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专题 22.1 二次函数 y=ax ²(a≠0)和 y=ax ²+c(a≠0)的图象与性质
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】二次函数的概念
1、二次函数：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其
中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
2、二次函数必须同时具备的条件
（1）含有自变量的代数式必须是整式；
（2）化简后自变量的最高次数是2；
（3）二次项系数不为0.
【知识点二】二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质
1、抛物线：二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛
物线，它是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点.
抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点.
2、用描点法画二次函数y=ax²的图象的一般步骤
（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y的值，列出表格；
（2）描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x的值为横坐标，以相应的值为纵坐标，描出相
应的点；
（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线依次连接各点，并向两端无限延伸.
3、二次函数y=ax²的图象和性质
y=ax²(a≠0) a 0 a 0
图象
> <
开口方向 向上 向下对称轴 y轴（直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x 时， 随 的增大而减小； 当x 时， 随 的增大而增大；当
当x 时， 随 的增大而增大 x 时， 随 的增大而减小
<0 y x <0 y x
最值 当x=0时，y有最小值为0. 当x=0时，y有最大值为0.
>0 y x . >0 y x .
【知识点三】二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质
1、二次函数y=ax²+k与y=ax²的图象间关系
二次函数y=ax²+c与y=ax²的图象形状相同，只是位置不同，抛物线y=ax²+c可由抛物
线y=ax²沿y轴向上（下）平移 个单位长度得到.当 ，沿y轴向上平移 个单位，当
时，向下平移 个单位.
2、二次函数y=ax²+c的图象和性质
y=ax²+c(a≠0) a 0 c 0 a 0, c 0
图象
> > < >
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴（直线x=0）
顶点坐标 原点（0，0）
增减性 当x 时， 随 的增大而减小； 当x 时， 随 的增大而增大；当
当x 时， 随 的增大而增大 x 时， 随 的增大而减小
<0 y x <0 y x
最值 当x=0时，y有最小值为c. 当x=0时，y有最大值为c.
>0 y x . >0 y x .
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】二次函数的概念
【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知函数 ，回答下列问题：
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】(1) (2) 或 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义；
（1）由二次函数的定义得 ，即可求解；
（2）由一次函数的定义得①当 时，②当 时，③当 时，进行求解，即
可求解；
理解二次函数的定义：“一般地，形如 （a、b、c是常数， ）的函数叫做二次函数．”，
能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键．
（1）解：由题意得
，
解得： ；
故 时，此函数是二次函数；
（2）解：①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ， ；
③当 时，
解得： ， ；综上所述： 取 或 或 或 或 ，此函数为一次函数．
【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产
品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为： ，
三月份新产品的研发资金为： ，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．
解：根据题意可得二月的研发资金为： ，三月份新产品的研发资金为： ，
今年一季度新产品的研发资金 ，
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如果 是二次函数，佳佳求出k的值为
3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是 ．
【答案】敏敏
【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得 ， ，即可求解；理解定义：“一般地，
形如 （a、b、c是常数， ）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．
解： 是二次函数，
，
解得 ， ，
又 ，即 ，
，
故敏敏正确．
【题型2】二次函数y=ax²的图象和性质
【例2】（24-25九年级上·全国·假期作业）已知函数 是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数的增减性．
【答案】(1) 或 (2)当 时，该函数图像的开口向下 (3)当 时，原函数有最小值 (4)见
解析
【分析】(1)由二次函数的定义可得 故可求m的值．
(2)图像的开口向下，则 ，结合（1）中的结果，即可得m的值；
(3)函数有最小值，则 ，结合（1）中的结果，即可得m的值；；
(4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
解：（1）根据题意，得 ，
解得 ，
∴当 或 时，原函数为二次函数．
（2）∵图像开口向下，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，该函数图像的开口向下．
（3）∵函数有最小值，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴当 时，原函数有最小值．
（4）当 时，此函数为 ，开口向下，对称轴为y轴，
当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小；
当 时，此函数为 ，开口向上，对称轴为y轴，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的
纵坐标，当 时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当 时，开口向下，顶点最高，此
时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
【变式1】（2024·广东·中考真题）若点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解
析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线 ），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增
大，再比较即可．
解∶ 二次函数 的对称轴为y轴，开口向上，
∴当 时， y随x的增大而增大，
∵点 都在二次函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选∶A．
【变式2】（2024九年级下·江苏·专题练习）二次函数 的图像是 ，它的对称轴是
，顶点坐标是 ，开口方向是 ．
【答案】 抛物线 轴 向下【分析】本题考查二次函数的性质．熟记知识点是关键．
解： 图像为抛物线；对称轴为 轴；顶点坐标为 ； ，开口向下；
故答案为：抛物线； 轴； ；向下．
【题型3】二次函数y=ax²+c的图象和性质
【例3】（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数 ．
x … 0 1 2 …
y … …
（1）填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象．
（2）
由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当 时，y随x的增大而
______．
（3）利用图象写出当 时，y的取值范围是______．
【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴； ；减小； (3)
【分析】本题考查二次函数的基础知识点，
（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可；
（2）观察函数图象求解即可；
（3）观察函数图象求解即可；
解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解．
（1）解：如下表所示：
x … 0 1 2 …y … 0 3 4 3 0 …
函数图象如图所示：
（2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为 ；当 时，y随x的
增大而减小；
故答案为：向下；y轴； ；减小；
（3）有函数图象可得：当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列图象中，有可能是函数 的图象的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数 的图象与系数的关系，若开口向上，则 ；反之， ．对称
轴为 轴；图象与 轴交点在 轴上方，则 ；反之，则 ，据此即可求解．
解：若 ，则图象开口向上，对称轴为 轴，与 轴交点在 轴上方，故A满足题意；若 ，则图象开口向下，对称轴为 轴，与 轴交点在 轴下方；
故选：A
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数 ，当 时，y随x的
增大而增大，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到 ，
由抛物线的性质得到 ，由此求得m的值．
解：∵函数 为二次函数，且当 时，y随x的增大而增大，
∴ ， ，
整理得： ，且 ，
解得： ．
故答案为： ．
【题型4】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象平移关系
【例4】（23-24九年级上·湖北孝感·开学考试）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ，
的图象．
（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
（2）抛物线 可由抛物线 向______平移______个单位长度得到．
【答案】(1)答案见解析 (2)上，3【分析】（1）直接利用二次函数的性质以及 与 的关系分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的性质以及 与 的图象特点分析即可．
（1）解：如图所示，
，开口向下、对称轴为： 轴，顶点坐标为：
，开口向下、对称轴为： 轴，顶点坐标为： ；
（2）解：函数 与函数 的图象形状完全相同，开口方向相同，
相当于 向上平移3个单位得到 ．
故答案为：上； ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，正确把握二次函数的性质是解题关键．
【变式1】关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．
A．对称轴为直线
B．顶点坐标为
C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．
解：A.二次函数 的对称轴为直线 ，故A选项不符合题意；B. 二次函数 的顶点坐标 ，故B选项不符合题意；
C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项
不符合题意；
D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故
D选项符合题意．
故答案为：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的
关键．
【变式2】（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）将抛物线y＝x2先向右平移6个单位长度，向下平
移8个单位长度，此时抛物线的顶点与原点O的距离为 ．
【答案】10
【分析】先得到抛物线 的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点
的坐标为（6，﹣8），然后根据勾股定理即可求得．
解：∵抛物线 的顶点坐标为（0，0）
∴抛物线向右平移6个单位长度，再向下平移8个单位长度后得到对应点的坐标为（6，-8）
∴抛物线的顶点与原点O的距离为： ．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，求得平移后的顶点坐标是解题的关键．
【题型5】二次函数y=ax²与y=ax²+c的图象和性质几何应用【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线的解析式是
，直线 的解析式是 ，点 ，点 是在该抛物线上的动点，连接 ，过 作 ．
（1）求证： ；
（2）设点 ，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】(1)见解析 (2) 的最小值为 ，此时点 的坐标为
【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等：
（1）设点P的坐标为 ，根据两点间距离公式求出 ，可证 ；
（2）由 可得 ，当E，P，N共线时，等号成立．
解：（1）证明： 点 是在该抛物线 上的动点，
设点P的坐标为 ，
，
；
，直线 的解析式是 ，
，
；
（2）解： ，点 在抛物线 的上方，
由（1）知 ，
，当E，P，N共线时，等号成立，如图：
，当 时， ，
的最小值为 ，此时点 的坐标为 ．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，A，B为抛物线 上两点，且线段 轴．若
，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称性求出 点横坐标为 ，代入解析式进行求解即可．
解：∵ 关于y轴对称，线段 轴，
∴线段 关于y轴对称，
∵ 且点A在第二象限，
∴点A的横坐标为 ，把 代入 ，得 ，
∴点A的坐标为 ．
故选D．
【变式2】（2024·广东佛山·二模）如图，菱形 的边长为 ，点 在 轴的负半轴上，抛物线
过点 ．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，过点 作 轴交 轴于点 ，求出
点的坐标，代入即可求解，求出 点的坐标是解题的关键．
解：过点 作 轴交 轴于点 ，
∵菱形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·广东·中考真题）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，C，点B
在 轴上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点 ，
进而代入求解即可．
解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：
当 时，则 ，即 ，∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形
的性质是解题的关键．
【例2】（2023·广东广州·中考真题）已知点 ， 在抛物线 上，且 ，则
．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
解： 的对称轴为y轴，
∵ ，
∴开口向上，当 时， y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，
从而分析函数的增减性．
2、拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线 与直线 的一个交点为 ，
（1）求 和 ．
（2）求另一个交点的坐标．【答案】(1) ， (2)
【分析】（1）先把 代入 可得： ，再把 代入 可得： ；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可．
（1）解：把 代入 可得：
，
∴交点坐标为： ；
把 代入 可得：
，
解得： ；
（2）由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ 或 ，
∴函数的另一个交点坐标为： ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建
立方程组解题是关键．
【例2】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系，纵轴上一点 ，横轴上有
一动点 ，连接 ，作 的中垂线 ，过点 作横轴的垂线 和 交于 点．设 点的坐标为 ，
当点 在横轴上运动时，解决下列问题：
（1）求 之间满足的函数关系式；（2）已知 在此函数图象上，请求出 的面积．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）连接 ，作 于点H，根据中垂线的性质得到 ，再利用勾股定理
，从而建立x和y之间的函数关系式；
（2）将点D，C，B的坐标分别代入（1）中得到的解析式中，得到D，C，B的坐标，数形结合利用割补
法得到 的面积.
（1）解：连接 ，过点 作 轴于 ．
则 ， ，
， ．
．
（2）由（1）知， ，如图，.
【点拨】本题考查了一次函数的性质、二次函数的基本性质、中垂线的性质、勾股定理等知识，掌握相关
知识是解题的关键．
