专题22.8二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）（人教版）（学生版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

专题 22.8 二次函数 y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考 点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为y=a（x-h）²+k(a≠0) yax2bxca    x2  b a x    ca    x2  b a x   2 b a    2    2 b a    2   c a    x 2 b a    2  4ac 4a b2 ． b 4acb2 y a(xh)2 k h k  对照 ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2 ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 x 2 b a ，顶点坐标是    2a , 4a  ． b  b 4acb2 【要点提示】抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 x 2a ，顶点坐标是    2a , 4a  ， 可以当作公式加以记忆和运用． 【知识点二】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点 M，并用虚 线画出对称轴． y ax2 bxc (2)求抛物线 与坐标轴的交点， 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到 点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结 起来． 【知识点三】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质 y  ax2 bxc(a  0) 1.二次函数 图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） 图象 a0 a0开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 在对称轴的左侧，即当 2a时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 2a时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a y  ax2 bxc(a  0) 2.二次函数 图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【知识点四】求二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值的方法 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 b 4acb2 x y  2a 时， 最值 4a ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)化为顶点式【例1】（23-24九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数解析式为 ． （1）请将函数 的表达式用配方法化为 的形式； （2）请写出函数 图象的顶点坐标与对称轴． 【举一反三】 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数 的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】（2023·湖北孝感·一模）抛物线 的顶点坐标是 ． 【题型2】二次函数图象的平移 【例2】（24-25九年级上·浙江·假期作业）将二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再 向上平移 个单位长度，得到新的抛物线，写出新抛物线的表达式，并求出这条抛物线的对称轴． 【举一反三】 【变式1】（2024·江苏盐城·三模）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个 单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线 是由抛物线 先向右平 移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【题型3】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)确定a、b、c及其他式子的符号 【例3】（20-21九年级上·全国·课后作业）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，请结合图 象，判断下列各式的符号．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．【举一反三】 【变式1】（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图 所示，现给以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数 有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·河南·三模）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结 论：① ；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）． 【题型4】二次函数、一次函数图象的位置【例4】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数 的图象与直线 的图象如图所示． （1）判断 的图像的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）设直线 与抛物线 的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； （3）连接 ， ，求 的面积． 【举一反三】 【变式1】（2024·广东东莞·一模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一 定不经过 象限．【题型5】二次函数图象的对称性求对称轴或函数值 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）二次函数 中的自变量x和函数值y满足 下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 10 3 m … （1）这个二次函数的对称轴是直线________； （2）m的值为________； （3）当 时，y的取值范围为________． 【举一反三】 【变式1】（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点 、 皆在 轴上，且 有一水平线与两图像相交于 、 、 、 四点，各点位置如图所示，若 ， ， ， 则 的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知抛物线 经过 三点， 若 ，则 的取值范围是 ． 【题型6】由二次函数图象的增减性求值或取值范围 【例6】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数 ，（1）若二次函数过点 ， ①求二次函数的表达式； ②当 随 的增大而减小时，求 的取值范围； （2）若点 和点 在该二次函数图象上，求 的值． 【举一反三】 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ，当 时， 随 的增大而 减小，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数 ，当 时， 随 的增大而减小， 那么 的取值范围为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最 大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使 得 ，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大 小”为 ． 2、拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知开口向下的抛物线 与 轴交于点，对称轴为直线 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．其中正确的是 【例2】（2024·江苏南京·三模）如图，在 中， ， ， 足够长，点D，E 分别在边 ， 上，F为 的中点，若 ，则 的长的最小值为 ．