 T ＝C()5－k(－2)k＝C ·(－2)k，
k＋1
令＝2，解得k＝1.
所以x2的系数为C(－2)1＝－10.
(2)(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是
________．
答案 16 5
解析 该二项展开式的第k＋1项为T ＝C()9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数
k＋1
项为()9＝16；当k＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个
数为5.
命题点2 两个多项式积的展开式问题
例2 (1)(2020·全国Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 C
解析 方法一 ∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15.
方法二 当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15.
(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
答案 A
解析 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C
＝4＋8＝12.
命题点3 三项展开式问题
例3 (1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
答案 C
解析 方法一 利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T＝C(x2＋x)3·y2.
3其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二 利用排列组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个
取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.
(2)(2020·合肥检测)5的展开式中的常数项为( )
A．1 B．11 C．－19 D．51
答案 B
解析 5＝5
展开式的通项为T ＝C5－k
k＋1
当k＝5时，常数项为C＝1，
当k＝3时，常数项为－CC＝－20，
当k＝1时，常数项为CC＝30.
综上所述，常数项为1－20＋30＝11.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数
项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组
合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．
跟踪训练1 (1)(x＋a)10的展开式中，x7项的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案)
答案
解析 通项为T ＝Cx10－kak，令10－k＝7，
k＋1
∴k＝3，∴x7项的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
(2)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为( )
A．－3 B．－2 C．1 D．4
答案 B
解析 (x－1)4的通项为T ＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C(－1)3
k＋1
＋C(－1)2＋C(－1)＝－2，故选B.
(3)(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________．
答案 92
解析 方法一 (1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系数为CC35＋C(－1)C34＋C(－
1)2C33＋C(－1)3C32＋C(－1)4C31＋C(－1)5C30＝92.
方法二 (1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝C(1＋2x)5＋C(1＋2x)4(－3x2)＋C(1＋2x)3(－3x2)2＋…＋C(－3x2)5，
所以x5的系数为CC25＋CC×23×(－3)＋CC×2×(－3)2＝92.
题型二 二项式系数与各项的系数问题
命题点1 二项式系数和与各项系数和
例4 (1)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )
A．－1 B．1 C．27 D．－27
答案 A
解析 依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－
1.
(2)若(2－x)7＝a＋a(1＋x)＋a(1＋x)2＋…＋a(1＋x)7，则a＋a＋a＋…＋a 的值为( )
0 1 2 7 0 1 2 6
A．1 B．2 C．129 D．2 188
答案 C
解析 令x＝0，得a＋a＋a＋…＋a＝27＝128，
0 1 2 7
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，解得a＝－1.
7 7
故a＋a＋a＋…＋a＝128－a＝128＋1＝129.
0 1 2 6 7
命题点2 二项式系数的最值问题
例5 二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项
的个数为( )
A．3 B．5 C．6 D．7
答案 D
解析 根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴n的展开式的通项为T
k＋
＝C·(x)20－k·k＝()20－k·C· ，要使 x 的指数是整数，需 k 是 3 的倍数，∴k＝
1
0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．
思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”．
(2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．
跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中
系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70 C．－56 D．－28
答案 C
解析 ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，n的展开式的通项为T ＝(－1)kC (k＝0,1,2，…，8)，
k＋1
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数
项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项
的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.
(2)n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )
A．6 B. C．4x D.或4x
答案 A
解析 令x＝1，可得n的展开式中各项系数之和为2n，即8<2n<32，解得n＝4，故第3项的
系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()22＝6.
(3)已知m是常数，若(mx－1)5＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a 且a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝33，
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
则m＝________.
答案 3
解析 当x＝0时，(－1)5＝－1＝a.当x＝1时，(m－1)5＝a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝33－1＝
0 0 1 2 3 4 5
32，则m－1＝2，m＝3.
课时精练
1．(2020·邯郸调研)(1－2x)6的展开式的第三项为( )
A．60 B．－120 C．60x2 D．－120x2
答案 C
解析 T＝C(－2x)2＝60x2.
3
2.5的展开式中含x3的项的系数为( )
A．80 B．－80 C．－40 D．48
答案 B
解析 5的展开式的通项为T ＝C(2x)5－k·k＝(－1)k·25－k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1.于是
k＋1
展开式中含x3的项的系数为(－1)·25－1·C＝－80.
3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数
项的二项式系数和为( )
A．29 B．210 C．211 D．212
答案 A
解析 由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于( )A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 A
解析 (1－ax)(1＋x)5＝(1－ax)(1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5)，其展开式中x2的系数为10－5a
＝5，解得a＝1.
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案 D
解析 5的展开式通项为T ＝C5－k(－1)k＝Cx2k－10(－1)k，由2k－10＝0得k＝5，所以5的展
k＋1
开式中常数项为C(－1)5＝－1.由2k－10＝－2得k＝4，所以5的展开式中x－2的系数为C(－
1)4＝5，所以(x2＋2)5的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3.
6．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)50＝a＋ax＋ax2＋ax3＋…＋a x50，则a 的值是(
0 1 2 3 50 3
)
A．C B．2C C．C D．C
答案 D
解析 由题意可得a 的值是x3的系数，而x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C
3
＝C.
7．(多选)对于二项式n(n∈N*)，下列判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有一次项
答案 AD
解析 二项式n的展开式的通项公式为T ＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n
k＋1
＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.
8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x－1)5＝a＋a(x＋1)＋a(x＋1)2＋…＋a(x＋1)5，则( )
0 1 2 5
A．a＝－32 B．a＝－80
0 2
C．a＋4a＝0 D．a＋a＋…＋a＝1
3 4 0 1 5
答案 ABC
解析 令x＝－1得(－1－1)5＝a ，即a ＝－32，故A正确．令x＝0得(－1)5＝a ＋a ＋…＋
0 0 0 1
a ，即a ＋a ＋…＋a ＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a ＋a(x＋1)＋a(x＋1)2
5 0 1 5 0 1 2
＋…＋a(x＋1)5就变为(y－2)5＝a ＋ay＋ay2＋…＋ay5，根据二项式定理知，a 即二项式(y
5 0 1 2 5 2
－2)5展开式中y2项的系数，T ＝Cy5－k(－2)k，故a ＝C·(－2)3＝－80，B正确．a ＝C(－2)1
k＋1 2 4
＝－10，a＝C(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.
3
9．(2020·全国Ⅲ)6的展开式中常数项是________．(用数字作答)
答案 240解析 6的展开式的通项为
T ＝C(x2)6－kk＝C2kx12－3k，
k＋1
令12－3k＝0，解得k＝4，
所以常数项为C24＝240.
10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知n的展开式中第2项与第3项的二项式系数之
比是2∶5，则x3的系数为________．
答案 240
解析 n的展开式的通项为T ＝C·(2x)n－k·k，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比
k＋1
是2∶5，可得C∶C＝2∶5，解得n＝6.所以T ＝(－1)kC26－k· ，令6－k＝3，解得k＝
k＋1
2，所以x3的系数为C26－2(－1)2＝240.
11．已知(2x＋1)5(a≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a＝________，展开式中常数
项为________．
答案 － 10
解析 在(2x＋1)5中，
令x＝1，得(a＋1)·35＝81，解得a＝－，
所以(2x＋1)5的展开式中的常数项为
·C·2x＝10.
12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x)5＝a ＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则a ＝________，a
0 1 2 3 4 5 4 1
＋a＋a＝________.
3 5
答案 80 122
解析 由题意，得a＝C×24＝5×16＝80.
4
当x＝1时，
(1＋2)5＝a＋a＋a＋a＋a＋a＝35＝243，①
0 1 2 3 4 5
当x＝－1时，
(1－2)5＝a－a＋a－a＋a－a＝－1.②
0 1 2 3 4 5
①－②，得2(a＋a＋a)＝243－(－1)＝244，
1 3 5
所以a＋a＋a＝122.
1 3 5
13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第 10
项为( )A．55 B．89 C．120 D．144
答案 A
解析 由题意，可知a ＝1，a ＝1，a ＝1＋1＝2，a ＝1＋2＝3，a ＝2＋3＝5，a ＝3＋5＝
1 2 3 4 5 6
8，a＝5＋8＝13，a＝8＋13＝21，a＝13＋21＝34，a ＝21＋34＝55.
7 8 9 10
14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a ＋a x＋a x2＋…＋a x2 020，若a ＋2a ＋3a ＋…＋2
0 1 2 2 020 1 2 3
020a ＝2 020a(a≠0)，则实数a＝________.
2 020
答案 2
解析 已知(1－ax)2 020＝a＋ax＋ax2＋…＋a x2 020，两边同时对x求导，
0 1 2 2 020
得2 020(1－ax)2 019(－a)＝a＋2ax＋3ax2＋…＋2 020a x2 019，
1 2 3 2 020
令x＝1得，－2 020a(1－a)2 019＝a＋2a＋3a＋…＋2 020a ＝2 020a，
1 2 3 2020
又a≠0，所以(1－a)2 019＝－1，即1－a＝－1，故a＝2.
15．若多项式(2x＋3y)n的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式n－4的展开式中x2
的系数为( )
A．－304 B．304 C．－208 D．208
答案 A
解析 多项式(2x＋3y)n的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n＝
8，多项式4＝4的展开式的通项为T ＝C(－4)4－r·r(0≤r≤4，且r∈N).r的展开式的通项T
r＋1 k＋1
＝C(x2)r－k·k＝Cx2r－4k(0≤k≤r，且k∈N，r∈N)．令2r－4k＝2，即r＝2k＋1，所以k＝0，r＝
1；k＝1，r＝3，所以展开式中x2的系数为C·(－4)3＋C·C·(－4)＝－256－48＝－304.
16．设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记
为a≡b(modm)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是( )
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
答案 D
解析 a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又
a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.
